Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli

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1 Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando il quadrato, si osserva che x + y x x + y 4 cioè C è la circonferenza di centro, e raggio analogamente C : x + y la circonferenza di centro, e raggio. Quindi R è la semicorona circolare compresa fra C e C nel primo quadrante. Passo : cambiamento di variabili l espressione analitica di f suggerisce l uso delle coordinate polari. Vediamo come si trasforma R: x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, ρ x + y Inoltre, ricordando che ρ, Allora R R, con è un dominio normale in ϑ. x x + y x ρ cosϑ ρ ρ cosϑ, x, y ϑ [ ], π ρ cosϑ ρ ρ cosϑ cosϑ ρ cosϑ. R ρ, ϑ [, + [, π] : ϑ Passo : calcolo l integrale xy R x + y + x + y dxdy ρ cosϑ sinϑ R ρ + ρ ρdρdϑ π/ sinϑ π/ π/ cosϑ [, π ], cosϑ ρ cosϑ } ρ cosϑ sinϑdρdϑ + ρ cosϑ sinϑ [ ln + ρ ] sinϑ cosϑ [ ] cosϑ sinϑ ln + 4 cos ϑ ln + cos ϑ dϑ I 4 I

2 ove per α > poniamo I α π/ cosϑ sinϑ ln + α cos ϑdϑ Effettuando il cambiamento di variabili z cos ϑ si ottiene I α che calcoliamo integrando per parti. Quindi ln + αzdz e allora I α R ln + α + α ln + α xy x + y + x + y dxdy 5 ln5 ln 8 Esercizio. z expx + y dxdydz, con x, y, z R 3 : x + y z }. Svolgimento. Il dominio di integrazione è dato dalle due condizioni x + y z, z che individuano la regione compresa fra il paraboloide z x + y che è una superficie di rotazione e il piano z. Sia la geometria del dominio nella cui espressione analitica compare il termine x + y sia l espressione di f che contiene il termine x + y suggeriscono l uso delle coordinate cilindriche x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, dxdydz ρdρdϑdz. z z In coordinate cilindriche, il dominio diventa : z [, ], ϑ [, π], ρ z ρ z. Quindi, integrando per fili in ρ si ha z z expρ ρ dρ dϑdz [,π] [,] [,π] [,] π [ z ] z expρ dϑdz dϑ ze z dz... π. Esercizio 3. xz dxdydz, ove è il solido contenuto nel primo ottante e limitato dalle superficie y x + z e y.

3 Svolgimento. Quindi è dato da x, y, z R 3 : x, y, z, x + z y }. È naturale interpretare come dominio normale rispetto all asse y e integrare per strati rispetto alle variabili x, z: infatti, : y, x, z y x, z R : x, z, x + z y }. Applicando la corrispondente formula di riduzione per strati, si ha xz dxdz dy. y Notiamo che per ogni y [, ] lo strato y è un disco di centro, e raggio y: è naturale calcolare l integrale esteso a y passando alle coordinate polari x ρ cosϑ x, z ρ, ϑ : dxdz ρ dρdϑ y ρ sinϑ e Quindi da cui xz dxdz y [, y] [,π/] 4 y ρ y, ϑ π. y π/ ρ cosϑ sinϑρ dρdϑ ρ 3 dρ sinϑ cosϑ dϑ y dy. [ 4 ρ4 ] y [ ] π/ cosϑ 4 y Procedimento alternativo. Interpretare come dominio normale rispetto al piano xy e integrare per fili in z, cioè osservare che e quindi x, z, x + z y z y x, x y : x, y x, y R : y, x y }, z y x. Quindi integrando per fili in z si ha y x xz dz dxdy... xy x 3 dxdy. ratto l integrale doppio su osservando che è un dominio normale in y e applico la relativa formula di riduzione. Esercizio: ritrovare il risultato applicando con questo procedimento alternativo. Esercizio 4. Siano a, b, c > e si consideri il volume racchiuso dall ellissoide x x + y dxdydz. a + y b + z c. 3

