Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[

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1 Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari Osservazione: Se ( x, ) \{(0,0)} esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) [ 0,[ tale che x. imane in tal modo individuata una funzione ( x, ) ( ρ, θ ) invertibile la cui funzione inversa è ( ρ, θ) ( x= ρcos θ, = ρsin θ ). Allora: ρ e θ (che sono funzioni di ( x, ) ) si dicono coordinate polari del punto di coordinate cartesiane ( x, ) ; la rappresentazione x, con ( ρ, θ) [ 0,[ (e anche la sua inversa della quale però è stata omessa la rappresentazione) dicesi trasformazione; sono entrambe regolari sebbene quella omessa ha una rappresentazione un po più articolata. Formula per il calcolo di integrali con la trasformazione in coordinate polari: Sia dominio regolare (cioè unione di domini normali regolari senza punti interni in comune) e f : un funzione continua. Sia inoltre ( ρθ, ) [ 0, [, il dominio la cui immagine mediante la precedente trasformazione è esattamente uguaglianza: Osservazione: f ( x, ) dxd = f ( ρ cos θ, ρsin θ) ρdρdθ. ( ρθ, ) un. Allora sussiste la seguente La precedente formula potrà essere utile nel calcolo degli integrali se, non solo è relativamente semplice la rappresentazione analitica della funzione f ( ρ cos θ, ρsin θ) ρ, ma anche quella del dominio ( ρ, θ ). ρdρdθ è interpretabile come un approssimazione dell area della regione B rappresentata in figura (con ρ r, dρ =Δ r e dθ =Δ θ ). ( ) L area effettiva è invece ( dρ ) ( ) infinitesimi di ordine superiori al secondo. dθ dθ dθ ( ρ dρ) ρ = ρdρdθ, che diventa ρdρdθ quando si trascurano gli 6

2 ρ ρ Posto J ( ρθ, ) = det x θ θ (dicesi Jacobiano della trasformazione) si ha J ( ρ, θ) = ρ. a ciò segue che la precedente formula di integrazione si ottiene formalmente sostituendo (tra le altre cose) dxd con J( ρ, θ) dρdθ, che rappresenta l area della regione B nella precedente figura. ρ ϑ è un rettangolo del tipo [ ρ, ρ ] [ θ, θ ] se e soltanto se è il settore della corona circolare di centro (0,0) e raggio ρ e ρ limitato dalle due semirette uscenti dall origine che formano con l asse delle x positive un angolo la cui misura in radianti è θ e θ rispettivamente. (Facoltativo) Quanto ora osservato, ragionevolmente, vale in contesti più generali. Si pensi per esempio ad una costruzione dell integrale in cui la suddivisione del dominio avvenga non con rettangoli o con settori circolari del tipo l insieme B, ma con figure più generali. In realtà sussiste il seguente x = xuv Teorema(formula di integrazione per sostituzione): Sia una funzione definita in un = uv aperto A di (a valori in ) tale che i) è ingettiva (e dunque è invertibile come funzione a valori nel suo condominio); ii) le funzioni (coordinate) x( uv, ) e ( uv, ) sono differenziabili; u u iii) lo Jacobiano (cioè Juv = det x v v f : continua ; ) è diverso da 0 per ogni ( uv, ). Siffatte funzioni si dicono trasformazioni (di coordinate). Ora denotato con trasformazione, sia Ω un dominio regolare (cioè unione di domini normali-regolari); { u v x u v u v } ( uv, ) = (, ). Allora sussiste la seguente uguaglianza: f ( x, ) dxd = f ( x( u, v), ( u, v)) J ( u, v) dudv. ( uv, ) Ω il condominio della Esercizio (facoltativo): Trovare una rappresentazione analitica per ( ρ, ϑ ) se vertici nei punti (0,0), (,0) e ( 0,). è il triangolo con 7

