Geometria nello spazio
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- Vittore Italo Scotti
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1 Geometria nello spaio Operaioni con i ettori Siano dati due ettori Modulo di un ettore e e k R. Addiione e sottraione Se : Se : rodotto per uno scalare k k k k k k k k Due ettori sono paralleli se e solo se esiste k R 0 tale che k rodotto scalare cos α Due ettori sono perpendicolari se e solo se 0 (è il prodotto tra la lunghea di un ettore e la lunghea della proieione dell altro ettore su di esso) α rodotto ettoriale sin α Due ettori sono paralleli se e solo se 0 (è un ettore di intensità pari all area del parallelogramma generato dai due ettori e perpendicolare ad esso - regola mano d) Lunghea di un segmento di estremi A e B α AB (X B X A ) (Y B Y A ) (Z B Z A ) B A Se il segmento è parallelo all asse : AB X B X A Se il segmento è parallelo all asse : AB Y B Y A Se il segmento è parallelo all asse : AB Z B Z A
2 unto medio di un segmento di estremi A e B X M X A X B Y M Y A Y B Z M Z A Z B Equaione del piano Equaione cartesiana a b c d 0 Equaione ettoriale Equaione parametrica s t s t s t n Se il piano è perpendicolare all asse : k Se il piano è perpendicolare all asse : k Se il piano è perpendicolare all asse : k Da equaione cartesiana a parametrica: porre due ariabili rispettiamente uguali a s e t ricaare e. Da equaione parametrica a cartesiana: ricaare s e t e sostituirli nella tera equaione del sistema. Vettore normale al piano: n a b c Equaione del piano dati un punto e due generatori e π: Equaione del piano dati tre punti Q e R Siano Q R π: Equaione del piano dati un punto e il ettore normale n(a b c) π: a b c d 0 (doe d iene determinato imponendo il passaggio per ) erpendicolarità e parallelismo tra piani Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro ettori normali. Due piani sono paralleli se e solo se lo sono i loro ettori normali. Vettore perpendicolare a due ettori e Metodo 1 Metodo n Ricaare il ettore n normale ad un piano generato da e. Vettori perpendicolari a un ettore n Ricaare i ettori generatori di un piano aente ettore normale n (esistono infinite soluioni).
3 Distana di un punto da un piano π: a b c d 0 d( π) a b c d a b c π Equaione della retta Equaione cartesiana a 1 b 1 c 1 d 1 0 a b c d 0 Equaione ettoriale Equaione parametrica t t t Da equaione cartesiana a parametrica: porre una ariabile uguale a t ricaare e. Da equaione parametrica a cartesiana: ricaare t e sostituirla nelle altre equaioni del sistema. Equaione della retta dati un punto e il generatore r: Equaione della retta dati due punti e Q Sia Q r: Equaione della retta dati un punto e il piano perpendicolare π n 1 Sia n la normale al piano r: n n 3 erpendicolarità e parallelismo tra piani Due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i loro ettori generatori. Due rette sono parallele se e solo se lo sono i loro ettori generatori. Distana di un punto da una retta r Determinare H il punto della retta di minima distana da r: è il punto di interseione tra r e il piano passante per e perpendicolare a r. d( r) H Equaione della superficie sferica Equaione esplicita: X C Y C Z C r Equaione esplicita: a b c d 0 H b c d 0 C a b c r a b c d se a
4 Equaione del cilindro di raggio r r (asse: asse ) r (asse: asse ) r (asse: asse ) Equaione del cono k (asse: asse ) k (asse: asse ) k (asse: asse ) Equaione dell ellissoide a b c 1 Equaione del paraboloide ellittico a b a (asse: asse ) b (asse: asse ) a b (asse: asse ) Equaione del paraboloide iperbolico (sella) ± a b 1 (asse: asse ) ± a b 1 (asse: asse ) ± a b 1 (asse: asse ) Equaione dell iperboloide a una falda a b c 1 (asse: asse ) a b c 1 (asse: asse ) a b c 1 (asse: asse ) Equaione dell iperboloide a una falda a b c 1 (asse: asse ) a b c 1 (asse: asse ) a b c 1 (asse: asse )
5 Teorema delle tre perpendicolari Se dal piede di una perpendicolare ad un piano si manda la perpendicolare a una qualunque retta del piano quest ultima risulta perpendicolare al piano delle prime due. r σ t r π s t t σ π s rincipio di Caalieri Due solidi che possono essere disposti in modo che ogni piano parallelo ad uno dato li tagli secondo seioni equialenti sono equialenti. roporioni tra solidi Se due solidi Γ 1 e Γ sono simili: S 1 : S l 1 l V 1 : V l 1 3 l 3 Superfici e olumi dei principali solidi risma S S B S L V S B h Cilindro S S B S L πr rπh V S B h Cono S S B S L πr πra V 1 3 S B h iramide S S B S L V 1 3 S B h Sfera S 4πr V 4 3 πr3 Solidi platonici Tetraedro 4 tr. equilateri 4 ertici Esaedro 6 quadrati 8 ertici Ottaedro 8 tr. equilateri 6 ertici Dodecaedro 1 pentagoni 0 ertici Icosaedro 0 tr. equilateri 1 ertici
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