MOMENTI DI INERZIA PER CORPI CONTINUI

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1 MOMENTI D INERZIA E PENDOLO COMPOSTO PROF. FRANCESCO DE PALMA

2 Indice 1 INTRODUZIONE MOMENTI DI INERZIA PER CORPI CONTINUI MOMENTO DI INERZIA PER UN CILINDRO E PER UN DISCO OMOGENEO MOMENTO DI INERZIA DI STRUTTURE CAVE MOMENTO DI INERZIA DI UN ASTA SOTTILE MOMENTO DI INERZIA DI UNA SFERA OMOGENEA MOMENTO DI INERZIA DI UNA SFERA CAVA RAGGIO GIRATORE PENDOLO COMPOSTO ASSI RECIPROCI ESEMPI DEL MOTO DEL CORPO RIGIDO ESEMPIO ESEMPIO ESEMPIO BIBLIOGRAFIA di 19

3 1 Introduzione In questa lezione vedremo i momenti di inerzia di alcuni corpi continui con simmetrie particolari. Nel seguito studieremo il pendolo composto e le sue caratteristiche. Al termine della lezione vedremo alcuni esempi sui moti dei corpi rigidi. 3 di 19

4 2 Momenti di inerzia per corpi continui Possiamo valutare il momento di inerzia, visto nella lezione Rotazioni rigide attorno ad un asse fisso, per un corpo continuo di densità volumetrica rispetto ad un asse di rotazione, generalizzando il caso discreto. Consideriamo il singolo volume infinitesimo, di massa infinitesimo risulta: e posto a distanza dall asse, come mostrato in Figura 1; il suo momento di inerzia Equazione 1 dove e sono le coordinate cartesiane di nel piano perpendicolare all asse di rotazione. Integrando sul volume totale pari a: dell intero corpo rigido, otteniamo il momento d inerzia del corpo, Equazione 2 Figura 1: Rappresentazione grafica per il momento d'inerzia di un volumetto infinitesimo dv. Poiché il momento di inerzia è additivo, se abbiamo un sistema composto da più corpi elementari, il momento d inerzia totale sarà la somma dei momenti d inerzia parziali, calcolati tutti rispetto allo stesso asse. Tale proprietà è molto utile per valutare il momento di inerzia di sistemi complessi formati da sistemi elementari, come quelli che vedremo nei prossimi paragrafi. 4 di 19

5 2.1. Momento di inerzia per un cilindro e per un disco omogeneo Valutiamo il momento di inerzia per un cilindro omogeneo di raggio, spessore e densità, rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare alle superfice circolare del disco, come rappresentato in Figura 2. Data la simmetria del corpo, il centro di massa giace sull asse del cilindro. La massa totale del cilindro è pari a: Consideriamo il volume infinitesimo del cilindro cavo omogeneo di altezza, spessore e raggio (di valore compreso tra 0 e ). La massa infinitesima del volume è pari a. Il momento d inerzia infinitesimo del volume è: Il momento d inerzia del cilindro si ottiene integrando sull intero volume del cilindro l equazione precedente: Equazione 3 dove è stato sostituito il valore di, ed il valore di. Il risultato finale dell Equazione 3 è stato ottenuto integrando sul raggio da 0 a. Figura 2: Rappresentazione grafica del cilindro. Nel caso considerassimo un disco, ovvero un cilindro di altezza trascurabile e densità superficiale, il procedimento sarebbe analogo al caso precedente. Consideriamo un anello di raggio, spessore e massa. Il momento d inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa, posto nel centro del disco e perpendicolare al disco stesso risulta: 5 di 19

6 Equazione 4 con la massa totale del disco pari a Momento di inerzia di strutture cave Il momento di inerzia di un anello sottile omogeneo di densità lineare, raggio e massa totale l anello, risulta: per un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al piano contente Equazione 5 Il momento di inerzia di un cilindro cavo sottile omogeneo di densità superficiale, raggio e altezza e massa totale, per un asse passante per il centro di massa e parallelo all asse centrale del cilindro, risulta: Equazione Momento di inerzia di un asta sottile Consideriamo un asta sottile omogenea di lunghezza, densità e sezione. Essa avrà massa totale pari a. Il centro di massa sarà posto nel centro dell asta come mostrato in Figura 3. Rispetto ad un asse passante per il centro di massa e perpendicolare al lato lungo barretta, essa ha momento di inerzia pari a: della 6 di 19

7 Equazione 7 Figura 3: Rappresentazione grafica di una barretta sottile Momento di inerzia di una sfera omogenea Consideriamo, ora, una sfera omogenea di raggio, densità volumetrica e massa totale pari a. Ne vogliamo valutare il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa, coincidente con il centro della sfera, come mostrato in Figura 4. Per il calcolo dividiamo la sfera in tanti dischi infinitesimi di altezza e raggio ( Figura 4). La massa infinitesima di ciascun disco risulta pari a. Il raggio di ciascun disco infinitesimo, la sua posizione in altezza ed il raggio della sfera sono correlati dalla teorema di Pitagora, ovvero: Equazione 8 Il momento d inerzia di ciascun disco infinitesimo di raggio e massa rispetto all asse risulta: dove abbiamo usato l Equazione 8 ed il valore del momenti d inerzia del cilindro visto nell Equazione 3. Il momento d inerzia totale lo otteniamo integrando l equazione precedente su tutto il volume della sfera. Integriamo quindi il momento di inerzia del disco infinitesimo per che va da a, pari a due volte l integrale da 0 a per simmetria. Il momento di inerzia della sfera, pertanto, risulta: 7 di 19

