Le sezioni coniche: parabole e circonferenze.

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1 Le sezioni coniche: parabole e circonferenze. Copyright c 2008 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. un pò di storia... 2 Menecmo Apollonio di Perga 6 Le opere I libro II libro III libro Le coniche e l equazione di II grado a due incognite 14 Parabole Circonferenze

2 un pò di storia... Le sezioni coniche: un pò di storia... I due protagonisti della nostra storia (originari dell Anatolia: odierna Turchia): Menecmo (380 a.c. ca a.c. ca.) Apollonio di Perga (262 a.c a.c.) Menecmo Menecmo (380 a.c. ca a.c. ca.) amico del filosofo Platone, è stato un matematico greco antico, studioso di geometria è noto per la sua basilare scoperta delle sezioni coniche e per aver data una soluzione a quello che allora era un annoso problema: quello della duplicazione del cubo. Ovvero della risoluzione del problema di individuare il lato di un cubo avente volume doppio di un cubo dato. Allo scopo egli si servì della parabola e dell iperbole. Menecmo Egli studia le sezioni coniche ed è il primo a mostrare che ellissi, parabole ed iperboli si possono ottenere tagliando un cono con un piano non parallelo alla base. Si ritiene, in generale, che non sia stato Menecmo ad inventare i nomi di parabola ed iperbole; si riteneva piuttosto che queste fossero state inventate da Apollonio più tardi. Tuttavia, recenti scoperte riguardanti Diocle mostrano che i nomi di parabola ed iperbole siano state usate prima di Apollonio. 2

3 Apollonio di Perga Apollonio di Perga Apollonio di Perga (Perga, 262 a.c a.c.) contemporaneo più giovane di Archimede di circa 20 anni, è stato un matematico e astronomo greco antico, famoso per le sue opere sulle sezioni coniche. Si sostiene che Apollonio diede all ellisse, alla parabola e all iperbole i nomi con i quali da allora queste curve sono state identificate. Apollonio di Perga: le opere. Le coniche (greco: Conikà) è l opera principale di Apollonio di Perga e viene considerata il suo capolavoro. Scritta intorno alla fine del III secolo a.c., fu un testo molto influente ed ha procurato all autore il soprannome di Grande Geometra. Le Coniche: opera in otto libri dei quali quattro sopravvivono nella versione greca originale e sette in una traduzione in arabo. L ottavo libro essendo perduto fu ricostruito deduttivamente dallo scienziato arabo Alhazen (Bassora, 965 d. C. - Il Cairo, 1039 d. C.)), il quale proseguendo i ragionamenti dei libri precedenti al libro mancante, ne diede una stesura del tutto compatibile con la possibile originaria. 3

4 Apollonio di Perga Il carattere innovativo della sua metodologia e della sua terminologia, specialmente nell area delle sezioni coniche, hanno influenzato molti studiosi dei secoli successivi e tra questi: Tolomeo ( ) Alessandria d Egitto Cartesio ( ) Francia Pierre de Fermat ( ) Francia Isaac Newton ( ) Inghilterra Apollonio di Perga Ci limiteremo brevemente a descrivere i primi tre libri: Il primo libro, composto da 60 proposizioni, tratta della generazione e delle principali proprietà delle diverse sezioni coniche (cerchio, ellisse, parabola e iperbole). E notevole l utilizzo di un unico cono quello a doppia falda da cui ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l inclinazione del piano di intersezione, ivi compresa l iperbole con forma di curva a due rami. Apollonio di Perga Il secondo libro, composto da 53 proposizioni, contiene la prosecuzione dello studio, già avviato nel primo capitolo, delle tangenti alle coniche, intese come le rette che hanno soltanto un punto in comune con una sezione conica e che giacciono fuori di essa lo studio dei diametri coniugati che portano poi, in casi particolari, al concetto di asintoto e possono essere visti come un primitivo sistema di riferimento. 4

5 Apollonio di Perga Nel terzo libro, contenente 56 proposizioni, si trovano teoremi nuovi inerenti ai cosiddetti luoghi solidi, tra i quali la formulazione e la soluzione di quello che nel IV secolo diverrà il problema di Pappo. I libri successivi, tra l altro, continuano con una trattazione approfondita sulle tangenti e sulle normali alle sezioni coniche. Ricapitoliamo... Ricapitoliamo con delle animazioni il significato di conica concepito da Apollonio. Le coniche e l equazione di II grado a due incognite Dall equazione generale della conica ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 lasciando un solo termine di II grado si ottiene l equazione di una parabola. Infatti per b = 0 e c = 0, si ottiene ax 2 + 0y 2 + 0xy + dx + ey + f = 0 cioè ax 2 + dx + ey + f = 0 che esplicitata in termini della x dà y = a e x2 d e x f e Se rinominiamo i coefficienti a e a; d e b; f e c riotteniamo la nota formula y = ax 2 + bx + c 5

6 Dall equazione generale della conica ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 eliminando il termine di II grado in xy con l ulteriore condizione a = b si ottiene l equazione della circonferenza. Infatti per c = 0 e a = b, si ottiene cioè da cui dividendo per il fattore a ambo i membri ax 2 + ay 2 + 0xy + dx + ey + f = 0 ax 2 + ay 2 + dx + ey + f = 0 x 2 + y 2 + d a x + e a y + f a = 0 Se rinominiamo i coefficienti d a a; e a b; f a c riotteniamo la nota formula x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Dunque condizione necessaria affinché dall equazione generale della conica ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 ne derivi l equazione di una circonferenza reale è che c = 0 e a = b. Attenzione la condizione non è sufficiente in quanto data l equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 risulta Quindi a 2 + b 2 4c > 0 circonferenza reale r = a2 + b 2 4c. 2 a 2 + b 2 4c = 0 circonferenza che degenera in un punto a 2 + b 2 4c < 0 circonferenza immaginaria 6

7 Ricapitoliamo... Verifichiamo con delle simulazioni al computer come un equazione di II grado, al variare dei coefficienti, descrive le varie sezioni coniche: circonferenze, ellissi, parabole ed iperboli. 7