Geometria proiettiva. seminario matematico n 5
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- Alessandra Casagrande
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1 Geometria proiettiva seminario matematico n 5
2 Gli studi sulla prospettiva del primo rinascimento All inizio del 1400 molti artisti si misero a studiare la prospettiva per rappresentare paesaggi e ambienti. Tra essi Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti, Masaccio, Perugino, Corradini.
3 Gli studi sulla prospettiva del primo rinascimento Filippo Brunelleschi osservò che le linee parallele sembrano incontrarsi in un punto. Da quest osservazione si sviluppò la tecnica della prospettiva pittorica per rappresentare lo spazio su un piano. La costruzione spaziale è realizzata partendo dal punto di vista dell uomo. Navata centrale chiesa S. Spirito - Firenze
4 Bartolomeo di Giovanni Corradini (Fra Carnevale) Annunciazione 1460 National Gallery di Washington
5 Antonello da Messina San Girolamo nello studio 1475 National Gallery di Londra
6 1490 Città ideale Anonimo - Galleria Nazionale delle Marche a Urbino
7 Prospettiva e punti di fuga Prospettiva centrale Prospettiva accidentale
8 Girard Desargues Matematico francese ( ) diventò ufficiale dell esercito francese, poi ingegnere e architetto. Fu molto sollecitato dai problemi e dagli studi sulla prospettiva dei pittori rinascimentali. Il suo testo più importante fu dedicato ai metodi proiettivi in geometria e fu presentato nel In esso fondò un nuovo modo di considerare la geometria sintetica, euclidea, con l estensione all infinito dei suoi elementi di base come punti, rette e piani.
9 I punti impropri Le osservazioni visuali dei pittori portarono a notare che tutte le rette parallele convergono a uno stesso punto, il punto di fuga dei dipinti. Desargues disse che quello poteva essere interpretato come il punto all infinito, comune a tutte le rette dei un fascio (improprio). Così ad ogni retta fu aggiunto un punto, detto punto improprio. R
10 I punti impropri I punti all infinito, punti impropri, di tutti fasci di rette parallele (uno per ogni fascio) si possono intendere come le direzioni dei diversi fasci. Così due rette qualsiasi hanno sempre un punto in comune: se il punto è proprio, le rette sono incidenti, se improprio, le rette sono parallele. R P Q
11 La retta proiettiva Ogni retta completata col suo punto improprio è detta retta proiettiva. r R E poiché il punto improprio è unico, la retta può pensarsi come un insieme chiuso, n cui il + e il - coincidono. R r
12 La retta impropria L insieme di tutti i punti impropri, cioè i punti all infinito, forma una retta detta retta impropria: la linea di orizzonte. r
13 Il piano proiettivo Il piano completato con la sua retta impropria (retta all infinito) è detto piano proiettivo. r
14 Piano proiettivo Punto all infinito fascio s retta all infinito (impropria) Punto all infinito fascio r S r R Rette parallele ad una retta s con un punto comune all infinito S Rette parallele ad una retta r con un punto comune all infinito R..
15 Coordinate proiettive - omogenee Studi sulla prospettiva Geometria proiettiva Coordinate proiettive Brunelleschi. (Italia) Desargues (Francia) Mobius (Germania) Dopo un paio di secoli segnati dalla nascita e dalla diffusione della geometria analitica, August Ferdinand Mobius (matematico e astronomo tedesco, ) ebbe la brillante idea di dotare i punti del piano proiettivo di 3 coordinate dette omogenee, anziché le due del piano cartesiano. P(x,y) P(x 0, x 1, x )
16 Dalle coordinate affini a quelle proiettive P(x,y) P(x 0, x 1, x ) x = x 1 x 0 ; y = x x 0 Se x 0 = K 0 allora (x,y) (k, kx, ky) Ovvero ogni punto del piano proiettivo ha coordinate definite a meno di una costante k; Così, ad esempio, P(5,8) ha coordinate proiettive (1, 5, 8) oppure (, 10, 16). La terna di coordinate omogenee (0,0,0) è l unica che non è associata ad alcun punto. Le terne di coordinate omogenee (0,x 1,x ) individuano i punti impropri (all infinito). E questo è il vantaggio dell aggiunta della 3 coordinata.