8 Equazione 9 Figura 4: Rappresentazione grafica per il calcolo del momento di inerzia di una sfera omogenea Momento di inerzia di una sfera cava Consideriamo ora una sfera cava di raggio, ovvero un guscio sferico. Il suo momento d inerzia rispetto ad un asse passante per il centro di massa, coincidente con il centro della sfera, può essere valutato considerando una sfera piena di raggio a cui aggiungiamo un guscio sferico di raggio infinitesimo. La massa del guscio sferico infinitesimo la possiamo ottenere dalla derivata in della massa totale della sfera piena, ovvero: Il momento d inerzia infinitesimo del guscio sferico si può valutare derivando il momento di inerzia della sfera piena, mostrato nell Equazione 9. Esso risulta: sostituendo nell ultimo passaggio il valore della massa infinitesima. Pertanto, il momento di inerzia di una sfera cava di raggio risulta: 8 di 19

9 2.6. Raggio giratore Tutte le espressioni dei momenti di inerzia, che abbiamo visto nei paragrafi precedenti, sono esprimibili nella forma: Equazione 10 dove è la massa totale del corpo, è un fattore numerico e è una grandezza dimensionale caratteristica del corpo (ad esempio il raggio per la sfera o la lunghezza della bacchetta). Possiamo riscrivere l Equazione 10 come: con, definito raggio giratore del corpo. Esso è la distanza dall asse a cui deve essere posto un corpo puntiforme di massa, pari alla massa totale del corpo, affinché abbia lo stesso momento di inerzia. 9 di 19

10 3 Pendolo composto Nel seguente paragrafo studiamo un particolare tipo di un corpo rigido in moto, ovvero il pendolo composto. Si chiama pendolo composto un qualunque corpo rigido in oscillazione per la forza peso attorno ad un asse fisso z orizzontale passante per il polo. Quest ultimo non coincide con il centro di massa e la distanza tra e il CM è pari ad, con. Una rappresentazione grafica del pendolo composto è in Figura 5. Come si può vedere, l asse di rotazione perpendicolare al piano del grafico. fisso è Come abbiamo visto nella lezione Rotazioni rigide attorno ad un asse fisso, l equazione del moto rotatorio è data da: Equazione 11 Sul corpo agiscono sia la reazione vincolare del vincolo che la forza peso. La reazione vincolare normale è applicata nel polo, e pertanto rispetto all asse quindi, il momento della reazione vincolare è nullo. ha momento nullo. In assenza di attriti, Nella lezione Dinamica del corpo rigido, abbiamo visto che il sistema di forze equivalenti ad un campo di forze parallele, come la forza peso, è dato dalla risultante delle forze applicata nel centro del sistema di forze. Nel caso della forza peso il centro è detto baricentro e coincide con il centro di massa. Pertanto, l unica forza agente sul corpo con momento non nullo rispetto ad è la forza peso,. Il momento parallelo all asse è pari al momento della forza peso, esso risulta: Equazione 12 Tale momento è parallelo all asse orizzontale, come mostrato in Figura 5. Sostituendo nell Equazione 11 il valore del momento della forza peso espresso nell Equazione 12, otteniamo l equazione differenziale che descrive il moto del pendolo composto, ovvero: 10 di 19

11 Equazione 13 L equazione precedente è analoga a quella di un pendolo semplice di lunghezza, visto nella lezione Dinamica punto materiale: applicazioni delle forze elementari e la forza centripeta. La lunghezza è anche detta lunghezza ridotta del pendolo composto ed è pari alla lunghezza che un pendolo semplice deve avere affinché abbia le stesse caratteristiche cinematiche. Analogamente a quanto visto per il pendolo semplice, per piccole oscillazioni, ovvero per angoli, potremo approssimare il seno dell angolo con l angolo stesso, quindi. In tal modo, per piccole oscillazioni, l Equazione 13 diviene l equazione del moto armonico: Equazione 14 con pulsazione La legge oraria, soluzione dell equazione del moto armonico, risulta: Equazione 15 Il periodo del moto armonico del pendolo composto risulta: Equazione 16 Per angoli grandi, dove non è applicabile l approssimazione dei piccoli angoli, il moto è ancora periodico ma non è armonico, ovvero il periodo dipende dall ampiezza. 11 di 19

