I VETTORI DELLO SPAZIO
|
|
- Ottaviano Quarta
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 I VETTORI DELLO SPAZIO Riferimento cartesiano ortogonale nello spaio Bisogna assegnare nello spaio un punto O (detto origine e tre rette per esso a due a due perpendicolari e orientate in modo concorde col triedro (pollice, indice e medio della mano destra e fissare su di esse la stessa unità di misura. Corrispondena biunioca fra i punti dello spaio e le terne ordinate di numeri reali relatii P (,, P=(,, P(,, Il ettore applicato in O è uguale al segmento orientato OP, con P O, = OP, ed è indiiduato da tre elementi: 1. direione. erso 3. modulo uguale alla retta indiiduata dai punti O e P; indicato dalla freccia, a da O a P; lunghea del segmento OP (numero reale non negatio. Il ettore nullo 0 è uguale al segmento OO, il cui modulo è ero, mentre la direione e il erso sono indeterminati. Due ettori applicati in O sono uguali se e solo se hanno la stessa direione, lo stesso erso e lo stesso modulo. E possibile definire nell insieme dei ettori applicati in O una o più operaioni in modo da aere strutture algebriche. 1
2 Somma fra ettori (+ : V 0 V 0 V 0 Direioni dierse Se, hanno direioni dierse, + si definisce con la regola del parallelogramma (in d. m..; + = + (proprietà commutatia; + < + Stessa direione stesso erso Se, hanno la stessa direione e lo stesso erso, + si definisce come il ettore aente la stessa direione e lo stesso erso, e aente come modulo la somma dei moduli; + = + (somma dei moduli Stessa direione erso opposto Se, hanno la stessa direione, erso opposto e moduli diersi, + si definisce come il ettore aente la stessa direione dei ettori dati, erso uguale a quello di modulo maggiore e modulo uguale alla differena dei moduli; + = - se > (differena dei moduli OR = OQ + OP Stessa direione, erso opposto, moduli uguali se, hanno la stessa direione, erso opposto e moduli uguali, si pone + = 0 Il ettore nullo è l elemento neutro rispetto all addiione nell insieme dei ettori applicati in O, giacché è + 0 = 0 + = Viene naturale cercare per ogni ettore quel ettore che sommato ad esso dia il ettore 0. Chiameremo opposto di (esso è unico se è + = + = 0 = - (stessa direione, stesso modulo, erso opposto. Somma di tre o più ettori La somma tra ettori gode della proprietà associatia, cioè: +(+ = (++,,. Ne segue che nel sommare tre o più ettori, essi si possono raggruppare a piacere.
3 Osseraione 1. L insieme V 0 (ettori applicati in O con l operaione binaria chiusa (+ : V 0 V 0 V 0, soddisfacente le proprietà: a associatia; b commutatia; c elemento neutro; d V 0 il suo simmetrico. è un gruppo abeliano (V 0, +. Differena di ettori Dati due ettori e, il ettore +(- si chiama differena di e, e si indica con -. Prodotto di un numero reale a per un ettore ( : R V 0 V 0 con a R, V 0 Siano un ettore e a R. Dicesi prodotto di a per il ettore denotato col simbolo a, così definito: - se 0 e a 0, a è il ettore di: modulo a, (alore assoluto di a per modulo di direione uguale a quella di ; erso uguale a quello di se a > 0, opposto di se a < 0; - se = 0 oppure a = 0 è a = 0. Osseriamo che - = (-1, e che -(a = (-a per ogni a R e per ogni ettore. Valgono inoltre a,b R e, V 0 le seguenti regole di calcolo: (ab = a (b ; (a + b = a + b ; a ( + = a + a ; 1 =. Le suddette proprietà permettono di semplificare le operaioni doe compaiono somma (+ di ettori e prodotti di reali per ettori. Osseraione. Il gruppo abeliano (V 0, + con il prodotto esterno ( : R V 0 V 0 soddisfacente le precedenti regole di calcolo è uno spaio ettoriale su R. 3
4 Componenti di un ettore Nello spaio fissiamo un sistema di coordinate cartesiane O, e consideriamo i ettori applicati in O. Se =OP, le coordinate (a, b, c del punto P si chiamano le componenti di e si indicano con,,. a =, b =, c = Due ettori si dicono uguali se e solo se hanno le componenti ordinatamente uguali. = =, =, = Modulo di un ettore Il modulo di un ettore note le sue componenti è: = ( + ( + ( Versori fondamentali I ettori le cui componenti sono (1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1 hanno modulo 1 e sono chiamati ersori fondamentali del sistema di coordinate O. Essi si indicano con i, j, k. Chiaramente sono a due a due ortogonali e indiiduano il sistema di riferimento. Per ogni ettore non nullo esiste un unico ersore aente la stessa direione e lo stesso erso di : questo ersore è, si chiama ersore associato a e si denota con il simbolo ers. Teorema di scomposiione Una delle più importanti utiliaioni dei ersori fondamentali è data dal teorema sulla scomposiione di ogni ettore secondo tre rette non complanari e a due a due ortogonali. Se O è un sistema di riferimento cartesiano e i, j, k sono i ersori fondamentali, per ogni ettore applicato in O si ha: 4 = i + j + k doe,, sono le componenti di, e inoltre tale decomposiione è unica. I ettori OP, OP, OP, sono unici per la regola del parallelepipedo. Ogni ettore =OP si può scomporre (in modo unico nella somma di un ettore aente la direione dell asse, di un ettore aente la
