LE CONICHE: RICHIAMI ED APPROFONDIMENTI

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1 LE CONICHE: RICHIAMI ED APPROFONDIMENTI Appunti presi dalle lezioni del Prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe B) October 12, Le coniche dal punto di vista analitico Ricordiamo che in geometria analitica si chiama curva l insieme dei punti le cui coordinate soddisfano un equazione del tipo f(x, y) =0. Se il primo membro di tale equazione è un polinomio (o si può ricondurre ad un polinomio) la curva è detta algebrica,altrimenti trascendente. Il grado del polinomio che individua una curva algebrica è detto ordine della curva. Definition Chiamasi conica una curva algebrica del secondo ordine (a coefficienti reali) ovvero una curva di equazione: (1) f(x, y) =a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 +2a 13 x +2a 23 y + a 33 =0 oppure, usando le notazione di molti testi, scritta nella forma (2) f(x, y) =ax 2 +2bxy + cy 2 +2dx +2ey + f =0. Sappiamo che i coefficienti dei termini di secondo grado a 11, a 12,a 22 (a, b, c) non cambiano rispetto ad una qualunque traslazione di assi e che il valore delle espressioni: I = a 11+ a 12,δ = a11 a 12 a 12 a 22 e = a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33, resta invariato quando si esegua un qualunque cambiamento di assi (traslazioni e/o rotazioni oppure il loro prodotto); le tre espressioni I, δ e prendono il nome rispettivamente di invariante lineare, invariante quadratico e invariante cubico. (Si ricordi che la matrice è simmetrica). Il teorma di Eulero afferma che esistono 9 tipi di coniche: a) CONICHE REALI NON DEGENERI 1) Ellisse (circonferenza) 2) Parabola 3) Iperbole 1

2 b) CONICHE REALI DEGENERI 4) In un punto (tipo ellittico) ) In due rette reali distinte incidenti (tipo iperbolico) 6) In due rette reali distinte parallele (tipo parabolico) 7) In due rette reali coincidenti (tipo parabolico) c) CONICHE IMMAGINARIE 8) Ellisse immaginaria (tipo ellittico) 9) Coppia di rette immaginarie parallele (tipo parabolico). Si ricordino i teoremi: Theorem 1 Unaconicadiequazione (1) a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 +2a 13 x +2a 23 y + a 33 =0 è degenere se, e solo se, il suo invariante cubico è uguale a zero. Theorem 2 Se la conica (1) è non degenere ( 6= 0)allora essa è: un ellisse (reale o immaginaria) se δ>0 un iperbole se δ<0 una parabola se δ =0. Theorem 3 Un ellisse non degenere è reale se risulta I < 0, immaginaria se risulta I > 0. Theorem 4 Un iperbole non degenere è equilatera se I =0. Remark Si noti che la conica immaginaria n.8 (ellisse) è non degenere, mentre la conica immaginaria n.9 (parabola) è degenere. Le coniche possono essere a centro (ellisse e iperbole) e non a centro (parabola). Per µ trovare il centro dell ellisse e dell iperbole possiamo usare la formula: A13 S = ; A ½ 23 a11 x + a oppure risolvere il sistema: 12 y + a 13 =0 A 33 A 33 a 21 x + a 22 y + a 23 = RIDUZIONE DELL EQUAZIONE DI UNA CONICA ACENTROALLASUAFORMACANONICA Sappiamo che operando una traslazione di assi (che porta l origine degli assi a coincidere con il centro della conica) la conica assume la forma a 11 X 2 +2a 12 XY + a 22 Y 2 + F =0con F = ; successivamente con una rotazione di assi di un δ angolo α ottenuto con la soluzione dell equazione: b tan 2 α (c a)tanα b =0 si riporta l equazione nella sua forma canonica. 2