3 Soluzione: opo aver disegnato il dominio (cartesiana) dell ipotenusa è nel piano cartesiano, si osserva che l equazione x = che in coordinate polari diventa ρ cosθ ρsinθ =. Ora dall esame della figura segue immediatamente che i punti del dominio hanno i valori di θ compresi tra 0 e /, mentre per un θ fissato tra i precedenti valori, quello di ρ (per i punti del dominio) è compreso tra 0 e. In definitiva si ha: cosθ sinθ ( ρθ, ) = ( ρθ, ) 0 θ / 0 ρ cosθ sinθ che è evidentemente un dominio normale-regolare rispetto a θ (nelle coordinate polari). Può essere un utile esercizio mostrare che ( ρ, θ ) non è invece un dominio normale-regolare rispetto a ρ. Esercizi: Utilizzare la trasformazione in coordinate per calcolare i seguenti integrali: dxd, è la regione del primo quadrante limitata dall asse x ) x, dalla retta = 3x e dalla corona circolare di centro (0,0) e raggi e. Soluzione: E consigliabile innanzitutto scrivere la trasformazione che si intende utilizzare (e dunque x, con ( ρ, θ) [ 0, [ graficamente nel piano cartesiano x, il dominio, il cui Jacobiano è Juv (che qui non è riportato). a un rapido esame della rappresentazione grafica segue immediatamente che = ρ ) e rappresentare e quindi = ( ρθ, ) ρ 0 θ =, 0, /3 3 ρθ ( [ ] [ ]), ) /3 dxd d d d d log( )... = ρ ρ θ ρ ρ θ ρ ρ = ρ = ( ρθ, ) 0 3 =. x (3x 4 ) dxd, è la regione del primo e secondo quadrante limitata dalla corona circolare di centro ( 0,0) e raggi e. 3) e dxd, è la regione limitata dall asse x e dalla funzione = 4 x. Soluzione: iprodurre dapprima quanto è stato consigliato in esercizio. E evidente che non è altro che il semicerchio di centro ( 0,0) e raggio, contenuto nel quadrante 0 e pertanto la sua rappresentazione in coordinate polari è = [ 0, ] [ 0, ]. Allora si ha 8 ρθ

4 x ρ ρ e dxd = e ρdρdθ = dρ e ρdθ =.... ( ρθ, ) 4) arctag dxd, è la regione limitata dalla corona circolare di centro ( 0,0) e raggi e x tale che per i suoi punti si ha x. (Sugg. isegnare dapprima i punti che verificano l uguaglianza = x ( ( = x) ( = x) ), i quali dividono il piano in 4 regioni connesse; è facile individuare le due regioni nelle quali sussiste la disuguaglianza x ). 5) x dxd x, { ( x, ) 0, x 0, 3 x 9 } =. 6) dxd, {( x, ) 4x } =. (Sugg. Utilizzare la trasformazione Soluzione: Si osserva immediatamente che è [ ] [ [ ρθ = 0, 0,, inoltre si ha ρ x = cosθ ). Allora cos θ sin θ ρ ρ J ( ρ, θ) = det = det = ρ. x ρsinθ ρcosθ θ θ 3 dxd= dρ ρ sin θdθ =... 7) Calcolare il baricentro e il momento di inerzia superficiale rispetto all origine della parte di cerchio di centro (0,0) Soluzione: enominata con e raggio contenuta nel primo quadrante. la regione descritta nell esercizio (che ha evidentemente area /4), la sua rappresentazione in coordinate polari è ( ρθ, ) = [ 0,] [ 0, / ], da cui si ha: xdxd / 4 xg d d area( ) dxd ; G = =... = = ρ ρ cos θ θ =... area( ) ( ) ; M = x dxd =... (Facoltativo) Si chiude questa sezione con il calcolo dell integrale improprio, sull intervallo ], [, della funzione ed è sufficientemente infinitesima per = e x (si noti che detto integrale esiste in quanto la funzione continua in O x ±, inoltre, poiché la sua primitiva non è una funzione elementare, un calcolo diretto non è possibile ). Si segnala che il calcolo dell integrale non è soltanto un utile esercizio, ma ha anhe importanti conseguenze. 9

5 Sia r > 0. Utilizzando la trasformazione in coordinate polari, si ha ( ) r r ρ ρ r, e dxd = dρ e ρdθ = e = e B((0,0); r) e, passando al limite per r, lim r B((0,0); r) e da quest ultima (essendo = ], [ ], [ 0 r ( e ) lim = r dxd = ; e dxd e utilizzando le formule di riduzione) segue e quindi e dxd = dx e e d = e dx e d = e dx x e dx=. 0