RIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL TERZO ANNO
|
|
- Fabia Vitali
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 RIPASSO E APPROFONDIMENTO DI ARGOMENTI DEL TERZO ANNO 1 La circonferenza. 2 La parabola. 3 L ellisse. L iperbole. 5 Le coniche. 6 Equazione generale di una conica. 7 Calcolo delle principali caratteristiche di una conica. 8 L iperbole equilatera. 9 L iperbole equilatera riferita agli asintoti. 10 La funzione omografica. 11 Esercizi vari sulle coniche. 1 La circonferenza. Circonferenza con centro nell origine e raggio r: x 2 + y 2 = r 2 Circonferenza traslata con centro in C(α; β) e raggio r: (x α) 2 + (y β) 2 = r 2 Che svolgendo i calcoli diventa: x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 dove a = 2α b = 2β c = α 2 + β 2 r 2
2 2 La parabola. Parabola con asse parallelo all asse y e vertice nell origine: y = ax 2 Parabola con asse parallelo all asse y e traslata: y = ax 2 + bx + c vertice V(x V ; y V ) con x V = b 2a y V = a fuoco F(x F ; y F ) con x F = b 2a y F = 1 a asse di simmetria retta direttrice x = b 2a y = 1 a Parabola con asse parallelo all asse x e vertice nell origine: x = ay 2 Parabola con asse parallelo all asse x e traslata: x = ay 2 + by + c vertice V(x V ; y V ) con x V = a y V = b 2a fuoco F(x F ; y F ) con x F = 1 a y F = b 2a asse di simmetria retta direttrice y = b 2a x = 1 a
3 3 L ellisse. Ellisse con centro in origine, fuochi sull asse x e semiassi a, b: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 con a > b c = a2 b 2 Fuochi F 1 ( c; 0) F 2 (c; 0) Ellisse traslata con centro C(x C ; y C ): (x x C ) 2 a 2 + (y y C) 2 b 2 = 1 Che sviluppando i calcoli diventa un equazione del tipo: mx 2 + ny 2 + ax + by + c = 0 Con m,n diversi e concordi. Eccentricità: e = distanza focale asse focale = 2c 2a = c a Ellisse con centro in origine, fuochi sull asse y e semiassi a, b: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 con a < b c = b2 a 2 Fuochi F 1 (0; c) F 2 (0; c) Ellisse traslata con centro C(x C ; y C ): (x x C ) 2 a 2 + (y y C) 2 b 2 = 1 Che sviluppando i calcoli diventa un equazione del tipo: mx 2 + ny 2 + ax + by + c = 0 Con m,n diversi e concordi. Eccentricità: e = distanza focale asse focale = 2c 2b = c b
4 L iperbole. Iperbole con centro in origine, fuochi sull asse x e semiassi a, b: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 con c = a2 + b 2 Fuochi F 1 ( c; 0) F 2 (c; 0) Iperbole traslata con centro C(x C ; y C ): (x x C ) 2 a 2 (y y C) 2 b 2 = 1 Che sviluppando i calcoli diventa un equazione del tipo: mx 2 + ny 2 + ax + by + c = 0 Con m,n diversi e discordi. Eccentricità: e = distanza focale asse focale = 2c 2a = c a Iperbole con centro in origine, fuochi sull asse y e semiassi a, b: x 2 a 2 y2 b 2 = 1 con c = a2 + b 2 Fuochi F 1 (0; c) F 2 (0; c) Iperbole traslata con centro C(x C ; y C ): (x x C ) 2 (y y C) 2 = 1 a 2 b 2 Che sviluppando i calcoli diventa un equazione del tipo: mx 2 + ny 2 + ax + by + c = 0 Con m,n diversi e discordi. Eccentricità: e = distanza focale asse focale = 2c 2b = c b
5 5 Le coniche. La circonferenza, l ellisse, la parabola e l iperbole si chiamano coniche perché si possono ottenere intersecando un cono a due falde con un piano che non passa per il vertice del cono. Se invece il piano passa per il vertice del cono si ottengono le coniche degeneri, cioè punti o rette. Un cono a due falde si ottiene con una retta a (asse del cono) e una retta r (retta generatrice del cono) che incide nel punto V (vertice del cono) sulla retta a formando un angolo θ (angolo di semiapertura del cono). Quando la retta generatrice r ruota intorno all asse a, essa genera un cono a due falde. Se indichiamo con α l angolo compreso tra l asse del cono e il piano, si può verificare che al variare dell angolo α si ottengono le varie coniche. In particolare risulta che: Se α = π 2 se θ < α < π 2 se α = θ se α < θ l intersezione fra il piano e il cono è una circonferenza; l intersezione è un ellisse; l intersezione è una parabola; l intersezione è un iperbole.
6 Se invece il piano che interseca il cono passa per il vertice V, si può verificare che: Se α = π 2 se θ < α < π 2 se α = θ se α < θ l intersezione fra il piano e il cono è un punto; l intersezione è un punto; l intersezione è una retta; l intersezione è formata da due rette incidenti nel vertice.
7 6 Equazione generale di una conica. In generale l equazione di una conica è del tipo: Ax 2 + Bxy + Cy 2 + +Dx + Ey + F = 0 Dove i coefficienti A, B, C, D, E, F sono numeri reali qualsiasi. Se B 0 compare il termine xy e significa che la conica ha gli assi di simmetria ruotati di un certo angolo rispetto agli assi cartesiani. Se invece B = 0, come nei casi finora esaminati, non compare il termine xy e la conica ha gli assi di simmetria coincidenti con gli assi cartesiani o paralleli agli assi cartesiani. In tal caso l equazione della conica risulta: Ax 2 + Cy 2 + +Dx + Ey + F = 0 e secondo i valori dei coefficienti si ottengono le varie coniche. Se A = C la conica è una circonferenza; Se A C con A e C concordi, la conica è un ellisse; Se A = C la conica è un iperbole con i semiassi uguali (iperbole equilatera) Se A C con A e C discordi, la conica è un iperbole; Se C = 0 la conica è una parabola con asse parallelo all asse y; Se A = 0 la conica è una parabola con asse parallelo all asse x.