4 Svolgimento. Si osservi che x, y, z R 3 : x } a + y b + z c è simmetrico rispetto all asse x, all asse y, e all asse z. Inoltre la funzione integranda è chiaramente pari in x, in y e in z visto che non dipende da z. Allora è facile vedere che 8 x y dxdydz + con + x, y, z R 3 x } : a + y b + z, x, y, z. c La geometria del dominio di integrazione suggerisce il passaggio alle coordinate sferiche generalizzate x aρ cosϑ sinφ, y bρ sinϑ sinφ, dxdydz abcρ sinφ dρdϑdφ z cρ cosφ, e il dominio + diventa un parallelepipedo + [, ] [, π ] [, π ]. Quindi 8 8abc [,] [, π ] [, π ] [,] [, π ] [, π ] π/ 8abc ρ 4 dρ... 8abc πabc a + b. a ρ cos ϑ sin φ + b ρ sin ϑ sin φ abcρ sinφ dρdϑdφ a π 4 + π b 4 a ρ 4 cos ϑ sin 3 φ + b ρ 4 sin ϑ sin 3 φ dρdϑdφ π/ π/ sin 3 φ dφ a cos ϑ dϑ + b sin ϑ dϑ Esercizio assegnato. con il volume racchiuso dall ellissoide x 4 + y 9 + z 5. z dxdydz Risposta: π. Esercizio 5. con x + y dxdydz x, y, z R 3 : x + y + z, x + y z, z }. 4

5 Svolgimento. La geometria del dominio intersezione di una sfera con un cono, nel semispazio z }, così come l espressione analitica della funzione integranda, suggeriscono il passaggio alle coordinate cilindriche. A questo scopo, osserviamo che x + y + z, x + y z, z z, x + y minz, z }. Quindi passando alle coordinate cilindriche x ρ cosϑ, y ρ sinϑ, z z il dominio diventa dxdydz ρdρdϑdz. È facile vedere che : z [, ], ϑ [, π], ρ az : minz, z } minz, z}. z se z az, z se z. Allora, interpretando come dominio normale rispetto al piano ϑz e integrando per fili in ρ az ρ ρ dρdϑdz dρ dϑdz [,π] [,] π dϑ az dz / π z dz + z dz. / Con il cambiamento di variabile calcolo / z dz π/ π/4 sin t cost dt z sint π/ π/4 [ t + sint cost cos t dt ] π/ π/4 π 4 π 8 4. altra parte Quindi / z dz [ z ] / 4. π π 8 π 4. Esercizio 6. nel piano yz il volume V del solido ottenuto ruotando intorno all asse z la figura piana, contenuta G y, z R : z y 4 z, z }. 5

6 Svolgimento. Applico la formula ottenuta usando le coordinate cilindriche per il calcolo del volume dei solidi di rotazione V π ρ dρdz, G con G ρ, z [, + R : } z ρ 4 z, z. Allora, osservando che G è un dominio normale in z, 4 z V π ρ dρ dz π 4 z z dz... π. z Esercizio 7. ata una costante a >, calcolare il volume del solido x, y, z R 3 : x + y + z 3a, x + y az } Svolgimento. è l intersezione fra il volume racchiuso dalla superficie sferica di centro,, e raggio 3a il volume racchiuso dal paraboloide ellittico con base circolare x + y az Interpreto come dominio normale rispetto al piano xy. Graficamente, si vede che x, y variano nel disco chiuso, il cui bordo è la proiezione sul piano xy della circonferenza data dalla proiezione dell intersezione tra la superficie della sfera e il paraboloide. Quindi individuo la circonferenza intersezione fra superficie sferica e paraboloide x + y + z 3a x + y az z + az 3a z 3a, z a z 3a non accettabile. La circonferenza intersezione è C : x + y aa a, nel piano z a, la cui proiezione sul piano xy è x + y a. Quindi x, y R : x + y a } per x, y fissato, esplicito i vincoli su z: z a x + y z 3a x y Integrando per fili, calcolo vol dxdydz 3a x y dz dxdy a x + y 3a x y a x + y dxdy 6

7 Calcolo l integrale doppio passando alle coordinate polari [, a] [, π] quindi vol π a 3a ρ a ρ ρ dρ [ dϑ π 3 3a ρ 3/ ] a 8a ρ πa Procedimento alternativo I: integrare per strati NON È dominio normale risp. asse z, ma ragionando graficamente si vede che,, normali rispetto asse z : : z a x + y az a z 3a x + y 3a z si ha ZZZ ZZZ ZZZ dxdydz dxdydz + dxdydz e calcolo i due integrali con la riduzione per strati Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questoprocedimento. Procedimento alternativo II: usare i cambiamenti di coordinate. Osservare che con Allora, : il volume racchiuso dal paraboloide az x + y e dai piani z e z a. : il volume racchiuso dalla superficie sferica x + y + z 3a e dal piano z a. vol vol + vol e calcolo vol passando alle coordinate cilindriche, vol passando alle coordinate sferiche. Esercizio assegnato: ritrovare il risultato seguendo questo procedimento. Esercizio 8. ove Usando un altra formula di riduzione, calcolare expz dz dxdy x +y x, y R : x + y 4 }. 7

