[3] Un asta omogenea di sezione trascurabile, di massa M = 2.0 kg e lunghezza l = 50 cm, può ruotare senza attrito in un piano verticale x y attorno a

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1 [1] Un asta rigida omogenea di lunghezza l = 1.20 m e massa m = 2.5 kg reca ai due estremi due corpi puntiformi di massa pari a 0.2 kg ciascuno. Tale sistema è in rotazione in un piano orizzontale attorno ad un asse (verticale) passante per il suo centro (v. figura) e, ad un certo istante t = t 0, la sua frequenza di rotazione è di 18.2 s -1. A partire da tale istante, a causa dell attrito con il perno, il sistema si ferma dopo 32.5 s. Assumendo che il momento meccanico delle forze d attrito sia costante, calcolare: (a) l accelerazione angolare del sistema ed il momento meccanico delle forze d attrito, durante il periodo di frenamento; (b) il lavoro totale compiuto dalle forze d attrito nel suddetto periodo; (c) il numero di giri compiuti dal sistema nei 32.5 s. [2] Una piccola sfera omogenea, di raggio r = 0.05 m e massa m = 1.05 kg, rotola senza strisciare all interno di un grande emisfero di raggio R = 1.5 m, partendo da ferma da un punto A posto sull orlo dell emisfero (v. figura). Calcolare: a) l energia cinetica della sferetta quando quest ultima passa per il fondo B dell emisfero; b) la frazione di energia cinetica, posseduta dalla sferetta nel punto B, dovuta alla rotazione; c) la reazione normale che l emisfero esercita sulla sferetta nel punto B.

2 [3] Un asta omogenea di sezione trascurabile, di massa M = 2.0 kg e lunghezza l = 50 cm, può ruotare senza attrito in un piano verticale x y attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro O. Inizialmente l asta è in quiete in posizione orizzontale, come in figura. Una particella P, di massa m = 0.1 kg, cade, partendo da ferma, da un punto B, posto ad una quota h = 2.0 m, rispetto alla quota di O, e colpisce l asta in un suo estremo A dando luogo ad un urto perfettamente elastico (v. figura). Sapendo che il peso della particella è trascurabile rispetto alle forze impulsive che si esercitano sul sistema durante l urto, calcolare la velocità angolare dell asta e la velocità della particella, entrambe immediatamente dopo l urto. [4] Il cilindro omogeneo di massa M e raggio R mostrato in figura può ruotare attorno al suo asse centrale, disposto orizzontalmente. Un filo ideale è avvolto intorno al cilindro in corrispondenza della sua sezione mediana ed al suo estremo libero sono appesi due corpi di uguale massa m uniti da un secondo filo pure ideale. Il sistema è inizialmente fermo, con i tratti di filo appena tesi e verticali, quando i due corpi vengono lasciati liberi di cadere. Assumendo una perfetta aderenza tra filo e cilindro e l assenza di qualunque tipo di attrito, calcolare l accelerazione angolare del cilindro e la tensione del filo che unisce i due corpi appesi.

3 [5] Una sbarra rigida e omogenea AB, di sezione trascurabile, ha una lunghezza l = 1.0 m e massa M = 12 kg. Essa è imperniata nel suo centro O e può ruotare senza attriti nel piano orizzontale xy. Contro il suo estremo A viene lanciata una particella P di massa m = 1 kg, con una velocità di modulo v 0 = 2.0 m/s diretta orizzontalmente e perpendicolarmente alla sbarra (v. figura). Dopo l urto (da considerarsi istantaneo) la particella rimbalza nella direzione iniziale, ma nel verso opposto, con velocità v f = 0.5 m/s. Calcolare la velocità angolare della sbarra dopo l urto e la frazione di energia cinetica perduta dal sistema nell urto. [6] Una sbarra rigida e omogenea AB, di sezione trascurabile, ha una lunghezza l = 60 cm e massa m = 0.2 kg. Essa, inizialmente in quiete su un piano orizzontale liscio xy, viene colpita nel suo estremo A da una particella P di uguale massa che viaggia nel piano orizzontale con una velocità di modulo v 0 diretta perpendicolarmente alla sbarra (v. figura sopra). Sapendo che nell urto con la sbarra la pallina vi rimane attaccata e che il centro di massa G del sistema immediatamente dopo l urto acquista una velocità di 0.5 m/s, calcolare: (a) la velocità v 0 con cui la pallina urta la sbarra; (b) la velocità angolare del sistema dopo l urto; (c) la frazione di energia cinetica perduta dal sistema nell urto. [7] Un cilindro omogeneo, di massa M = 3 kg e raggio R = 0.3 m, sta ruotando senza attriti con velocità angolare 0 = 10 rad s -1 attorno al suo asse di simmetria orientato verticalmente. Al tempo t 0 = 0 viene applicata, tangenzialmente alla superficie laterale del cilindro e in direzione orizzontale, una forza di frenamento di intensità che cresce linearmente nel tempo e che, all istante iniziale, ha il valore F 0 = 0.5 N. Sapendo che il cilindro si ferma all istante t = 3 s, calcolare: (a) l espressione del modulo F della forza di frenamento in funzione del tempo; (b) il lavoro compiuto da tale forza nei tre secondi in cui viene applicata.

4 [8] Un asta uniforme, di lunghezza l = 1.2 m e massa M = 0.5 kg, è incernierata nel suo estremo O ad un perno fisso orizzontale e può oscillare senza attrito in un piano verticale. Nell istante t = 0 l asta, che è in quiete in posizione orizzontale AO, viene lasciata libera. Raggiunta la posizione verticale OB, l asta urta un corpo C di massa m = 0.25 kg, inizialmente in quiete (v. figura), che, per effetto dell urto, parte con velocità v 0 in direzione orizzontale, mentre l asta si ferma. Calcolare: (a) la velocità angolare dell asta un istante prima dell urto e la velocità v 0 del corpo C subito dopo l urto; (b) la frazione di energia cinetica dissipata nell urto. [9] Due masse sono connesse tramite due funi a due dischi coassiali di raggio diverso, come in figura. La prima (M) viene spostata su un piano orizzontale liscio dalla caduta della seconda (m). Trovare le accelerazioni delle due masse e le tensioni dei due fili. Calcolare, inoltre, la velocità della massa in caduta, quando quest ultima si è abbassata di un metro.

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