5 direione dell asse, di un ettore aente la direione dell asse e questi tre ettori si ottengono moltiplicando ordinatamente i ersori fondamentali per le componenti di. = i + j + k I ettori i, j, k sono detti anche i componenti del ettore (da non confondersi con le componenti del ettore, che sono numeri. Somma di ettori e prodotto di un numero per un ettore Il precedente teorema permette di proare quanto segue: se = i + j + k, = i + j + k ed a R si ha: + = ( + i + ( + j + ( + k; a = (a i +(a j +(a k. Cioè le componenti di + si ottengono sommando nell ordine le componenti di e di, e le componenti di a si ottengono moltiplicando per a le componenti di. Vettori paralleli Due ettori non nulli, si dicono paralleli ( e si scrie // se hanno la stessa direione. Si proa che // t R * con t 0, tale che = t, cioè: = t, = t, = t. Se // t = se e hanno lo stesso erso se e hanno erso oposto Angolo di due ettori Siano =OP e =OQ due ettori non nulli e non paralleli. L angolo (conesso, non orientato e compreso tra 0 e π in O del triangolo POQ si chiama angolo formato da e e si denota col simbolo. Se e sono non nulli, poniamo: = 0 e hanno stessa direione e stesso erso; = π e hanno stessa direione e erso opposto; = π e sono ortogonali. 5
6 Prodotto scalare di due ettori Siano e due ettori. Il prodotto scalare di e denotato col simbolo, è il numero reale così definito: π > 0 0 < π = numero reale = cos = 0 = π < 0 < π = 0 Inoltre, se = 0, allora si ha uno dei tre casi = 0 Proprietà del prodotto scalare Per ogni,, V, a R. 1. (a = a( = (a (associatia;. = (commutatia; 3. ( + = + (distributia. Diciamo che due ettori e sono ortogonali quando = 0. Poiché V è 0 = 0, ne segue che il ettore nullo 0 è ortogonale a ogni ettore. Si ha: 1. i j = i k = j k = 0;. i i = j j = k k = = ossia = Prodotto scalare mediante le componenti Tenendo conto delle precedenti proprietà è possibile esprimere il prodotto scalare di due ettori mediante le loro componenti, si ha: = + + Angolo di due ettori mediante le componenti dei ettori Se, sono due ettori non nulli dalla definiione di prodotto scalare si ha: cos = da cui passando alle componenti: cos = ( + ( + ( + + ( + ( + ( Se i ettori e sono ortogonali ( segue + + = 0. 6
7 Prodotto Vettoriale Siano, due ettori non nulli e non paralleli. Si chiama prodotto ettoriale di e, e si denota col simbolo il ettore aente modulo = sin. Esso è nullo in uno dei seguenti tre casi: 1. = 0;. = 0; 3. e hanno la stessa direione (paralleli, cioè = 0 o π. direione = quella ortogonale al piano indiiduato da e ; erso = quello di un osseratore con i piedi in O ede ruotare il ettore per sorapporsi al ettore nel erso antiorario dell angolo. Chiaramente tale prodotto non è commutatio, e si ha: i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k j k = i k i = j j i = -k k j = -i i k = - j Proprietà del prodotto ettoriale Per ogni,, V 0, a R. 1. se e sono due ettori non nulli allora = 0 se e solo se // ;. (a = a (, (a = a ( ; 3. ( + = +, ( + = + (prop. distributia del prodotto rispetto alla somma; 4. Non ale la proprietà associatia. Ad esempio i (i j = i k = -j, mentre (i i j = 0 j = 0. 7
8 8 Prodotto ettoriale mediante le componenti Sfruttando alcune delle precedenti proprietà, è possibile esprimere il prodotto ettoriale dei due ettori mediante le rispettie componenti dei due ettori.si ha: = k j i +, che formalmente si può scriere: = ( ( ( k j i k j i + + =. Segue che e sono paralleli se e solo se: = = =,,. cioè (se nessuna delle componenti di è ero se e solo se = =. Prodotto misto Siano u,, tre ettori. Si chiama prodotto misto di u,,, e si denota u, il prodotto scalare tra il ettore u e il ettore, esso pertanto è un numero reale. Si ha: 1. u = 0 se almeno uno dei tre ettori è il ettore nullo 0, o se //;. Il prodotto misto di tre ettori non nulli è ero se e solo se i tre ettori sono complanari; 3. Il alore assoluto di u è uguale al olume del parallelepipedo che ha per lati i tre ettori. Prodotto misto mediante le componenti u = u u u Dalle proprietà dei determinanti segue che cambiando di posto due di tali ettori, il prodotto cambia di segno in corrispondena di un numero dispari di scambi, mentre non cambia in presena di un numero pari di scambi.