12 Figura 5: Rappresentazione grafica del pendolo composto Assi reciproci Studiamo ora il valore del momento di inerzia del pendolo composito. Per il teorema di Huygens-Steiner il momento di inerzia del corpo per un asse verticale passante per il punto, risulta pari a: Equazione 17 dove è il momento di inerzia rispetto ad un asse orizzontale passante per il centro di massa e è la distanza del polo dal centro di massa, come mostrato in Figura 6. Definendo una nuova lunghezza pari a: Equazione 18 si ha. La lunghezza ridotta del pendolo composito risulta: Equazione 19 Essa è pari alla somma delle lunghezze definite precedentemente ed è sempre maggiore della distanza dal centro di massa dal polo,. 12 di 19

13 La lunghezza ridotta, pari alla somma di, individua un nuovo punto ad una distanza dal centro di massa, come mostrato in Figura 6. La lunghezza ridotta per il punto risulta: Pertanto, i moti rispetto ai due assi passanti per ed hanno la medesima lunghezza ridotta e quindi il medesimo periodo, i due assi sono detti assi reciproci. Figura 6: Rappresentazione grafica per gli assi reciproci. 13 di 19

14 4 Esempi del moto del corpo rigido corpi rigidi. Valutiamo, utilizzando le nozioni precedentemente illustrate, alcuni esempi del moto di 4.1. Esempio 1 Consideriamo un pendolo composto formato da due aste, poste come in Figura 7, di massa e lunghezza rispettivamente pari a e. Il polo è posto in un estremo della prima asta. Se vogliamo valutare il periodo per piccole oscillazioni di tale sistema dobbiamo utilizzare l Equazione 19. Dobbiamo calcolare prima il momento d inerzia totale e la posizione del centro di massa. Il momento d inerzia dell intero sistema è la somma dei momenti d inerzia rispetto a aste. Esso risulta pari a: delle due dove per entrambi i momenti angolari è stato utilizzato il teorema di Huygens-Steiner ed il valore del momento angolare per la barretta sottile, vista nell Equazione 7. La distanza del centro di massa dal polo è pari a: dove abbiamo considerato le masse delle due barrette concentrate nei loro centri di massa. Il periodo risulta: 14 di 19

15 Nel caso in cui si abbia che le masse e le lunghezze delle due barrette coincidano, e, il momento di inerzia e la distanza del centro di massa dal polo risultano pari a: Il periodo risulta: Figura 7: Rappresentazione grafica dell'esempio Esempio 2 Consideriamo, ora, il sistema mostrato in Figura 8. Due dischi rispettivamente di massa e raggio pari a e, sono collegati da un cavo inestensibile e di massa nulla. Il filo non può scivolare rispetto ai dischi. Al disco numero uno è applicato un momento costante trainante di modulo, mentre al numero due è applicato un momento frenante di modulo. Il momento trainante ha un modulo maggiore, ovvero. Entrambi i momenti hanno una direzione 15 di 19

16 perpendicolare al piano del disegno. Vogliamo valutare la velocità angolare del secondo disco in funzione del tempo e il lavoro svolto dal momento, sapendo che il sistema parte da fermo. Applicando il teorema del momento angolare ai due dischi otteniamo: dove è la tensione del filo che essendo ideale è identica per entrambi i dischi ed sono le accelerazioni angolari, rispettivamente, del primo e del secondo disco. Per l inestensibilità del filo si ha che l accelerazione lineare ai bordi dei due dischi deve essere uguale, ovvero: Dalle due equazioni precedenti risulta che la tensione è pari a: da cui otteniamo l accelerazione angolare del secondo corpo: L accelerazione del primo corpo risulta: Entrambi i dischi compiono un moto di rotazione uniformemente accelerato. Poiché il secondo corpo parte da fermo, ovvero secondo corpo risulta:, l equazione oraria della velocità del Il lavoro svolto dal momento in funzione del tempo è pari a: 16 di 19

17 dove abbiamo considerato l angolo di partenza nullo,,e velocità iniziale nulla,. Figura 8: Rappresentazione grafica dell'esempio Esempio 3 Consideriamo, ora, due masse e, con, attaccate ad un filo ideale posto attorno ad una carrucola di massa ed assumiamo che il moto si svolga in assenza di attrito. Il sistema è mostrato in Figura 9. Il sistema di equazioni per i tre corpi, risulta: dove le prime due equazioni sono la seconda legge della dinamica per il primo ed il secondo corpo, mentre la terza equazione è il teorema del momento angolare applicato alla carrucola. Poiché il filo è inestensibile e non può scivolare, la relazione tra i moduli delle accelerazioni risulta: Se scomponiamo il sistema di equazioni nelle singole componenti scalari, si ha: dove abbiamo considerato il verso mostrato in Figura 9, dovuto al fatto che. Pertanto sostituendo i valori delle due tensioni nell ultima equazione, abbiamo: 17 di 19

18 Affinché il sistema non cada la forza che deve sostenere il perno nel centro della carrucola è pari a: Il caso ideale, discusso nella lezione Dinamica punto materiale: applicazioni delle forze elementari e la forza centripeta, si ottiene solo quando la carrucola ha massa nulla,. Figura 9: Rappresentazione grafica dell'esempio di 19

19 Bibliografia P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci, Fisica Vol I, Edises D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fondamenti di fisica. Meccanica, termologia, CEA 19 di 19