8 7 Calcolo delle principali caratteristiche di una conica. Per determinare le caratteristiche di una conica conoscendo la sua equazione bisogna osservare i suoi coefficienti per stabilire il tipo di conica e poi eseguire alcuni calcoli per trasformarla in forma normale. Vediamo alcuni esempi. a- Trova le caratteristiche della conica: x 2 x + y + 3 = 0 È una parabola con asse parallelo all asse y. Si trasforma in forma normale. y = x 2 + x 3 Si trova il vertice V(x V ; y V ) x V = b 2a = 2 = 2 y V = = b2 +ac = 16+( 1)( 3) = = = 1 a a ( 1) Perciò V(2; 1) Allo stesso modo si possono calcolare le altre caratteristiche (fuoco, asse di simmetria, retta direttrice) b- Trova le caratteristiche della conica: y 2 x + y + 5 = 0 È una parabola con asse parallelo all asse x. Si trasforma in forma normale. x = y 2 + y + 5 Si trova il vertice V(x V ; y V ) x V = = b2 +ac = = = = 1 a a 1 y V = b 2a = 2 1 = 2 = 2 Perciò V(1; 2) Allo stesso modo si possono calcolare le altre caratteristiche (fuoco, asse di simmetria, retta direttrice)
9 c- Trova le caratteristiche della conica: 9x y 2 36x + 50y 16 = 0 Siccome i primi due coefficienti sono diversi e concordi, si tratta di un ellisse traslata per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi. Prima bisogna trasformare l equazione in forma canonica: si chiama completamento del quadrato di un binomio. Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: Si raccolgono i numeri a fattore comune: x 2 9x 2 36x + 25y y 16 = 0 9(x 2 x) + 25(y 2 + 2y) 16 = 0 + y2 a 2 b2 = 1 seguendo questa procedura che Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato e la metà del coefficiente di y elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro: 9(x 2 x + ) + 25(y 2 + 2y + 1) 16 = (x 2 x + ) + 25(y 2 + 2y + 1) = (x 2) (y + 1) 2 = 225 9(x 2) (y+1)2 225 = (x 2) (y+1) = 1 (x 2) (y+1)2 9 = 1 Scriviamo le equazioni della traslazione: { x = x 2 y = y + 1 In tal modo otteniamo l ellisse traslata in forma normale: x y 2 9 = 1 Che ha centro traslato C (0; 0) semiassi a = 5 b = 3 Vertici traslati: A 1 ( 5; 0) A 2 (5; 0) B 1 (0; 3) B 2 (0; 3) Per trovare i fuochi si calcola c: c = a 2 b 2 = 25 9 = 16 = Perciò i fuochi traslati sono: F 1 ( ; 0) F 2 (; 0) Per trovare le caratteristiche dell ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: { x = x + 2 y = y 1 E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati. C (0; 0) C(2; 1) F 1 ( ; 0) F 1 ( 2; 1) F 2 (; 0) F 2 (6; 1) A 1 ( 5; 0) A 1 ( 3; 1) A 2 (5; 0) A 2 (7; 1) B 1 (0; 3) B 1 (2; ) B 2 (0; 3) B 2 (2; 2)
10 d- Trova le caratteristiche della conica: x 2 y 2 x + 8y 3 = 0 Siccome i primi due coefficienti sono opposti, si tratta di un iperbole equilatera traslata, per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi. Prima bisogna trasformare l equazione in forma canonica: quadrato del binomio. Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: Si raccolgono i numeri a fattore comune: x 2 x 2 x y 2 + 8y 3 = 0 1(x 2 x) 1(y 2 8y) 3 = 0 y2 a 2 b2 = ±1 con il completamento del Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro: (x 2 x + ) (y 2 8y + 16) 3 = (x 2 x + ) (y 2 8y + 16) = 9 (x 2) 2 (y ) 2 = 9 (x 2) 2 9 (y )2 9 = 9 9 (x 2) 2 9 (y )2 9 = 1 Scriviamo le equazioni della traslazione: { x = x 2 y = y In tal modo otteniamo l iperbole equilatera con i fuochi sull asse y in forma normale: x 2 9 y 2 9 = 1 Che ha centro traslato C (0; 0) semiassi a = 3 b = 3 Vertici traslati: A 1 ( 3; 0) A 2 (3; 0) B 1 (0; 3) B 2 (0; 3) Per trovare i fuochi si calcola c: c = a 2 + b 2 = = 18 = 9 2 = 3 2 Perciò i fuochi traslati sono: F 1 (0; 3 2) F 2 (0; 3 2) Per trovare le caratteristiche dell ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: { x = x + 2 y = y + E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati. C (0; 0) C(2; ) F 1 (0; 3 2) F 1 (2; 3 2) F 2 (0; 3 2) F 2 (2; + 3 2) A 1 ( 3; 0) A 1 ( 1; ) A 2 (3; 0) A 2 (5; ) B 1 (0; 3) B 1 (2; 1) B 2 (0; 3) B 2 (2; 7)