3 1.2 RIDUZIONE DELL EQUAZIONE DI UNA CONICA NON A CENTRO ALLA SUA FORMA CANONICA Operando una rotazione di assi di un angolo α ottenuto risolvendo l equazione: b tan 2 α (c a)tanα b =0 la conica assume la forma: AX 2 +2DX +2EY + F =0oppure la forma: CY 2 +2DX +2EY + F =0;a questo punto la parabola può già essere rappresentata o, se vogliamo che il suo vertice vada a coincidere con l origine, operare una traslazione di assi per portarla in forma canonica. Remark 6 E bene sottolineare che risolvendo l equazione b tan 2 α (c a)tanα b = 0 si ottengono inizialmente due soluzioni in tan α, tra loro controreciproche, che coincidono con l inclinazione (coefficiente angolare) degli assi nel caso di coniche a centro (iperbole o ellisse), con l inclinazione dell asse di simmetria e della direttrice nel caso della conica non a centro (parabola). 1.3 STUDIO DELLE CONICHE NON DEGENERI Premesso che possiamo riportare la conica in forma canonica e trovare tutti i parametri che ci interessano, (a, b, c) per ellisse ed iperbole e p per la parabola, vediamo di ottenere gli stessi risultati senza operare la rototraslazione, dopo aver premesso che sono i termini di secondo grado dell equazione quelli che caratterizzano le varie specie di coniche. Si prende quindi in considerazione l equazione di secondo grado: ( ) a 11 x 2 +2a 12 xy + a 22 y 2 =0 IPERBOLE: RICERCA DEGLI ASINTOTI Dividendo i primi tre termini della ( ) per x 2 e risolvendo l equazione in (y/x) si trovano due soluzioni reali e distinte che coincidono con i coefficienti angolari degli asintoti; l iperbole infatti è una curva formata da due rami che tendono all infinito da parti opposte. Se l equazione in (y/x) si abbassa di grado significa che un asintoto è verticale; infatti in questo caso l equazione della conica è priva del termine in y 2 -cioè è una funzione- e quindi siamo di fronte ad una iperbole omografica o ad un iperbole con asintoto obliquo). A questo punto, dalla conoscenza del coefficiente angolare degli asintoti e del centro di simmetria della conica (che posso ricavare con uno dei metodi sopra riportati) ottengo le equazioni degli asintoti. RICERCA DEGLI ASSI (diametri coniugati perpendicolari) E DEI VER- TICI Per trovare le equazioni degli assi (trasverso e non) dell iperbole, basterà scrivere le equazioni delle rette che passano per il centro di simmetria e coefficiente angolare m =tanα, essendo α l angolo di rotazione che mi permette di riportare la conica in forma canonica. Ricordando infatti che il coefficiente 3

4 angolare di una retta coincide con la tangente goniometrica formata dalla retta stessa con il semiasse positivo delle ascisse, i due valori di tan α sono dati dalle soluzioni dell equazione: b tan 2 α (c a)tanα b =0. Il vertici dell iperbole si otterranno dall intersezione dell asse trasverso con l iperbole. Si noti come, nel caso dell iperbole, le equazioni degli assi le posso anche trovare come bisettrici degli asintoti. RICERCA DEI PARAMETRI a, b, c. Per trovare il semiasse trasverso basterà trovare la semidistanza dei vertici; per trovare il semiasse non trasverso dovrò prima tracciare la tangente in uno dei vertici, poi trovare le intersezioni con gli asintoti e infine calcolare la semidistanza tra tali intersezioni. La conoscenza dei semiassi a e b permette di ricavare la semidistanza focale c = a 2 + b 2 e l eccentricità e = c a. ELLISSE: RICERCA DEGLI ASSI (diametri coniugati perpendicolari) E DEI VER- TICI Premesso che dividendo i primi tre termini della ( ) per x 2 e risolvendo l equazione in (y/x) non si trovano soluzioni reali (l ellisse infatti non ha asintoti ed è una curva chiusa che non tende all infinito), per trovare le equazioni degli assi dell ellisse si ripete quanto riportato per l iperbole. I vertici dell ellisse si otterranno dall intersezione degli assi con l ellisse. RICERCA DEI PARAMETRI a, b, c. Per trovare i semiassi basterà trovare la semidistanza dei vertici; la conoscenza dei semiassi a e b permette di ricavare la semidistanza focale c = a 2 b 2 (a >b) e l eccentricità e = c a. PARABOLA: RICERCA DELL ASSE DI SIMMETRIA (E DEL VERTICE) Dividendo i primi tre termini della ( ) per x 2 e risolvendo l equazione in (y/x) si trovano due soluzioni reali e coincidenti (i primi tre termini della parabola costituiscono infatti il quadrato di un binomio) che coincidono con il coefficiente angolare dell asse di simmetria; la parabola infatti è una curva formata da un unico ramo che tende all infinito da una sola parte. Per trovare il vertice scrivo la retta tangente alla parabola perpendicolare all asse di simmetria; cioè prendo un fascio di rette parallele (a centro improprio) perpendicolari all asse di simmetria ed impongo la condizione di tangenza con la parabola (delta uguale a zero); il punto di contatto è il vertice cercato. RICERCA DEL PARAMETRO p Per calcolare il s parametro p (distanza fuoco-direttrice) si dimostra che vale la formula: p = 3, dove è l invariante cubico della conica ed (a 11 + a 22 ) a 11,a 22 isoliticoefficienti della conica. Con la distanza p/2 dal vertice (sull equazione dell asse di simmetria), si può trovare il fuoco. In tutti i casi inizialmente si avrà quindi: 4