17 Rappresentazione geometrica di punti sul paino proiettivo Primo caso: x 0 0. Il punto proiettivo è un punto proprio. Lo si trasforma in coordinate affini: x = x 1 ; y = x e lo si rappresenta x graficamente sul piano cartesiano. 0 x 0 Secondo caso: x 0 =0. Il punto proiettivo è un punto improprio, e per rappresentarlo si deve disegnare sul piano una retta che abbia la direzione specificata dal punto improprio. E comodo utilizzare il metodo seguente: - si ignora la prima coordinata omogenea e si ottiene un punto in coordinate affini. - si traccia la retta passante per tale punto e per l origine e si ottiene una retta che ha come direzione il punto improprio. Le infinite rette parallele ad essa hanno tutte lo stesso punto improprio; si ottengono, come visto precedentemente, al variare di c R.
18 Rappresentazione geometrica di punti sul paino proiettivo Esempio 1 caso : P(1, 3,) Coordinate proiettive x = x 1 x 0 ; y = x x 0 P(3,) Coordinate affini
19 Rappresentazione geometrica di punti sul paino proiettivo Esempio caso : P (0, 3,) Coordinate proiettive - si ignora la prima coordinata omogenea e si ottiene un punto in coordinate affini. - si traccia la retta passante per tale punto e per l origine e si ottiene una retta che ha come direzione il punto improprio. Le infinite rette parallele ad essa hanno tutte lo stesso punto improprio; si ottengono al variare di c R. P(3,) Coordinate affini x-3y=0 x-3y+c=0 Infatti 3-3 +c 0=0
20 Assi cartesiani in coordinate proiettive (omogenee)
21 Equazioni di rette in coordinate omogenee Una retta r che nel piano cartesiano ha equazione ax + by + c = 0, nel piano proiettivo ha equazione a x 1 + b x + c = 0 x 0 x 0 Ovvero r: ax 1 + bx + c x 0 = 0 La retta impropria, essendo il luogo dei punti del piano proiettivo aventi la prima coordinata nulla, ha equazione x 0 = 0 (r ). Il punto improprio della retta r si ricava intersecando r con r ax 1 + bx + cx 0 = 0 x 0 = 0 ax 1 + bx = 0 x 0 = 0 x = ka x 1 = kb x 0 = 0 R (0, kb,-ka)
22 Esempi La retta cartesiana r di equazione -x + y - 1 = 0 ovvero y=x+1 ha equazione proiettiva -x 1 + x x 0 = 0 e punto improprio R (0, 1, ) Mentre la retta cartesiana s di equazione -x +3y +3 = 0, ovvero y=1/3x - 1 ha equazione proiettiva -x 1 +3x + 3x 0 = 0 e punto improprio Q (0, 3, 1)
23 Osservazione 1 Le tre rette in figura hanno equazioni x-y+1=0; 4x-y=0; 6x-3y-9=0 Le equazioni in coordinato omogenee sono: x 1 -x +x 0 =0; 4x 1 -x =0; 6x 1-3x -9x 0 =0 I rispettivi punti impropri hanno coordinate: (0,1,); (0,,4); (0,3,6) Unico punto improprio P (0,k,k) Le coordinate proiettive di un punto, sia proprio che improprio, non sono definite in modo univoco, ma a meno di una costante non nulla. Quindi, dato λ 0 le coordinate (x 0,x 1,x ) e (λx 0,λx 1,λx ) rappresentano lo stesso punto.
24 Osservazione Se cerchiamo le intersezioni tra x-y+1=0; 4x-y=0 - x-y+1=0 4x-y = =0 nessuna soluzione In coordinato omogenee: - x 1 - x + x 0 =0; soluzione 4x 1 -x =0; (0, k, k) x 0 =0 E così esemplificato che rette parallele s incontrano nel comune punto improprio.
25 Osservazione 3 Se cerchiamo le intersezioni tra x + y - 4 = 0; x y = 0 x + y 4 = 0 x - y = 0 3x 0-4 =0 x=4/3, y=8/3 In coordinato omogenee: x 1 + x - 4x 0 = 0; x 1 - x =0; (x 0,4/3 x 0, 8/3 x 0 ) 3x 1 0-4x 0 = 0 Se x 0 = 0 si ha la terna (0,0,0) che non corrisponde ad alcun punto; quindi le due rette hanno in comune solo il punto proprio (4/3,8/3) ovvero (K,4/3K,8/3K) con k 0 in coord. omogenee
26 Coniche nel piano proiettivo Vediamo cosa succede riscrivendo le equazioni delle coniche in coordinate omogenee Una conica ha un equazione di grado che nella sua forma più generale è la seguente: ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 ax 1 + bx + cx 1 x + dx 1 x 0 + ex x 0 + fx 0 = 0 Le forme canoniche: y=x o x=y x a + y b = 1 x a y b = 1 - parabola; ellisse e circonferenza; - iperbole Sono casi particolari.
