Storia della Matematica

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1 Lezione Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 5 Maggio 2014

2 La matematica nella seconda metà del secolo XVII La Francia sostituisce l Italia come centro indiscusso dell attività matematica. Cartesio ( ), Fermat ( ), Roberval ( ), Desargues ( ), Pascal ( ) Intenso scambio di idee attraverso alcuni gruppi scientifici (Accademia dei Lincei, Accademia del Cimento, Cabinet du Puy, Invisible College) e attraverso le corrispondenze con padre Marin Mersenne.

3 Renato Cartesio ( ) - Dipinto di fan Hals

4 Biografia essenziale Nacque a Le Haye, Loira, nel 1596 Dal 1606 al 1614 frequenta una famosa scuola dei gesuiti a La Flèche. Dal 1615 al 1617 studia diritto presso l Università di Poitiers. Per diversi anni viaggiò al seguito di campagne militari, prestando ocasionale servizio, probabilmente come ingegnere, e dedicando ampio spazio alla meditazione e agli incontri con eminenti scienziati. Nel 1637 annuncia il suo programma di ricerca filosofica nel Discorso sul metodo: attraverso il dubbio sistematico giungere a conclusioni chiare e distinte, dalle quali dedurre tutte le conclusioni valide. Immaginò che tutto potesse essere spiegato in termini di materia (estensione) e movimento. Al metodo erano originariamente allegate tre appendici. In una di queste, La Géométrie Cartesio illustra le relazioni tra costruzioni geometriche e operazioni algebriche che aveva già esplorato nei decenni precedenti e mostra la potenza del suo metodo algebrico-geometrico affrontando il problema di Pappo.

5 Il problema di Pappo Problema per tre (quattro) rette - Euclide parziale; Apollonio completa Date tre (quattro) rette giacenti in un piano, trovare il luogo geometrico di un punto P che si muove in modo che il quadrato della distanza di P da una di queste rette sia porporzionale al prodotto dlle distanze delle altre due (il prodotto delle distanze da due di esse sia proporzionale al prodotto delle distanza dalle altre due. Problema di Pappo Nel libro VII della Collezione, Pappo considera il problema analogo per più di quattro rette. Per sei rette nel piano considera il luogo dei punti per cui il prodotto delle distanze da tre rette è proporzionale al prodotto delle distanze dalle rimanenti. In questo caso il luogo è definito dal fatto che un solido abbia un rapporto fisso con un altro solido. Esitava a considerare il caso generale in quanto non esiste alcuna cosa che sia contenut da più di tre dimensioni anche se poco tempo fa alcuni matematici si sono permessi di concepire cose del genere, le quali non significano nulla di comprensibile... È comunque possibile affermare e presentare cose simili generalmente per mezzo di proporzioni composte.

6 Il problema di Pappo e la Géométrie Il problema di Pappo costituisce una sorta di filo rosso che percorre tutta la Gèomètrie. Per affrontarlo adeguatamento è necessario combinare l algebra con la geometria. Questa è la ragione per cui Cartesio ebbe successo nell affrontarlo, La Géométrie studia Che relazione esiste tra il calcolo dell aritmetica e le operazioni della Geometria. Cartesio sapeva che Pappo non era riuscito a determinare il luogo nel caso delle sei e otto rette e affrontò questi casi. Mostrò che nel caso di 6 rette si otteneva un equazione di terzo grado, nel caso di otto rette una equazione di quarto grado e così via. Cartesio non fu particolarmente interessato alla forma di questi luoghi ma piuttosto colse la possibilità di definire in un modo nuovo una curva, attraverso un equazione, e di classificare quindi le curve in 1 geometriche (oggi algebriche) 2 meccaniche (oggi trascendenti)

7 Interpretazione geometrica di somma e prodotto Per costruire il prodotto di DB con CB, sia AB il segmento unitario, si congiunga C con A e si tracci la parallela a CA per D. Sia E l intersezione di questa parallela con la retta BC. Il segmento BE è il prodotto. Per costruire il quoziente di EB con DB, sia AB il segmento unitario, si congiunga E con D e si tracci la parallela a ED per A. Sia C l intersezione di questa parallela con la retta BE. Il segmento BC è il quoziente.

