Parte I. Elettrostatica

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1 Parte I Elettrostatica 1

2 Capitolo 1 Legge di Coulomb La forza esercitata da una carica puntiforme su un altra carica é diretta lungo la retta che congiunge le cariche; essa é repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno e attrattiva se hanno segno opposto; la forza é inversamente proporzionale al quadrato della distanza che separa le cariche ed é direttamente proporzionale al prodotto delle cariche, da ció si deduce che F = k q 1 q 2 r 2 Un valore approssimato per k é 8, N m2 C 2 La carica di un Coulomb (C) viene definita come la carica necessaria affinché 1.113mg di Ag passino dallo stato ionico a quello metallico 2

3 Capitolo 2 Campo elettrico Definizioni: campo scalare: regione di spazio nel quale ad ogni punto é assegnato un preciso valore numerico campo vettoriale: regione di spazio nel quale ad ogni punto é assegnato un dato vettore Definizione di Campo elettrico: E = F e q e sostituendo a F e il risultato della legge di Coulomb k q 1 q 2 ottengo r 2 E = k Q s r 2 3

4 Capitolo 3 Particolari casi di campo elettrico 3.1 Angolo Solido L angolo piano viene definito come arco su raggio della circonferenza α rad = AB r L angolo solido viene defintito come area della regione di sfera su raggio al quadrato ω = S r 2 Il valore di un angolo solido che comprende tutta la sfera é ω = 4πr2 r 2 = 4π L unitá di misura degli angoli solidi sono gli steradianti 3.2 Flusso di un vettore attraverso una superficie piana ˆn= vettore di modulo 1 a S S= vettore della superficie, direzione S, verso uscente e modulo S = S α= l angolo che il vettore v forma con il vettore ˆn v= vettore che attraversa una data superficie Il flusso di un vettore attraverso una superficie piana definito come Φ = S v cos α Φ = (ˆn v) S = v S 3.3 Teorema di Gauss Il teorema di Gauss afferma che Dimostrazione Φ s.c. ( E) = Q ɛ 0 Φ s.c. ( E) = φ = S i cosα i E = E Sproiettati = K Q r 2 ω i r 2 = K Q ω i = k Q ω i = 1 4π ɛ 0 Q con ɛ 0 uguale a 1 4π K 3.4 Campo elettrico di una superficie piana Il campo elettrico di una superficie piana si calcola utilizzando il teorema di Gauss prendendo in considerazione come superficie gaussiana un cilindro con asse S. Con questa disposizione si ha che Φ laterale é zero in quanto il coseno risulta zero, mentre nelle due basi il coseno é uno; quindi: Φ : Φ = φ 1 +φ 2 +φ 3 = E 1 S 1 +E 2 S 2 = 2 E S Calcolo Q interno come Q interno = σ S 4

5 dove σ rappresenta la densitá superficiale di carica ( C m 2 ) Applicando il teorema di Gauss 2 E S = σ S ɛ 0 E = σ 2ɛ 0 E = Q interno 4πr 2 = d 4/3πr3 4πr 2 ɛ 0 = r d 3ɛ 0 dove d rappresenta la densitá volumetrica di carica Dallo studio del risultato si nota che il campo elettrico di una superficie piana non dipende dalla distanza alla quale viene posta la carica. 3.5 Campo elettrico di un filo Il campo elettrico di un filo si calcola considerando come superficie gaussiana quella di un cilindro con asse coincidente con quello dell asse del filo. Gli effetti di questa disposizione sono il dover considerare solo la supeficie laterali, trascurando il flusso nelle basi del cilindro Φ = φ = φ laterale = E 2πrh Q interno = λ h dove λ= densitá lineare di carica ( Q m )e h l altezza del cilindro preso in considerazione Per il teorema di Gauss E 2πrh = λ h ɛ 0 λ E = 2πr ɛ Distribuzione sfera piena Nella regione esterna di spazio alla sfera la carica presente induce un campo elettrico uguale a quello di una carica puntiforme, secondo la relazione E = Q K. r 2 Per decrivere il campo all interno della sfera consideriamo una sfera concentrica alla sorgente come superficie gaussiana Φ = E 4πr 2 5

6 Capitolo 4 Potenziale Elettrico 4.1 Definizione Il potenziale elettrostatico viene definito come il lavoro compiuto dal campo elettrico per portare un carica dal punto in cui si trova fino all infinito V = L a q L unitá di misura é il Volt (V ) 4.2 Proprietá Il potenziale non dipende dal lavoro perché il lavoro é uguale qualsiasi sia il percorso scelto Possiamo inoltre ricavare le seguenti relazioni: Applicando la definizione troviamo L a b = q (V a V b ) Esprimendo il Lavoro in funzione del Campo elettrico V = E x dove x rappresenta la distanza 6