27 Parabole nel piano proiettivo Esempio 1: y = x x x 0 = x 1 x 0 x0 x =x 1 Esempio : y=x + 4x +4 x 1 + 4x 0 x 1 + 4x 0 -x x 0 = 0 Esempio 3: x=y x 0 x 1 = x Parabola proiettiva Parabola proiettiva Se intersechiamo con la retta impropria si ottiene x 0 x = x 1 (0, 0, k) es (0, 0, 1) o (0, 0, 3) ecc. x 0 = 0 NB: 1 SOLO PUNTO: il punto improprio dell asse y x 1 + 4x 0 x 1 + 4x 0 x x 0 = 0 (0, 0, k) es (0, 0, 1) o (0, 0, 3) x 0 = 0 NB: stessa soluzioni di prima: il punto improprio dell asse y x 0 x 1 =x x 0 = 0 (0, k, 0) es (0, 1, 0) o (0, 5, 0) NB: punto improprio dell asse x Retta impropria Le parabole hanno dunque un solo punto improprio. Questo è la prova algebrica che i due rami, pur aprendosi all infinito, tendono ad essere paralleli.
28 Parabole nel piano proiettivo Ora il discorso si può estendere alle parabole con assi obliqui -x -5y + 10xy -x + 17y -3 = 0 -x 1-5x + 10x 1 x -x 1 x x x 0-3x 0 = 0 Se intersechiamo con la retta impropria si ottiene x 1 5x + 10x 1 x x 1 x x x 0 3x 0 = 0 x 0 = 0 x 1 5x + 10x 1 x = 0 x 0 = 0 (x 1 5x ) = 0 (0,5k,k) x 0 = 0 Che è il punto improprio della retta x 1 5x + kx 0 =0 Ovvero x 1 5 x = k y = 1 x + q x 0 x 0 5
29 Ellisse nel piano proiettivo Esempio: x 4 + y 9 = 1 x 1 x 0 + x 3x 0 =1 Se intersechiamo con la retta impropria si ottiene x 1 x 0 + x 3x 0 =1 x 0 = 0 x 1 + x = x solo (0,0,0) x 0 = 0 NESSUNA SOLUZIONE Retta impropria Le ellissi dunque sono le coniche che non hanno punti impropri.
30 Iperbole nel piano proiettivo Esempio: x 4 - y 9 = 1 x 1 x 0 x 3x 0 =1 Se intersechiamo con la retta impropria si ottiene x 1 x 0 x 3x 0 =1 x 0 = 0 9x 1 4x = 0 x 0 = 0 x 1 x = x x 0 = 0 3x 1 x 3x 1 + x = 0 x 0 = 0 (0,, 3) e (0,, -3) punti impropri delle rette x = 3 x 1 y = 3 x che sono gli asintoti Retta impropria Le iperboli hanno dunque due punti impropri. Questo è la prova algebrica che i due rami, pur aprendosi all infinito, tendono ad assumere la direzione dei due asintoti.
31 Studi di coniche 1) Riconoscere la natura della conica di equazione x +xy+y +4x-8=0 x 1 +x 1 x +x +4x 1 x 0-8x 0 = 0 x 0 = 0 x 1 +x 1 x +x = 0 x 1 = x ± x x <0 nessun punto improprio ellisse
32 Studi di coniche 1) Riconoscere la natura della conica di equazione x - 4xy + 3y - x + y + 1 = 0 x 1-4x 1 x + 3x - x 1 x 0 + x x 0 + x 0 = 0 x 0 = 0 x 1-4x 1 x + 3x = 0 (x1 3x)(x1 x) = 0 x1 = 3x e x1 = x punti impropri (0, 3k,k) e (0, k,k) ovvero le direzioni delle rette y = 1/3 x e y = x. Dunque la curva è una iperbole e gli asintoti sono paralleli alla rette y=1/3x e y = x.
33 Vedere ciò che avviene all infinito L abbinamento algebra-geometria, con la nuova interpretazione proiettiva permette dunque vedere chiaramente cosa succede all infinito. Le coniche restano così ridefinite in una forma unitaria con equazione ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 ax 1 + bx + cx 1 x + dx 1 x 0 + ex x 0 + fx 0 = 0 - Ellissi e circonferenze non hanno punti impropri; - Le parabole ne hanno uno solo (sono perciò «tangenti» alla retta impropria); - Le iperboli ne hanno : gli stessi dei loro asintoti.
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