8 Interpretazione geometrica della radice quadrata Per costruire la radice del segmento GH, sia GF, sulla retta GH, con F dalla parte opposta di H rispetto a G il segmento unitario, sia K il punto medio tra F e H e sia I una delle intersezioni della perpendicolare a GH per G con la circonferenza di centro K e raggio KH. GI è la radice di GH.

9 Il problema della determinazione della tangente ad una curva In Apollonio si risolve il problema del tracciamento delle tangenti alle sezioni coniche. In Archimede quello della tangenti alla spirale di Archimede. Questi sono tra i pochi esempi considerati nella geometria classica relativamente alla costruzione delle tangenti. Lo scarso interesse al problema del tracciamento delle tangenti è probabilmente dovuto a un limite della matematica greca: L incapacità di staccarsi da problemi/figure particolari per dare adito a metodi generali. Questa situazione cambia radicalmente nel Seicento con Luca Valerio, Bonaventura Cavalieri e ancora di più, con Cartesio.

10 L approccio di Cartesio alla determinazione delle tangenti Per determinare la retta tangente a una curva piana di equazione F (x, y) = 0 in un suo punto P, di coordinate (x 0, y 0 ), Cartesio determina la circonferenza tangente alla curva nel punto P e con centro sull asse delle ascisse. Tale circonferenza avrà quindi equazione (x ν) 2 + y 2 = s 2 che messa a sistema con l equazione della curva permette di eliminare la y tra le due e ottenere una equazione Q(x) nella sola x, di grado 2n. La condizione di tangenza in P si esprime richiedendo che Q(x) = (x x 0 ) 2 R(x) con R(x) polinomio da determinare. Uguagliando nella relazione precedente uno a uno i coefficienti dei termini dello stesso grado si ottengono 2n+1 equazioni in 2n+1 incognite: i 2n-1 coefficienti di R(x) e i due parametri ν e s che determinano la circonferenza tangente.

11 Esempio Consideriamo la parabola di equazione y = px 2 e mettiamola a sitema con la circonferenza (x ν) 2 + y 2 = s 2. Eliminando la y otteniamo p 2 x 4 + x 2 2νx 2 ν s 2 = 0 Questo polinomio deve avere una radice doppia per x = x 0 cioè deve essere della forma (x = x 0 ) 2 (ax 2 + bx + c) Sviluppando e confrontando si otitene a = p 2 b 2ax 0 = 0 c 2bx 0 + ax 2 0 = 1 bx 2 0 2cx 0 = 2ν cx 2 0 = ν 2 s 2

12 Limitazioni dell approccio di Cartesio Il metodo funziona solo per le curve descrite da un equazione polinomiale. La ricerca non viene fatta direttramente sull equazione ma tramirte un equazione ausiliaria che richiede l introduzione di un sistema di 2n+1 equazioni in 2n+1 incognite prolisso di cui interessa solo il valore di ν. Miglioramenti Florimond de Baune sostituisce alla circonferenza la retta. L eliminazione della y è allora immediata. Hudde fornisce un algoritmo esplicito a partire dall equazione della curva.

13 Cartesio e gli assi cartesiani Cartesio comprese l importanza di una sintesi tra algebra e geometria, ma la sua sentesi non è la geometria analitica come la conosciamo oggi. In particolare, Cartesio non utilizzò mai assi ortogonali per introdurre un sistema di coordinate nel piano e non comprese mai pienamente il significato delle coordinate negative. Inoltre mostrò mai interesse a rappresentare geometricamente una curva determinata da una equazione e l idea stessa che una equazione indeterminata in due incognite corrisponde a un luogo geometrico, non appare che incidentalmente. Questi luoghi [geometrici] si riducono a ciò: allorché si tratta di trovare qualche punto cui manca una condizione per essere completamente determinato,... tutti i punti di una medesima linea possono essere presi per il punto richiesto. E se questa linea è retta o circolare, viene chiamata luogo piano, ma sè una parabola, una iperbole o una ellisse, viene chiamata luogo solido. E in qualsiasi caso del genere si può ottenere un equazione che contenga due quantità incognite...