8 Svolgimento. La primitiva della funzione z expz non è una funzione elementare, impossibile calcolare x +y expz dz Calcolo I cambiando l ordine di integrazione. con è intersezione fra expz dxdydz, x, y, z R 3 : x + y 4, il cilindro solido retto infinito, di base x + y 4, } x + y z e il volume racchiuso dal paraboloide x + y z, con z. i fatto : z, x + y z è un dominio normale rispetto all asse z. Calcolo I integrando per strati expz dxdy x +y z} dz π expz areax + y z} dz z expz dz π [ expz ] πe4. Esercizio 9. ove dxdydz x + y + z / x, y, z R 3 : z x + y z z }. Svolgimento. Si noti che x + y z z x + y + z Quindi è l intersezione di x + y z complementare di x + y < z x + y z z sfera con C,, r La presenza di x + y nella definizione di suggerisce le coordinate cilindriche, quindi ϑ [, π], : z ρ z z Noto che z z z z [, ] 8

9 quindi : è dominio normale rispetto al piano ϑz. Quindi ϑ [, π], z [, ] z ρ z z z z ρ ρ dρdϑdz ρ + z / [,π] [,] z ρ + z π [ρ + z /] z z dz z π z z dz... 3 π. / dρ dϑdz Esercizio. il volume del solido x, y, z R 3 : x + y z 8 4x }. Svolgimento. È naturale intepretare come dominio normale rispetto al piano xy, cioè della forma x, y, x + y z 8 4x. Per determinare, osservo che segue dall espressione di che deve essere x +y 8 4x x +y +4x x +4x +4+y 4 x +y 4. Allora e, integrando per fili vol : Passando alle coordinate polari, calcolo 4 x y dxdy x, y : x + y 4, x + y z 8 4x 8 4x dz dxdy x +y [,] [,π] 4 ρ ρ dρdϑ π 4 x y dxdy. 4ρ ρ 3 dρ π 8 4 8π. Esercizio. ove ze y dxdydz, x, y, z R 3 : x + z 4, x, z, x y }. 9

10 Svolgimento. Si osservi che è un dominio normale rispetto al piano xz : : x, z : x, z, x + z 4 x y. Calcoliamo allora I riducendo per fili nella variabile y: ze y dy dxdz z e x dxdz x Per calcolare quest ultimo integrale doppio, è possibile procedere in due modi:. interpretare come dominio normale in x: : x conseguenza dei vincoli x, x 4, z 4 x conseguenza dei vincoli z, z 4 x. Quindi esercizio: completare i conti!!! 4 x z e x dxdz z e x dz dx e.. passare alle coordinate polari nelle variabili x, z: in questo modo, ρ, : π ϑ π. Quindi esercizio: completare i conti!!! z e x dxdz ρ sinϑ expρ cosϑ ρ dρdϑ [,] [π/,π] ρ ρ π π ρ sinϑ expρ cosϑ dϑ π/ π/ d expρ cosϑ dϑ dρ... 5 dϑ 3 3e. dρ Esercizio. xy dxdydz P ove P è il parallelepipedo avente come facce opposte i due quadrati, rispettivamente determinati dai vertici A,,, B,,, C,,,,, e da E,,, F,,, G,,, H,,. Svolgimento. Graficamente si vede che P è il volume compreso fra i piani y, y, z, z, e i piani passanti, rispettivamente, per i punti A,, E, H e B, C, F, G. Si vede che questi due piani hanno, rispettivamente, equazione x z e x z +. Quindi P x, y, z R 3 : y, z, z x z + }.

11 Quindi P si può vedere come dominio normale rispetto al piano yz: y, z [, ] [, ], P : z x z + Integrando per fili in x, si trova [,] [,] z+ z xy dx dydz y [,] [,] y dy z + z dydz z + dz... 6