5 a 11 x 2 x 2 + 2a 12xy x 2 + a 22y 2 x 2 =0 = y x = a 12 ± p a 2 12 a 11a 22 = a 12 ± δ da cui le soluzioni in (y/x) cercate. Remark 7 Al lettore attento non sarà sfuggito il fatto che affinché si abbiano 2 soluzioni reali distinte (e quindi due asintoti) occorre che sia δ >0 cioè δ<0, che affinché si abbiano 2 soluzioni reali coincidenti (e quindi l asse di simmetria) occorre che sia δ =0eaffinché non si abbiano soluzioni reali occorre che sia δ <0 cioè δ>0; queste erano proprio le condizioni cui doveva soddisfare una conica non degenere per essere rispettivamente iperbole, parabola, ellisse. 1.4 STUDIO DELLE CONICHE DEGENERI Come abbiamo visto una conica è degenere se, e solo se, il suo invariante cubico è uguale a zero. Esaminiamo dapprima il problema del riconoscimento di una conica degenere e della ricerca delle rette componenti. Il problema consiste nello stabilire se il polinomio che individua la conica si può scomporre in fattori. In generale, se almeno una delle variabili è di secondo grado, si risolve l equazione rispetto ad una di esse (o all unica presente). La conica sarà degenere se il discriminante di tale equazione è un quadrato perfetto e quindi se si può esprimere la x (o la y) linearmente rispetto alla y (o alla x); pertanto la conica si spezza nelle due rette ottenute come soluzione dell equazione di secondo grado in x (o y). Vediamo un esempio. Data la conica: 2x 2 xy y 2 +3x +3y 2=0, ordiniamo l equazione per esempio nella variabile y; otteniamo: y 2 +(x 3)y 2x 2 3x +2=0. Il discriminante di tale equazione è un quadrato perfetto quindi si può esprimere la y linearmente rispetto alla x e pertanto la conica si spezza in due rette; dopo semplici calcoli si ottiene: (y +2x 1)(y x 2) = 0 epoichélerettesonoreali e incidenti la conica è di tipo iperbolico. Se nessuna delle due variabili è di secondo grado, cioè se non sono presenti né il termine in x 2 né quello in y 2,masoloiltermineinxy, avremo un equazione del tipo: 2a 12 xy +2a 13 x +2a 23 y + a 33 =0(con a 12 6=0) di facile scomposizione in fattori. 1. RICONOSCIMENTO DI UNA CONICA DEGENERE Dopo aver ricordato che dal punto di vista analitico una conica è degenere se l equazione che la rappresenta è soddisfatta da un unico punto reale oppure se il polinomio che la individua è scomponibile, e premesso che anche in questo caso potremmo riportare la conica in forma canonica e trovare tutti gli elementi che ci interessano, segnaliamo alcuni esempi di coniche degeneri: 1) Conica che si riduce ad un punto: 4x 2 +y 2 =0 (tipo ellittico)