11 d- Trova le caratteristiche della conica: 9x 2 y 2 18x + 16y + 29 = 0 Siccome i primi due coefficienti sono diversi e discordi, si tratta di un iperbole traslata, per cui dobbiamo calcolare il centro, i semiassi, i vertici e i fuochi. Prima bisogna trasformare l equazione in forma canonica: quadrato del binomio. Si raggruppano i termini che contengono la x e quelli che contengono la y: Si raccolgono i numeri a fattore comune: x 2 9x 2 18x y y + 29 = 0 9(x 2 2x) (y 2 y) + 29 = 0 y2 a 2 b2 = ±1 con il completamento del Bisogna ottenere in ogni parentesi il quadrato di un binomio aggiungendo il termine mancante (la metà del coefficiente di x elevata al quadrato) e una quantità equivalente al secondo membro: 9(x 2 2x + 1) (y 2 y + ) + 29 = (x 2 2x + 1) (y 2 y + ) = (x 1) 2 (y 2) 2 = 36 9(x 1) 2 36 (y 2)2 36 = (x 1) (y 2)2 36 = 1 (x 1) 2 (y 2)2 9 = 1 Scriviamo le equazioni della traslazione: { x = x 1 y = y 2 In tal modo otteniamo l iperbole con i fuochi sull asse y in forma normale: x 2 y 2 9 = 1 Che ha centro C (0; 0) semiassi a = 2 b = 3 Vertici: A 1 ( 2; 0) A 2 (2; 0) B 1 (0; 3) B 2 (0; 3) Per trovare i fuochi si calcola c: c = a 2 + b 2 = + 9 = 13 Perciò i fuochi sono: F 1 (0; 13) F 2 (0; 13) Per trovare le caratteristiche dell ellisse originaria (centro C, vertici A1, A2, B1, B2 e fuochi F1, F2) ricaviamo le equazioni della traslazione inversa: { x = x + 1 y = y + 2 E le applichiamo al centro, ai vertici e ai fuochi traslati. C (0; 0) C(1; 2) F 1 (0; 13) F 1 (1; 2 13) F 2 (0; 13) F 2 (1; ) A 1 ( 2; 0) A 1 ( 1; 2) A 2 (2; 0) A 2 (3; 2) B 1 (0; 3) B 1 (1; 1) B 2 (0; 3) B 2 (1; 5)
12 8 L iperbole equilatera. L iperbole si dice equilatera se i semiassi sono uguali, cioè se a = b Perciò se i fuochi sono sull asse x, l iperbole equilatera ha equazione: x2 y2 = 1 cioè a 2 a 2 x2 y 2 = a 2 Se i fuochi sono sull asse y, l iperbole equilatera ha equazione: x2 y2 = 1 cioè a 2 a 2 x2 y 2 = a 2 In generale si può scrivere: x 2 y 2 = ±a 2 Nell iperbole equilatera i vertici sono: A 1 ( a; 0) A 2 (a; 0) B 1 (0; a) B 2 (0; a) c = a 2 + b 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 Se i fuochi sono sull asse x, risultano: F 1 ( a 2; 0) F 2 (a 2; 0) Se i fuochi sono sull asse y, risultano: F 1 (0; a 2) F 2 (0; a 2) L eccentricità risulta: e = c b = c a = a 2 a = 2 Gli asintoti hanno equazione: y = ± b x cioè y = ±x a Nell iperbole equilatera gli assi sono uguali, formano un quadrato e gli asintoti sono perpendicolari tra loro.
13 9 L iperbole equilatera riferita agli asintoti. Siccome nell iperbole equilatera gli asintoti sono perpendicolari tra loro, possiamo considerare questi asintoti come gli assi cartesiani di un nuovo sistema di riferimento OXY ruotato rispetto al primo di 5 in senso orario e scrivere l equazione dell iperbole rispetto a questo nuovo sistema di riferimento per ottenere un equazione molto più semplice. Per passare dal riferimento Oxy al riferimento OXY si usano queste formule di trasformazione: x = 2 2 X Y y = 2 2 X + { 2 2 Y Sostituendo queste formule nell equazione dell iperbole equilatera con i fuochi sull asse x : x 2 y 2 = a 2 si ottiene: ( X + Y) 2 2 ( X + Y) = a X X 2 2 Y + 2 Y2 2 X2 2 Y X Y = a2 2 2 Semplificando i termini opposti si ottiene: 2XY = a 2 cioè XY = a2 2 Ponendo k = a2 con k > 0, si ottiene l equazione: XY = k cioè Y = k 2 X proporzionalità inversa fra X ed Y. che indica la relazione di I valori di X e di Y sono inversamente proporzionali e concordi, l iperbole si trova nel 1 e nel 3 quadrante. Se k = a2 2 allora a 2 = 2k a = 2k a è il semiasse dell iperbole equilatera Il vertice A 1 si trova nel terzo quadrante alla distanza a dall origine e le sue coordinate sono: A 1 ( a 2 ; a 2 ) cioè A 1( 2k 2 ; 2k 2 ) cioè A 1( k; k) Il vertice A 2 si trova nel primo quadrante alla distanza a dall origine e le sue coordinate sono: A 2 ( a 2 ; a 2 ) cioè A 2( 2k 2 ; 2k 2 ) cioè A 2( k; k) Il fuoco F 1 si trova nel terzo quadrante alla distanza c = a 2 dall origine e le sue coordinate sono: F 1 ( 2a ; 2a ) F 2 2 1( a; a) F 1 ( 2k; 2k) Il fuoco F 2 si trova nel primo quadrante alla distanza c = a 2 dall origine e le sue coordinate sono: F 1 ( 2a 2 ; 2a 2 ) F 1(a; a) F 1 ( 2k; 2k)
