AM220 - Analisi Matematica 4: Soluzioni Tutorato 2

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1 AM - Analisi Matematica 4: Soluzioni Tutorato Università degli Studi Roma Tre - ipartimento di Matematica ocente: Luca Biasco Tutori: Patrizio addeo, avide iaccia. alcolare l integrale delle seguenti funzioni nei domini indicati: (a) f(x, y, z) = (x + y + z ) α (α > ) su = {x + y + z, z } x + y (b) f(x, y, z) = (x + y ) α (α > ) su = {x + y, z, x + y } + z 3 (c) f(x, y, z) = x + y + z su = { x + y + z x } (d) f(x, y, z) = z x + y 4 + z 6 su = { x + y + z } (e) f(x, y, z) = z x + y su = { x + y x, y, z a (a > ) }. alcolare 9 x 9 x y dx dy dz 9 x y z 3. alcolare il baricentro delle seguenti regioni: (a) = { (x, y) R : r x + y R (R > r > ) } (b) = { (x, y) R : x, y, r x + y R (R > r > ) } (c) = { (x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y, z } (d) = { (x, y, z) R 3 : y + z 4x, x } 4. alcolare il volume del solido V ottenuto dalla rotazione attorno all asse y della regione { } x = 9 + x y, 3 + y 5. alcolare il volume del solido V ottenuto dalla rotazione attorno all asse z della regione = { x z (x ), x } 6. Siano B R = {x + y + z R } e S R = {x + y + z = R }. alcolare B R d(x, P ) dx, dove P S R e d(x, P ) è la distanza di x da P. (L integrale in questione è, a meno di costanti moltiplicative e relative dimensioni, il potenziale elettrico generato dalla sfera B R uniformemente carica nel punto P sulla sua superficie.)

2 Soluzione esercizio (a) Per il calcolo dell integrale conviene passare a coordinate sferiche: x = ρ cos φ sin θ y = ρ sin φ sin θ. z = ρ cos θ Il dominio si riscrive = { < ρ, cos θ sin θ, φ π} = { < ρ π, 4 θ π, φ π}. Ricordando che, per il teorema del cambiamento di varibile, si ha che = ρ sin θdφdρdθ, otteniamo π π (x + y + z ) α = dφ dρ ρ α+ sin θdθ = π α + 3 π 4 (b) Qui scegliamo invece le coordinate cilindriche: x = ρ cos θ y = ρ sin θ. z = z Il dominio si riscrive = { < ρ, θ π, z 3 ρ cos θ ρ sin θ}. Usando che = ρdρdθdz, otteniamo (x + y ) α = (c) Usando le coordinate sferiche si ottiene x + y + z = π ρ cos θ ρ sin θ dρ dθ ρ α+ dz = 3 α + π π π π cos φ sin θ dφ dθ ρ 3 sin θdρ = 8 5 π (d) L integrale fa. Questo risultato, intuitivamente evidente data la disparità dell integranda e la simmetria del dominio, si dimostra senza fare conti osservando che ogni punto (x, y, z) della calotta sferica superiore contribuisce al valore dell integrale allo stesso modo (in valore assoluto) del suo simmetrico (x, y, z), ma con segno opposto. L integrale richiesto, ottenuto sommando i valori dei due integrali sulle calotte sferiche superiore ed inferiore, deve dunque necessariamente valere. Si può giungere al medesimo risultato anche facendo uso del teorema del cambiamento di variabile: passando infatti dalle variabili (x, y, z) a (x, y, z) si ha che z x + y 4 + z 6 = ( z) x + y 4 + z 6 da cui segue che l integrale di partenza deve essere. (e) Usando le coordinate cilindriche otteniamo che z x + y = a π cos θ dz dθ zρ dρ = 8 9 a

3 Soluzione esercizio L integrale può essere riscritto come 9 x y z dove = {x + y + z 9 x, y, z }. Usando la parità dell integranda e passando a coordinate sferiche otteniamo 9 x y z = 8 9 x y z = = 8 {x +y +z 9} π π ρ sin θ dρ dφ = π 9 ρ 9 ρ dρ = 9 8 π 3