7 Capitolo 5 Capacitá elettrica 5.1 Definizione La capacitá elettrica viene definita come C = Q V La capacitá esprime la proprietá fisica della proporzionalitá tra la quantitá di Carica e la formazione di una differenza di potenziale. La sua unitá di misura é C/V 5.2 Condensatori singoli I condensatori sono dispositivi che servono ad immagazzinare una certa quantitá di carica. In questo corso ne analizzeremo di due tipi, sferici e piani Per quanto riguarda i condensatori sferici possiamo affermare che C = Q V = Q QK r = r k É evidende che la capacitá di un condensatore sferico dipende solamente da questioni puramente geometriche Analizziamo i condensatori piani indichiamo con d la distanza fra le due armature C = Q V = Q E d = Q = S ɛ 0 σ d d ɛ 0 Anche in questa situazione la capacitá del condensatore dipende solo da fattori geometrici. 5.3 Collegamento di condensatori Esistono due modi di collegare i condensatori o in serie o in parallelo Condensatori in parallelo I condensatori collegati in parallelo hanno la stessa differenza di potenziale ai capi delle armature, da ci si calcola che capacitá equivalente é C equivalente = Q V = Q 1 V + Q 2 V = C 1 + C 2 dove Q 1, Q 2, C 1, C 2 rappresentano la quantit di carica e la capacitaá dei condensatori presi in oggetto Condensatori in serie I condensatori in serie hanno la stessa quantit di carica ai capi delle armature e 1 = V 1 + V 2 C equivalente Q = 1 C C 2 dove V 1, V 2, C 1, C 2 rappresentano le differenze di potenziale e le capacitá di ciascun condensatore 7

8 5.4 Lavoro di carica Calcoliamo il lavoro che deve compiere una carica nel caso specifico di un condensatore piano Q = Q V L = V q, L = L Essendo la differenza di carica variabile durante il processo di carica, osservando il grafico (V,Q) noto la proporzionalit diretta delle due grandezze e posso quindi scrivere L = 2 Q 1 tot V = 1 2 Q2 C = 2 S2 1 σ 2 C = 1 S 2 E 2 ɛ C Che puó anche essere scritto indicando la densitá di lavoro su volume L V olume = 1 2 ɛ 0 E 2 = L = 1 2 S2 E 2 ɛ 2 0 S ɛ 0 d = 1 2 V olume ɛ 0 E 2 8

9 Parte II Corrente elettrica 9

10 Capitolo 6 Intensitá e Densitá di corrente 6.1 Definizioni La densitá di corrente definita I = Q t con unitá di misura l ampere (A) La densitá di corrente é definita come J = I S con unitá di misura ( A m 2 ) 6.2 Analisi microscopica delle grandezze Possiamo immaginare di creare un fascio di elettroni con velocita ( v) costante con un foro in un condensatore da cui tal flusso esce immettendosi in una zona priva di campi di forze. Limitiamo le nostre considerazione a una determinata carica ( q) e un determinato ( t). I = I = Q t = carica contenuta nel cilindro t e da questo risultato la densitá di corrente diviene J = e n v dove e rappresenta la carica dell elettrone, n la densitá volumetrica di carica e v la velocitá media degli elettroni = e n V olume t = e n s v 10

11 Capitolo 7 Legge di Ohm Analizzando microscopicamente ció che accade alla velocitá delle particelle di un conduttore ai cui capi é applicata un determinata V si trova sperimentalmente che v d = h E dove v d rappresenta la velocitá di deriva delle particelle e h una costante di proporzionalitá e da ció v d = J e n = h V l J = n e h E Si nota che n e h é una grandezza che dipende dal materiale chiamata anche σ e quindi J = σ E I = σ S l l V A sua volta il valore σ S prende il nome di resistenza R nel quale l é la lunghezza del conduttore, S la sua sezione e σ puó essere sostituito da 1 ρ. la resistenza cosí diviene R = ρ l S La legge di Ohm prende quindi la forma 7.1 Collegamento di resistenze Le resistenze sono dei dispositivi ai cui capi si genera una differenza di potenziale secondo la relazione V = I R Collegamento di resistenze in serie Collegando due resistenze in serie otteniamo che saranno attranersate dalla stessa intensitá di corrente R equivalente = V I = V a V b I = V a V c + V c V b I Collegamento di resistenze in parallelo Nelle resistenze in parallelo esiste la stessa differenza di potenziale e quindi e R equivalente = V a V b I 1 R equivalente = I 1 + I 2 V a V b = = V a V b I 1 + I 2 I 1 V a V b + I 2 V a V b = 1 R R 2 = V a V c + V I V = RI 11