14 Sostituendo le equazioni della trasformazione nell equazione dell iperbole equilatera con i fuochi sull asse y: x 2 y 2 = a 2 si ottiene: 2XY = a 2 cioè XY = a2 Ponendo k = a2 con k < 0, si ottiene l equazione: XY = k cioè Y = k 2 X di proporzionalità inversa fra X ed Y. 2 che indica la relazione I valori di X e di Y sono inversamente proporzionali e discordi, l iperbole si trova nel 2 e nel quadrante. Se k = a2 2 allora a 2 = 2k a = 2k a è il semiasse dell iperbole equilatera Il vertice A 1 si trova nel quarto quadrante alla distanza a dall origine e le sue coordinate sono: A 1 ( a 2 ; a 2 ) cioè A 1( 2k ; 2k ) cioè A 2 2 1( k; k) Il vertice A 2 si trova nel secondo quadrante alla distanza a dall origine e le sue coordinate sono: A 2 ( a 2 ; a 2 ) cioè A 2( 2k ; 2k ) cioè A 2 2 2( k; k) Il fuoco F 1 si trova nel quarto quadrante alla distanza c = a 2 dall origine e le sue coordinate sono: F 1 ( 2a 2 ; 2a 2 ) F 1(a; a) F 1 ( 2k; 2k) Il fuoco F 2 si trova nel secondo quadrante alla distanza c = a 2 dall origine e le sue coordinate sono: F 2 ( 2a 2 ; 2a 2 ) F 2( a; a) F 2 ( 2k; 2k)
15 Esercizio. Data l iperbole equilatera riferita agli asintoti: xy = trovare i semiassi, i vertici, i fuochi e disegnarla. Risulta che: k = ; a2 2 = ; a2 = 8 a = 8 a = 2 2 Essendo x ed y discordi, l iperbole equilatera si trova nel secondo e nel quarto quadrante. I vertici si trovano a distanza 2 2 dall origine. A 1 ( a 2 ; a 2 ) A 1(2; 2) A 2 ( 2; 2) c = a 2 + b 2 = 2a 2 = a 2 = = I fuochi si trovano a distanza unità dall origine. F 1 ( c 2 ; c 2 ) cioè F 1( 2 ; 2 ) cioè F 1(2 2; 2 2) e quindi F 2 ( 2 2; 2 2) Osservazione: le coordinate di A1 e di A2 si possono anche trovare mettendo al sistema l equazione della bisettrice del 2 e quadrante con l equazione dell iperbole equilatera: xy = y = x { xy = { y = x x( x) = y = x { x 2 = y = x { x 2 = y = x { x 1 = 2 x 2 = 2 y 1 = x 1 y 2 = x 2 { x 1 = 2 x 2 = 2 y 1 = 2 y { 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = 2 Perciò si ottiene: A 1 (2; 2) A 2 ( 2; 2)
16 10 La funzione omografica. È un iperbole equilatera riferita agli asintoti e traslata. La sua equazione è del tipo: y = ax+b cx+d dove a,b,c,d sono numeri qualsiasi. Se c = 0 la funzione omografica è degenere e diventa una retta. Infatti: y = ax+b d y = a d x + b d come l equazione della retta y = mx + q Per ottenere l equazione di una funzione omografica consideriamo un iperbole equilatera riferita agli asintoti: xy = 1, e facciamo una traslazione di vettore V (2; 3). Le equazioni della traslazione sono: { x = x + 2 y = y + 3 Le equazioni della traslazione inversa sono: { x = x 2 y = y 3 Che si sostituiscono nell equazione xy = 1 e si ottiene: (x 2)( y 3) = 1 y 3 = 1 x 2 y = x 2 y = 3(x 2)+1 x 2 y = 3x 6+1 x 2 y = 3x 5 x 2 Mentre un iperbole equilatera riferita agli asintoti ha il centro nell origine O(0;0), la funzione omografica ha il centro O (2;3)
17 Viceversa, data la funzione omografica y = 3x 2 trova il suo centro, i semiassi, i vertici, i fuochi e x 1 disegnarla. Bisogna trasformare l equazione nella forma x y = cost e calcolare tutte le sue caratteristiche. Bisogna trasformare la funzione omografica in modo che al numeratore al posto della x compaia il denominatore x-1. y = 3(x 1) 2+3 x 1 y = 3(x 1)+1 x 1 y = x 1 y 3 = 1 x 1 (x 1)( y 3) = 1 Poniamo: { x = x 1 y = y 3 e si ottiene: x y = 1 che è un iperbole equilatera riferita agli asintoti con centro C (0; 0) Abbiamo anche: k = 1 a 2 2 = 1 a2 = 2 a = 2 Essendo x e y concordi, l iperbole si trova nel 1 e 3 quadrante. I vertici si trovano a distanza a = 2 dall origine degli assi. Perciò: A 1 ( 1; 1) A 2 (1; 1) c = a 2 + b 2 = 2a 2 = a 2 = 2 I fuochi si trovano a distanza c = 2 dall origine degli assi. Perciò: F 1 ( c 2 ; c 2 ) = F 1 ( 2; 2) F 2 ( 2; 2) Le caratteristiche della funzione omografica si trovano applicando le equazioni della trasformazione inversa: { x = x + 1 y = y + 3 al centro, ai vertici e ai fuochi: C (0; 0) C(1; 3) A 1 ( 1; 1) A 1 (0; 2) A 2 (1; 1) A 2 (2; )) F 1 ( 2; 2)) F 1 (1 2; 3 2) F 2 ( 2; 2))) F 1 (1 + 2; 3 + 2)
18 Esercizio. Data la funzione omografica y = x+1 disegnarla. 2x+3 trova il suo centro, i semiassi, i vertici, i fuochi e Per ottenere al numeratore 2x al posto di x, moltiplichiamo ambo i membri per 2. 2y = 2x+2 2x+3 2y = 2x+3 1 2x+3 2y = 1 1 2x+3 2y 1 = 1 2x+3 (2x + 3)(2 y 1) = 1 Ponendo { x = 2x + 3 y si ottiene: x = 2y 1 y = 1 che è un iperbole equilatera riferita agli asintoti che si trova nel secondo e quarto quadrante con C (0; 0) Abbiamo anche: k = 1 a2 2 = 1 a 2 2 = 1 a2 = 2 a = 2 I vertici si trovano a distanza a = 2 dall origine degli assi. Perciò: A 1 (1; 1) A 2 ( 1; 1) c = a 2 + b 2 = 2a 2 = a 2 = 2 I fuochi si trovano a distanza c = 2 dall origine degli assi. Perciò: F 1 ( 2; 2) F 2 ( 2; 2) Le caratteristiche della funzione omografica si trovano applicando le equazioni della trasformazione inversa al centro, ai vertici e ai fuochi: { 2x = x 3 2y = y + 1 x 3 x = 2 { y = y +1 2 C (0; 0) C( 3 2 ; 1 2 ) A 1 (1; 1) A 1 ( ; ) ) A 1( 2 2 ; 0) ) A 1( 1; 0) A 2 ( 1; 1) A 2 ( 1 3 ; 1+1 ) A 2 2 2( ; 2 ) ) A 2 2 2( 2; 1) F 1 ( 2; 2) F 1 ( 2 3 ; 1 2 ) 2 2 F 2 ( 2; 2) F 2 ( 2 3 ; 1+ 2 ) 2 2