6 2) Conica degenere in due rette reali distinte: x (x +2y) =0 (tipo iperbolico) (x 2)(x +2)=0 (tipo parabolico) 3) Conica degenere in due rette reali coincidenti (x + y +1)(x + y +1)=0 (tipo parabolico) Altri esempi: 2xy =0,xy+3y =0,xy+ x + y +1=0. Remark 8 Se la conica degenere è un ellisse, quando andiamo a risolvere l equazione rispetto ad una delle due variabili x o y, il discriminante dell equazione sarà uguale all opposto del quadrato di un binomio, cioè l equazione presenta solo soluzioni immaginarie. In tale caso per trovare le coordinate del punto in cui degenera l ellisse, uguagliamo a zero il discriminante e ricaviamo una delle due coordinate; successivamente, per sostituzione, trovo l altra coordinata; si osservi ancora come l ellisse degenere si possa sempre porre sotto forma della somma dei quadrati di due polinomi uguagliata a zero. Esempio: x 2 6xy +2y 2 2x +2=0= x 2 2x(3y +1)+2y 2 +2=0 Si ha infatti: x = 3y +1± p 9y 2 +6y +1 10y 2 10 = 3y +1± p (y 3) 2. Posto allora y =3(il discriminante uguale a zero) ricaviamo successivamente x = =2; quindi l ellisse degenera nel punto (2; 3) e può essere scritta nella forma: (x 3y 1) 2 +(y 3) 2 =0dove i due quadrati si ottengono rispettivamente dal discriminante = (y 3) 2 3y +1 e dal quadrato di x = = (x 3y 1) LE FUNZIONI IRRAZIONALI DI SECONDO GRADO ED IL RICONOSCIMENTO DELLE CONICHE NON DEGENERI (EVENTUALE STUDIO) Abbiamo più volte ripetuto che una funzione irrazionale di secondo grado fa parte di una curva più generale in cui il simbolo di radice quadrata è preceduto dai segni ± e che l unione delle due funzioni, sopra e sotto una retta, dà una conica (che, in generale, non è una funzione ma una curva algebrica di secondo grado) Se consideriamo ad esempio la funzione: y =2x +1+ x 2 4, possiamo osservare che essa fa parte di una equazione più generale y =2x +1± x 2 4 che è l unione di due funzioni che giacciono sopra e sotto la retta y =2x +1; ciascuna delle due equazioni è una funzione, la loro unione dà una conica (in quanto riportando la funzione in forma implicita si ha un equazione di secondo grado). Una volta riconosciuta la conica, con i metodi sopra riportati, potrei passare alla sua rappresentazione grafica. Soffermiamoci comunque alla funzione irrazionale di secondo grado (e quindi alla parte di conica che è funzione); teniamo anche conto che una conica potrei rappresentarla studiando separatamente le due funzioni che giacciono sopra e sotto una retta (la retta: y =2x +1nell esempio riportato). 6

7 Dal dominio delle funzioni irrazionali possiamo riconoscere di quale (parte di) conica si tratta: Se la funzione è ovunque definitaodefinita per valori esterni ad x 1 ed x 2 essa fa parte di un iperbole. Se la funzione è definita per valori interni ad x 1 ed x 2 è una parte di un ellisse Se la funzione è definita per valori maggiori o minori di x 1 è una parte di parabola. Esempi: y =1+ x 2 +4 e y =2x +1+ x 2 4 sono parti di iperbole; y = x+ 2 x 2 è una parte di ellisse; y =2x x +4è una parte di parabola. Lo studio di esse verrà affrontato in modo rigoroso con limiti e derivate, ma attualmente si può procedere in maniera approssimata con i metodi algebrici che conosciamo, compreso la ricerca dei max o min con il metodo della tangente orizzontale, oppure con lo studio delle coniche sopra esposto. Osserviamo ancora che: se la conica (in forma implicita) è priva del termine in y 2 è anche una funzione (e quindi non comparirà la radice quadrata), mentre se è priva del termine in x 2 sarà funzione la sua inversa (simmetrica rispetto alla bisettrice y = x). gli eventuali punti di ascissa x 1 ed x 2 (estremi del dominio) sono quelli in cui la conica ha per tangenti rette del tipo x = h; quindi in tale punti la curva ha tangenti verticali. 1.7 CONCLUSIONI Come abbiamo visto si possono trattare le coniche da diversi punti di vista, in vari modi, mai contraddittori tra di loro, ma che anzi si integrano a vicenda. Sulla base delle richieste del testo e del tempo a disposizione, l alunno per rappresentare le coniche sceglierà la strada migliore o comunque quella più adeguata alle sue conoscenze. 7