Applicazioni del Teorema di Gauss

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Brigida Carletti
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1 Applicazioni del Teorema di Gauss Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Ottobre 2011 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

2 Definizione Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo, definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la quantità scalare Φ A = E A = EA cos ϕ, dove ϕ è l angolo compreso tra i vettori E e A Osservazione Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all area della superficie stessa Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

3 Definizione Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo, definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la quantità scalare Φ A = E A = EA cos ϕ, dove ϕ è l angolo compreso tra i vettori E e A Osservazione Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all area della superficie stessa Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

4 Definizione Dato un campo elettrico E e una superficie A immersa in tale campo, definiamo flusso del campo elettrico E attraverso la superficie A la quantità scalare Φ A = E A = EA cos ϕ, dove ϕ è l angolo compreso tra i vettori E e A Osservazione Il vettore area A è definito nel modo seguente: esso è un vettore perpendicolare alla superficie considerata e ha modulo pari all area della superficie stessa Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

5 Teorema di Gauss Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale superficie e la costante dielettrica nel vuoto, cioè Φ A = Q int = n Q i i=1 Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una carica elettrica Q è detta superficie gaussiana Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

6 Teorema di Gauss Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale al rapporto tra la somma delle cariche elettriche racchiuse da tale superficie e la costante dielettrica nel vuoto, cioè Φ A = Q int = n Q i i=1 Ricordiamo che una superficie chiusa che racchiude almeno una carica elettrica Q è detta superficie gaussiana Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

7 Osservazione Il Teorema di Gauss è utile per il calcolo dei campi elettrici di distribuzioni di cariche con particolari simmetrie É sufficiente trovare il tipo di simmetria e la corrispondente superficie gaussiana attraverso la quale calcolare il flusso del campo elettrico E Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

8 Esercizio Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q Soluzione La simmetria dello spazio è sferica Si sceglie come superficie gaussiana una sfera S centrata nella carica Q Suddividendo la superficie della sfera S in tante piccole aree S 1, S 2,, S n e per ogni superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene Φ S = ES 1 + ES ES n = E D altra parte Φ S = Q/, quindi n S i = E4πr 2 i=1 E4πr 2 = Q E = Q 4π r 2 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

9 Esercizio Determinare il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q Soluzione La simmetria dello spazio è sferica Si sceglie come superficie gaussiana una sfera S centrata nella carica Q Suddividendo la superficie della sfera S in tante piccole aree S 1, S 2,, S n e per ogni superficie si calcola il relativo flusso, si ottiene Φ S = ES 1 + ES ES n = E D altra parte Φ S = Q/, quindi n S i = E4πr 2 i=1 E4πr 2 = Q E = Q 4π r 2 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

10 Esempio Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita uniformemente carica Soluzione Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di simmetria perpendicolare al piano Il campo elettrico E è perpendicolare al piano di densità di carica sperficiale σ Il flusso sarà Φ C = Φ B1 + Φ B2 + Φ Slat = ES + ES + 0 = 2ES D altra parte Φ C Uguagliando i due membri si ha = Q int E = σ 2 = σs Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

11 Esempio Determinare il campo elettrico generato da una lastra infinita uniformemente carica Soluzione Consideriamo come superficie gaussiana un cilindro C con asse di simmetria perpendicolare al piano Il campo elettrico E è perpendicolare al piano di densità di carica sperficiale σ Il flusso sarà Φ C = Φ B1 + Φ B2 + Φ Slat = ES + ES + 0 = 2ES D altra parte Φ C Uguagliando i due membri si ha = Q int E = σ 2 = σs Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

12 Esempio Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota all interno Soluzione La simmetria presente è sferica Poichè all interno non sono presenti cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro Sulla superficie della sfera avremo Φ S = 4πr 2 E = Q int E = Q 4π r 2 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

13 Esempio Determinare il campo elettrico generato da una sfera S carica vuota all interno Soluzione La simmetria presente è sferica Poichè all interno non sono presenti cariche, il campo elettrico sarà nullo dentro Sulla superficie della sfera avremo Φ S = 4πr 2 E = Q int E = Q 4π r 2 Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

14 Esempio Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R Soluzione La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio r Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè Si ha Φ S E = ρ 4 3 πr3 4π r 2 = ρ = Q V = Q 4 3 πr3 = E 4πr 2 = Q E = Q 4π r 2, Q πr3 3 πr3 4π r 2 = Q 4π R 3 r Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

15 Esempio Determinare il campo elettrico di una sfera piena di cariche di raggio R Soluzione La superficie gaussiana è una superficie sferica concentrica di raggio r Indichiamo con ρ la densità volumetrica di carica, cioè Si ha Φ S E = ρ 4 3 πr3 4π r 2 = ρ = Q V = Q 4 3 πr3 = E 4πr 2 = Q E = Q 4π r 2, Q πr3 3 πr3 4π r 2 = Q 4π R 3 r Simone Alghisi Liceo Scientifico Luzzago Applicazioni del Teorema di Gauss Ottobre / 8

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