19 Esercizio. Trova le caratteristiche della funzione omografica: y = 5x+1 x 3 moltiplichiamo ambo i membri per 5. y = 5 (5x+1) 5 x 3 5 x+ 5 y = x 3 5 x 3+ 5 y = +3 x 3 y = x y = x 3 19 y = x 3 19 y 1 = 5 5 x 3 moltiplichiamo ambo i membri per 5 y 5 = 19 x 3 (x 3)(y 5) = 19..e così via 11 Esercizi vari sulle coniche.
Geometria analitica del piano
Geometria analitica del piano dott.ssa Vita Leonessa Università degli Studi della Basilicata (27 marzo 2008) (Analisi) Matematica 2 CdL in Chimica, Biotecnologie, Scienze Geologiche Rette Fissato un sistema
DettagliCorso di Matematica II
Corso di Matematica II Università degli Studi della Basilicata Dipartimento di Scienze Corso di laurea in Chimica e in Scienze Geologiche A.A. 2014/15 dott.ssa Vita Leonessa Elementi di geometria analitica
DettagliFormulario di Geometria Analitica a.a
Formulario di Geometria Analitica a.a. 2006-2007 Dott. Simone Zuccher 23 dicembre 2006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
Dettagli1. conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio
Terzo modulo: Geometria analitica Obiettivi 1 conoscere le nozioni fondamentali della geometria analitica del piano e dello spazio interpretare geometricamente equazioni e sistemi algebrici di primo e
DettagliGeometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L IPERBOLE
Geometria Anali-ca DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L IPERBOLE INTRODUZIONE L iperbole fa parte di un insieme di curve (circonferenza, parabola, ellisse) chiamate coniche, perché si possono
DettagliGEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliRipasso Formule sulle parabole:
Ripasso Formule sulle parabole: Equazione generica: Y = ax 2 + bx + c a Apertura della parabola: 1/2p c Punto d incontro con l asse delle Y p Distanza focale: Fuoco direttrice (2 FV) Radici: Risoluzione
DettagliGeometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L ELLISSE
Geometria Anali-ca DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica L ELLISSE INTRODUZIONE L ellisse fa parte di un insieme di curve (circonferenza, parabola, iperbole) chiamate coniche, perché si possono
DettagliPIANO CARTESIANO E RETTA
PIANO CATESIANO E ETTA Distanza tra due punti: d(a, B) = (x A x B ) + (y A y B ) Distanza tra due punti su una retta di coefficiente angolare m: d(a, B) = x A x B + m Punto medio di un segmento: M = (
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Coniche Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Coniche
DettagliGEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO. y 2. + y 1
GEOMETRIA ANALITICA : FORMULARIO + x 1 Punto medio d'un segmento, y + y 1 Distanza tra due punti ( - x 1 ) + (y - y 1 ) Condizione di appartenenza di un punto P (x p ;y p ) ad una curva di equazione f(x,y)
DettagliEllisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?
Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza
DettagliConiche - risposte 1.9
Coniche - risposte. CAMBI DI COORDINATE ) ) cosπ/) sinπ/). a. Rotazione di π/, la matrice di rotazione è = sinπ/) cosπ/) ) ) ) X = Y X = Quindi le formule sono: cioè: Y = X e inversamente Y = = Y X = b.
DettagliLE CONICHE. CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia. Con materiale liberamente scaricabile da Internet.
LE CONICHE CIRCONFERENZA ELLISSE PARABOLA IPERBOLE Un po di storia Con materiale liberamente scaricabile da Internet www.domenicoperrone.net 1 Prima di iniziare lo studio delle coniche facciamo dei richiami
DettagliEsercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato
Esercizi riepilogativi sulle coniche verso l esame di stato n. 9 pag. 55 Sono date le curve α e β definite dalle seguenti relazioni: α : xy x y + 4 = 0 β : luogo dei punti P (k + ; 1 + k ), k R a) Dopo
DettagliNote di geometria analitica nel piano
Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................