12 Capitolo 8 Generatori ed Energia Elettrica 8.1 Tensione di un generatore I generatori sono dei dispositivi che creano una differenza di potenziale ai loro capi ma anch essi al loro interno hanno una resistenza elettrica per questo si definisce f.e.m.=tensione nominale di corrente r i = resistenza interna del generatore E nel caso le superfici siano ohmiche P = I 2 R e P = V 2 R L unitá di misura é il Watt (W ) V reale = f.e.m. r i I I genertori possono essere collegati in serie oppure in parallelo. Con un collegamento in serie ottengo un V e una resistenza interna pari alla somma di quelle dei singoli generatori. Presi in parallelo la resistenza interna é minore e sono quindi pi adatti a sopportare alte Intensitá di corrente. 8.2 Energia e Potenza Elettrica L energia elettrica é calcolata come il lavoro che compie una carica per percorrere un dato circuito elettrico E el = L carica = Q V = I t V L unitá di misura é il joule (J) La potenza é quindi P = L t = I V 12

13 Parte III Magnetismo 13

14 Capitolo 9 Forza magnetica 9.1 Prodotto vettoriale L operazione di prodotto vettoriale viene scritta come c = a b Il vettore c risulta essere un vettore di direzione al piano pi nel quale giacciono i due vettori, con intensitá pari a a b sinα ( considerando come α l angolo 180 formato dai due vettori), e verso da definirsi secondo tale ragionamento. Se poniamo un osservatore sul piano π e questo interpreta come antiorario il verso secondo il quale a giunge a b in α il verso di c é nel semispazio dell osservatore, altrimenti nell altro semipiano. La determinazione del verso ovviamente é la stessa in qualsiasi posto poniamo l osservatore. 9.2 Forze magnetiche Consideriamo come sistema di riferimento quello costituito da due solenoidi, che sono a lato di un dispositivo che produce un fascio di elettroni in una sfera di vetro nella quale possiamo vedere quale sia l influenza dell I che attraversa la solenomide sugli elettroni. Si osserva come il fascio venga modificato fino quasi a produrre un orbita circolare aumentando sempre piú I. Variando I si nota la proporzionalitá a questa dell a centripeta che facilmente puó essere ricondotta ad una forza secondo la relazione da cui a centripeta = v2 r F = m v2 r applicando la seconda legge della dinamica. Da ció possiamo affermare I F, e inoltre si osserva anche che v F e q F derivandone F q v B, dove B indica il campo magnetico, misurato in T esla. Da questa ricavo il campo magnetico come e 1tesla = B = F q v 1N 1C 1m/s. La forza espressa da F = q v B Se parliamo della forza di una corrente su un altra F = I l filo B 9.3 Teorema di Ampere o della circuitazione Il teorema di Ampere svolge lo stesso compito del teorema di Gauss nei campi elettrici, riuscendo a dimostrare la seguente relazione C l.c. ( B) = µ 0 I concatenata 14

15 C l.c. ( B) rappresenta la circuitazione attraverso una linea chiusa di B, µ 0 la costante di permeabilitá magnetica nel vuoto. L I concatenata rappresenta I che attraversano una superficie aperta che ha come bordo l.c. Da questo il campo magnetico si trova come C l.c. = B l Campo magnetico di un solenoide Il solenoide da considerarsi come una serie di spire adiacenti. Applichiamo il teorema di Ampere ad un solenoide, ricodando che all interno il campo uniforme mentre all esterno debole o nullo. Scegliamo come linea di Ampere quella formata dai lati di un rettangolo giacente sul piano dell asse e che attraversi sono una parte del solenoide. La I con corrisponde cos alla corrente generale per il numero di spire nella lunghezza b considerata. Se il solenoide ha N spire nel tratto totale l, il numero di spire nel tratto b sar N l b. Il solo contributo alla Circuitazione proviene dal lato lungo del rettangolo, e quindi C = B b. B b = µ 0 N l b l B = µ 0 N l I Campo magnetico di un filo Consideriamo un filo percorso da corrente I e una linea di Ampere circolare e con centro nell asse del filo. 9.4 Magnete Prendendo in considerazione una laminella metallica (cio una sezione di magnete) una caratteristica peculiare dei materiali magnetici quella di avere i nuclei degli atomi disposti secondo un reticolo cristallino, con gli elettroni aventi lo stesso verso con le orbite giacenti sullo stesso piano, perpendicolare all asse del magnete. Il campo magnetico ( B) provocato da una laminella metallica equivalente a quello di una spira. Questa particolare situazione fa si che il campo magnetico generato da un magnete sia equivalente a quello generato da un solenoide. 9.5 Induzione magnetica L induzione magnetica il fememo per il quale un campo magnetico B variabile nel tempo induce una corrente elettrica. COnsideriamo una sbarra che si muova in un piano a velocit costante v. Poniamo un campo magnetico uniforme B perpendicolare al piano entro il quale la sbarra compie il proprio moto. Il campo magnetico agisce sugli elettroni della sbarra, agendo su di essi una forza magnetica pari a q v B. Dopo un determinato tempo si raggiunger una situazione di equilibrio, in quanto la forza coulombiana provocata dall accumolo di elettroni in un capo della sbarra, impedir alla forza magnetica di muoverne altri. Da ci ne consegue che F e = Fm q E = q v B E = v B B 2πr = µ 0 I con B = µ 0 I con 2πr 15