4 Soluzione esercizio 3 Ricordiamo che il baricentro di R è dato da ( ) b = xdxdy, ydxdy dove := dxdy. La definizione è analoga nel caso R 3. (a) b = (, ) per simmetria del dominio rispetto all origine: basta infatti osservare, con argomentazioni simili a quelle del punto (d) dell esercizio, che ciascuno degli integrali che definisce le componenti del baricentro vale necessariamente. (b) b = (b x, b x ). he le due componenti del baricentro siano uguali segue dalla simmetria del dominio nelle variabili x e y, mentre per il calcolo del valore comune abbiamo b x = xdxdy = 4 π(r r ) R (c) Anche in questo caso b = (b x, b x, b x ), dove b x = x = 4 perché e analogamente x = = r π dρ ρ cos θdθ = 4 R + Rr + r 3π R + r z y z dz dy xdx = 4 z y z dz dy dx = 6 (d) b = (,, b z ), dove le componenti x e y fanno per simmetria. Per il calcolo della componente b z abbiamo che x = Applicando il cambiamento di variabile { y = ρ cos θ z = ρ sin θ otteniamo che xdx dydz = {y +z 4x} xdx dydz {y +z 4x} π xdx dθ mentre procedendo allo stesso modo si arriva a = 4 π da cui concludiamo che b z = x ρdρ = 3 3 π 4

5 Soluzione esercizio 4 Notiamo che = E \ F, dove { E = x 3, y x 9 }, F = { x 3, y x } 3 Indichiamo con, E e F i solidi generati dalla rotazione attorno all asse y di, E ed F rispettivamente. a = E \ F segue V = E \ F. Per calcolare il volume di E osserviamo che E si può ottenere come la somma di aree laterali di cilindri di asse y, raggio x e altezza x 9. Poiché l area laterale di ciascuno di essi vale πx x 9, integrando su x abbiamo 3 Vol(E ) = π x x dx = 6π 9 e analogamente ( Vol(F ) = π x x ) dx = 3π 3 Mettendo insieme il volume richiesto è V ol(v ) = V ol(e ) V ol(f ) = 3π. Soluzione esercizio 5 Qui osserviamo che = E F, dove E = { x, z (x ) } = { z, x z } F = { x, x z } = { z, x z } on le notazioni sopra abbiamo che V = E F. E si può ottenere come la somma di dischi con centro sull asse z, spessore dz e raggio ( z). Integrando rispetto a z abbiamo Vol(E ) = Ragionando allo stesso modo si ottiene a cui concludiamo infine che Vol(F ) = π( z) dz = π 6 π(z )dz = π Vol(V ) = Vol(E ) + Vol(F ) = 3 π Nota Il volume dei solidi di rotazione può essere calcolato anche facendo uso del Teorema di Guldino: Il volume di un solido di rotazione V ottenuto ruotando una figura piana di un angolo α [, π] attorno ad un asse ad essa esterno e complanare è pari a α d, dove d è la distanza del baricentro di dall asse di rotazione e è l area di. Applicando questo ragionamento all esercizio 4, poiché d è pari alla coordinata x del baricentro, otteniamo V ol(v ) = π xdxdy = π Analogamente, per l esercizio 5 si ha Vol(V ) = π xdxdz = π (x ) xdx dz = π x x 9 xdx dy = 3π x 3 x( x)dx = 3 π 5

6 Soluzione esercizio 6 Osserviamo innanzitutto che, data la simmetria del dominio, il valore dell integrale è lo stesso indipendentemente dal punto P che si sceglie; assumeremo dunque, senza perdita di generalità, che P = (,, R). Passando in coordinate sferiche, l integrale in questione diventa B R R x + y + (z R) = π π dρ dφ ρ sin θdθ ρ + R ρr cos θ = 3 πr 6