DettagliGeometria Anali-ca. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica LA PARABOLA
Geometria Anali-ca DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica LA PARABOLA INTRODUZIONE La parabola fa parte di un insieme di curve (circonferenza, ellisse, iperbole) chiamate coniche, perché si possono
DettagliIn un triangolo un lato è maggiore della differenza degli altri due, pertanto dal triangolo si ha > dividendo per =1.
L iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Come si evince del grafico, la differenza delle distanze
DettagliMetodo 1 - Completamento del quadrato
L iperbole traslata Esercizi Esercizio 472.121.b Traccia il grafico della curva di equazione: 9² 4² + 18 + 8 31=0 Metodo 1 - Completamento del quadrato Poiché i coefficienti di e sono opposti, si tratta
DettagliGeometria analitica piana
Geometria analitica piana 1. La geometria analitica Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame tra enti algebrici ed enti
DettagliII Università degli Studi di Roma
Versione preliminare gennaio TOR VERGATA II Università degli Studi di Roma Dispense di Geometria. Capitolo 3. 7. Coniche in R. Nel Capitolo I abbiamo visto che gli insiemi di punti P lineare di primo grado
DettagliFissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u.
Fissiamo nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, x, y, u. Definizione Una conica è il luogo dei punti, propri o impropri, reali o immaginari, che con le loro coordinate omogenee (x,
DettagliEllisse riferita a rette parallele ai suoi assi
prof. F. Buratti Liceo della Comunicazione G. Toniolo (versione 0.3.6 venerdì 22 marzo 2007) 1 Premessa Finora abbiamo studiato l equazione di un ellisse riferita al centro e agli assi. Consideriamo ora
Dettaglif(x) = sin cos α = k2 2 k
28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza
DettagliFasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente
1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della
DettagliLe coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.
Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono
DettagliRELAZIONI e CORRISPONDENZE
RELAZIONI e CORRISPONDENZE Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: X x Y = {(x,y): x X, y Y} L insieme costituito dai primi (secondi)
DettagliLa parabola terza parte Sintesi
La parabola terza parte Sintesi [ ] Qual è l equazione generale della parabola con l asse di simmetria orizzontale ( cioè parallelo all asse x )? Con quale trasformazione si ricava questa equazione da
DettagliConiche Quadriche. Coniche e quadriche. A. Bertapelle. 9 gennaio A. Bertapelle Coniche e quadriche
.. Coniche e quadriche A. Bertapelle 9 gennaio 2013 Cenni storici Appollonio di Perga (III a. C.) in Le coniche fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte le coniche (ellisse, parabola,
Dettagli~ E 2 (R) si determini l equazione cartesiana del
In Esercizio 1 ~ E (R) si determini l equazione cartesiana del luogo dei punti equidistanti dal punto F=(1,) e dalla retta y=x. a) Si classifichi la conica così ottenuta; b) Si determini l asse e il vertice;
DettagliGeometria analitica: curve e superfici
Geometria analitica: curve e superfici geometriche algebriche e matrici e isometrie Riduzione Invarianti Studio di coniche Intersezione con rette e tangenti in forma parametrica 006 Politecnico di Torino
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002
Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere
DettagliGEOMETRIA ANALITICA 2
GEOMETRIA ANALITICA CONICHE Dopo le rette, che come abbiamo visto sono rappresentate da equazioni di primo grado nelle variabili x e y (e ogni equazione di primo grado rappresenta una retta), le curve
DettagliCOMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin
COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane
DettagliH precedente. Procedendo come sopra, si costruisce la matrice del cambiamento di base
Geometria analitica e algebra lineare, anno accademico 9/1 Commenti ad alcuni esercizi 17 Diagonalizzazione di matrici simmetriche Coniche Commenti ad alcuni degli esercizi proposti 17 Diagonalizzazione
DettagliUniversita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA (Edile-Architettura e dell Edilizia) CONICHE DI R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio
DettagliGeometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)
Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler) Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
DettagliEsercizi geometria analitica nel piano. Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi. Correzione
Esercizi geometria analitica nel piano Corso di Laurea in Informatica A.A. Docente: Andrea Loi Correzione 1. Scrivere le equazioni parametriche delle rette r e s di equazioni cartesiane r : 2x y + = 0
DettagliGEOMETRIA. Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili. Studio delle figure (nel piano/spazio) Problemi algebrici sulle figure geometriche
GEOMETRIA ANALITICA EUCLIDEA Studio dei luoghi /relazioni tra due variabili Studio delle figure (nel piano/spazio) Funzioni elementari Problemi algebrici sulle figure geometriche Grafici al servizio dell
DettagliCalcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc
Dettagli(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo
GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()
DettagliCorso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi. A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni hanno senso?
A. Languasco - Esercizi Matematica B - 4. Geometria 1 A: Vettori geometrici Corso di Matematica B - Ingegneria Informatica Testi di Esercizi A1. Siano u, v, w vettori. Quali tra le seguenti operazioni
DettagliX = x + 1. X = x + 1
CONICHE. Esercizi Esercizio. Classificare, ridurre a forma canonica (completando i quadrati), e disegnare le seguenti coniche: γ : x y + x = 0; γ : x + 4x y + = 0; γ 3 : x + y + y + 0 = 0; γ 4 : x + y
DettagliProprietà focali delle coniche.
roprietà focali delle coniche. Mauro Saita e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria, gennaio 2014 Indice 1 Coniche 1 1.1 arabola....................................... 1 1.1.1 roprietà focale
Dettagli1 Geometria analitica nel piano
Lezioni di Geometria a.a. 2007-2008 cdl SIE prof. C. Franchetti 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 )
DettagliFormulario di Geometria Analitica
Formulario di Geometria Analitica Indice degli argomenti Retta Circonferenza Paraola Ellisse Iperole 1 Retta Equazione della retta in forma implicita ax + y + c = 0 a = 0 x = 0 y Se retta parallela all'asse,
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE FILIPPO LUSSANA - BERGAMO. PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO a. s. 2014/15
LICEO SCIENTIFICO STATALE FILIPPO LUSSANA - BERGAMO PROGRAMMA EFFETTIVAMENTE SVOLTO a. s. 2014/15 CLASSE : 3N indirizzo scienze applicate DOCENTE: CAPRI MATTEO MATERIA: MATEMATICA Libro di testo utilizzato:
DettagliFormule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a
Formule Utili Analisi Matematica per Informatici a.a. 006-007 Dott. Simone Zuccher dicembre 006 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore zuccher@sci.univr.it).