16 Ora poniano la nostra sbarra su delle rotaie che formano un circuito eletrico in modo che la carica spostata fluisca nelle sbarre generando cos un flusso di elettroni, indicando con x lo spazio percorso dalla sbarra, l la lunghezza della sbarra, S 2 l area rimanente di circuito da percorrere e da S 1 l area totale del circuito. E = x t B B = S t B V = S 1 S 2 t B = B S 1 B S 2 t V = x l t V = Φ(B) t = f.e.m. quel volume si creer un campo magnetico uniforme B, perpendicolare alle facce dei magneti. Inseriamo all interno del volume una bobina rettangolare in grado di ruotare percorsa da una corrente I. Al variare dell angolo osserviamo come il flusso attraverso la bobina varia secondo la relazione Φ m = B Acosθ, dove A rappresenta l Area della bobina. Se la bobina viene fatta ruotare quindi si avr una induzione di f.e.m. seconda la legge di Faraday Neuman. Sia v la frequenza di rotazione, e quindi in un periodo T = 1 v, l angolo θvaria di 2π rad. L angolo aumenta quindi in funzione del tempo secondo la relazione θ = 2π T t = 2π vt = ωt. Sostituendo questa relazione nella precedente si ottiene che il flusso magnetico Φ m = B A cos ωt 9.6 Equazioni dell elettromagnetismo Teorema di Gauss Φ s.c. ( E) = Q int ɛ Teorema di Faraday Neumann C l.c. ( E) = Φ(B) t Teorema di Ampere C l.c. ( B) = µ 0 I con Flusso del campo magnetico Φ(vecB) = Il motore elettrico Consideriamo il dispositivo formato da due magneti che affacciano le polarit opposte. In f.e.m. = Φ m t La rapidit di variazione del flusso si pu ottenere come f.e.m. = BAω sin ωt 9.8 Trasformatore Il trasformatore un dispositivo che serve a cambiare il voltaggio di una corrente. Infatti spesso la corrente viaggia ad alta tensione e sarebbe inutilizzabile dai comuni dispositivi domestici; quindi occorre un meccanismo che la attenui. Prendiamo un pezzo, a forma di dado con il centro vuoto, di ferro dolce, che ha la propriet di mantenere le linee di campo magnetico parallele alle facce che lo compogono. Ora avvolgiamo in un lato n 1 spire di un filo a tensione V 1 e all altro capo un altro filo avvolto con n 2 spire. In questo secondo filo sar indotta un corrente I 2 che provocher un V 2. Ricordiamo che la Potenza una grandezza conservativa e quindi P = I 1 V 1 e P = I 2 V 2, da cui I 1 V 1 = I 2 V 2 16

17 . Consideriamo come vengono ottenute le due differenze di potenziale V 1 = Φ( B t n 1 V 2 = Φ( B n 2 t Con le opportune semplificazioni V 1 V 2 = n 1 n 2 Dunque per diminuire la tensione dovr usare meno spire, di pi per aumentarla. 17

18 Indice I Elettrostatica 1 1 Legge di Coulomb 2 2 Campo elettrico 3 3 Particolari casi di campo elettrico Angolo Solido Flusso di un vettore attraverso una superficie piana Teorema di Gauss Campo elettrico di una superficie piana Campo elettrico di un filo Distribuzione sfera piena Potenziale Elettrico Definizione Proprietá Capacitá elettrica Definizione Condensatori singoli Collegamento di condensatori Condensatori in parallelo Condensatori in serie Lavoro di carica II Corrente elettrica 10 6 Intensitá e Densitá di corrente Definizioni Analisi microscopica delle grandezze

19 7 Legge di Ohm Collegamento di resistenze Collegamento di resistenze in serie Collegamento di resistenze in parallelo Generatori ed Energia Elettrica Tensione di un generatore Energia e Potenza Elettrica III Magnetismo 15 9 Forza magnetica Prodotto vettoriale Forze magnetiche Teorema di Ampere o della circuitazione Campo magnetico di un solenoide Campo magnetico di un filo Magnete Induzione magnetica Equazioni dell elettromagnetismo Teorema di Gauss Teorema di Faraday Neumann Teorema di Ampere Flusso del campo magnetico Il motore elettrico Trasformatore