DettagliAppunti sulla circonferenza
1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano
DettagliVincenzo Aieta CONICHE, FASCI DI CONICHE
Vincenzo Aieta CONICHE, FASCI DI CONICHE Le coniche 1 Teoria delle Coniche Il nome conica deriva dal semplice fatto che gli antichi Greci secando con un piano una conica a doppia falda ottenevano, a seconda
DettagliProblemi sull iperbole
1 ricerca dell equazione dell iperbole Scrivere l equazione, riferita agli assi, dell iperbole che ha l asse delle ascisse come asse traverso, le rette xx yy = 0, xx + yy = 0 come asintoti e passa per
Dettagliil discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere
Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere
DettagliPROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017
PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione
DettagliFormulario. Coordinate del punto medio M di un segmento di estremi A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ): x1 + x y 2
Formulario Componenti di un vettore di estremi A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 B A = AB = (x2 x 1 i + (y 2 y 1 j Distanza tra due punti A(x 1, y 1 e B(x 2, y 2 : AB = (x 2 x 1 2 + (y 2 y 1 2 Coordinate del punto
DettagliLA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.
Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di
Dettagli1. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 2 7;3) e (2 7;3) e passante per il punto (2 6;4).
. Scrivi l equazione dell ellisse avente per fuochi i punti ( 7;3) e ( 7;3) e passante per il punto ( 6;). Determino il centro di simmetria dell ellisse, O, punto medio dei due fuochi, ovvero (0;3), perciò
DettagliCenni sulle coniche 1.
1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò (pstagliano@unime.it) Scopo della geometria analitica
DettagliUn fascio di coniche è determinato da una qualsiasi coppia di sue coniche distinte.
Piano proiettivo Conica: curva algebrica reale del II ordine. a 11 x 2 1 + 2a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2a 13 x 1 x 3 + 2a 23 x 2 x 3 + a 33 x 2 3 = 0 x T A x = 0 Classificazione proiettiva delle coniche:
DettagliPROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO. a. s CLASSE 3Cs. Insegnante: prof.ssa Franca TORCHIA Disciplina: MATEMATICA
PROGRAMMA SVOLTO E INDICAZIONI LAVORO ESTIVO a s 07-08 CLASSE Cs Insegnante: profssa Franca TORCHIA Disciplina: MATEMATICA PROGRAMMA SVOLTO EQUAZIONI E DISEQUAZIONI - Disequazioni e princìpi di equivalenza
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle da un altra angolazione.. Determinare
Dettagli2 2 2 A = Il Det(A) = 2 quindi la conica è non degenere, di rango 3.
Studio delle coniche Ellisse Studiare la conica di equazione 2x 2 + 4xy + y 2 4x 2y + 2 = 0. Per prima cosa dobbiamo classificarla. La matrice associata alla conica è: 2 2 2 A = 2 2 2 Il DetA = 2 quindi
Dettaglideterminare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si
PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad
DettagliGeometria analitica piana
Capitolo 4 Geometria analitica piana 4.1 Il riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano del piano è costituito da una coppia di rette orientate, dette asse x o asse delle ascisse e asse
DettagliMatematica Lezione 6
Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 6 Sonia Cannas 25/10/2018 Retta passante per un punto e direzione assegnata Data l equazione di una retta in forma esplicita y = mx
DettagliAppunti di geometria analitica: Parte n.1 Retta,circonferenza,parabola
Premessa: Prepararsi al test per l ammissione all università NON significa provare e riprovare i quesiti che si trovano sui vari siti o libretti ma: fare un primo generale ripasso di ogni argomento citato
Dettagli( ) 2. Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( x) 2 2x. 3. Per quale valore del parametro m il polinomio P(
ALGEBRA E ANALITICA. Determina il resto della divisione fra il polinomio P ( ) e il binomio D ( ). [ R ( ) ] + + + ( ) Detto D() il polinomio divisore, Q() il polinomio quoziente, R() il resto, il polinomio
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema
Dettagli[ RITORNA ALLE DOMANDE] 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 1) Che cos è una conica?
Matematica 1) Che cos è una conica? 2) Definisci la parabola come luogo geometrico. 3) Qual è l equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all asse delle y? 4) Qual è l equazione di una
Dettagli4. Sia Γ la conica che ha fuoco F (1, 1) e direttrice d : x y = 0, e che passa per il punto P (2, 1).
Geometria Complementi ed esercizi sulle coniche 1 (a) Scrivere l equazione dell ellisse Γ che ha fuochi F 1 ( 1, 1), F (1, 1) e che passa per il punto P (1, 1) (b) Determinare il centro, gli assi e i vertici
DettagliTrapani. Dispensa di Geometria,
2014 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Gauss Lagrange Diciamo che la matrice simmetrica reale A e congruente alla matrice B mediante la matrice invertibile N se N t AN = B. Diciamo che A e diagonalizzabile
DettagliEsercizi sulle coniche (prof.ssa C. Carrara)
Esercizi sulle coniche prof.ssa C. Carrara Alcune parti di un esercizio possono ritrovarsi in un altro esercizio, insieme a parti diverse. È un occasione per affrontarle più volte.. Stabilire il tipo di
DettagliLe coniche retta generatrice
Le coniche Consideriamo un cono retto a base circolare a due falde ed un piano. Le intersezioni possibili tra le due figure sono rappresentate dallo schema seguente Le figure che si possono ottenere sono
DettagliSIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE. 16 20 20 0 5 5 dovendo essere
SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE Problema 1: a) y = 4 x 4 x + x = 0 y = x x 1 x 1 C. E.: 4 x 0 x y = 4 x y = 4 x x + y = 4 semiocirconferenza superiore di centro l'origine e raggio C. C.:
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliIperbole. ricerca dell equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle xx
1 ricerca dell equazione dell iperbole con i fuochi sull asse delle xx Scrivere l equazione dell iperbole avente i fuochi FF 1 (,0) ed FF (,0) e passante per A(, ) xx yy = 1 Scrivere l equazione dell iperbole
DettagliCorso di Geometria Meccanica, Elettrotecnica Esercizi 11: soluzioni
Corso di Geometria 0- Meccanica Elettrotecnica Esercizi : soluzioni Esercizio Scrivere la matrice canonica di ciascuna delle seguenti trasformazioni lineari del piano: a) Rotazione di angolo π b) Rotazione
DettagliLA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE
LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da
DettagliCdL in Ingegneria Informatica (Orp-Z)
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria del giorno 1 Febbraio 2006 Sia f : R 4 R 4 l applicazione lineare definita dalla legge f (x, y, z, t) = (2x + (h + 3)y + (1 h)z + t, 2x + 5y + (h + 5)z + 2t,
DettagliParte 12b. Riduzione a forma canonica
Parte 2b. Riduzione a forma canonica A. Savo Appunti del Corso di Geometria 202-3 Indice delle sezioni. Coniche, 2. Esempio di riduzione, 4 3. Teoremi fondamentali, 6 4. Come determinare l equazione canonica,
DettagliCompito A
Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).
DettagliProgramma di matematica classe 3 a sez. B a.s
Programma di matematica classe 3 a sez. B a.s. 2015-2016 Testo in adozione: Bergamini-Trifone-Barozzi Matematica.blu 2.0 - vol.3 Zanichelli Temi trattati nel corso dell anno scolastico: Piano Cartesiano
DettagliClassificazione delle coniche.
Classificazione delle coniche Ora si vogliono studiare i luoghi geometrici rappresentati da equazioni di secondo grado In generale, non è facile riconoscere a prima vista di che cosa si tratta, soprattutto
DettagliSommario lezioni di geometria
Sommario lezioni di geometria C. Franchetti November 12, 2006 1 Geometria analitica nel piano 1.1 Distanza di due punti Siano P 1 = (x 1, y 1 ), P 2 = (x 2, y 2 ) due punti del piano, se d(p 1, P 2 ) indica
DettagliGEOMETRIA svolgimento di uno scritto del 11 Gennaio 2012
GEOMETRIA svolgimento di uno scritto del Gennaio ) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: x + y 5z = 3x y + z = x y + 8z =. Il sistema può essere scritto in forma
Dettagli1 Cambiamenti di coordinate nel piano.
Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U
DettagliUniversità degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *
Università degli Studi di Roma - La Sapienza, Facoltà di Architettura Formulario di Matematica *. Distanza tra due punti A ; ) e B ; ) del piano cartesiano: AB = ) + ) +. Punto medio M del segmento AB
Dettagli24.1 Coniche e loro riduzione a forma canonica
Lezione 24 24. Coniche e loro riduzione a forma canonica Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y amenodicostantimoltiplicativenonnulle,diciamo ax
DettagliGeometria BAER Canale I Esercizi 12
Geometria BAER Canale I Esercizi Alcuni di questi esercizi forse sono un po difficili visto che abbiamo fatto questa parte un po in fretta, ma si può sempre provare. Esercizio. Si scrivano le equazioni
Dettagli1) Trovare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente sistema omogeneo: 3x y + 11z = x y + 9z = 2x + y 6z = 0.
12 Gennaio 211 Ingegneria...... Matricola... In caso di esito sufficiente desidero sostenere la prova orale: [ ] oggi [ ] Mercoledì 19 Gennaio ore 15. [ ] Giovedì 27 Gennaio ore 11. [ ] Lunedì 14 Febbraio
DettagliCalcolo Algebrico. Primo grado. ax 2 + bx + c = 0. Secondo grado. (a 0) Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: ax + b = 0
Calcolo Algebrico Equazioni e disequazioni in una incognita e coefficienti reali: Primo grado ax + b = 0 (a 0) x = b a Secondo grado ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Si hanno due soluzioni che possono essere reali
DettagliL algebra lineare nello studio delle coniche
L algebra lineare nello studio delle coniche È possibile utilizzare le tecniche dell algebra lineare per studiare e classificare le coniche. Data l equazione generale di una conica, si considera la sua
Dettagliformano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale.
) Mostrare che i 3 vettori v=, u=, w= 3 formano una base B di R 3. Scrivere la matrice di passaggio dalla base B alla base canonica e dire se tale matrice è ortogonale. ) Sia f : R 4 R 4 la seguente applicazione
DettagliLiceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI
Liceo Classico e Internazionale C. Botta Ivrea LAVORI ESTIVI Anno scolastico: 014-015 Classe: 3 H Docente: Paola Zanolo Disciplina: Matematica Ripassare tutto il programma preparando un formulario per
Dettagli