9 VETTORI LIBERI Un ettore libero è un segmento orientato libero di muoersi nello spaio sena cambiare lunghea, direione e erso. Un ettore libero si può pensare come l insieme di tutti i segmenti orientati concordemente aenti la stessa lunghea e giacenti su rette parallele o sulla stessa retta. Se AB è un segmento orientato da A a B, esso rappresenta un ettore libero, nel senso che esso è un elemento dell insieme V. Un altro segmento CD orientato da C a D rappresenta dunque lo stesso ettore libero se e solo se i due segmenti giacciono su rette parallele o sulla stessa retta, hanno la stessa lunghea, e sono orientati concordemente. Il ettore libero rappresentato dal segmento AB si denota col simbolo B-A o anche con le stesse notaioni dei ettori applicati. Considerato un ettore libero, per ogni punto R dello spaio esiste un ettore applicato in R che rappresenta il ettore libero. Ogni ettore libero si può scriere = P-O, doe O è un punto fissato dello spaio. Quindi a corrisponde il ettore OP applicato in O, e questa corrispondena è biunioca. Il modulo di un ettore libero è la lunghea di uno qualunque dei segmenti che lo rappresentano. Se = P-O si ha che = OP. Non si confonda P-O con OP. P-O è un ettore libero, mentre OP è il ettore applicato in O che lo rappresenta. Operaioni con ettori liberi È rimandata all analoga operaione fra ettori applicati rappresentanti i ettori liberi. 9
10 Componenti di un ettore libero Le componenti di un ettore libero sono uguali a quelle di un suo qualsiasi ettore rappresentante applicato. Se = B-A con A = ( 1, 1, 1 e B = (,, le componenti di sono e quindi = 1 ; = 1 = 1. = ( + ( + ( I ersori liberi di componenti (1, 0, 0, (0, 1, 0, (0, 0, 1 si denotano con i, j, k rispettiamente, come i corrispondenti ersori applicati, e si chiamano anche essi ersori liberi fondamentali, e per ogni ettore libero si ha il teorema di scomposiione: = i + j + k. 10
Elementi di calcolo vettoriale
Mathit Elementi di calcolo ettoriale Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Segmenti orientati e ettori Definizioni Operazioni con i ettori Somma e differenza di ettori Moltiplicazione
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
DettagliVETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
DettagliLEZIONE 7. k definiamo prodotto scalare di v e w il numero. = v x w x + v y w y + v z w z. w z
LEZINE 7 7.1. Prodotto scalare. Fissiamo un sistema di riferimento ı j k in S 3. Dati i ettori geometrici = ı + y j + k e w = w ı + j + k definiamo prodotto scalare di e w il numero, w = ( y ) w = + y
DettagliBreve Storia della Geometria (TITOLO)
Corso di Laurea in Disegno Industriale Corso di Metodi Numerici per il Design Bree Storia della Geometria Leione 5 maro Rette nello spaio F. Caliò Bree percorso nel mondo della geometria (/6) La geometria
DettagliVettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliDEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
DettagliDue vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.
Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
DettagliCorso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)
Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni + CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio
DettagliI.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
DettagliVettori. Un vettore il cui modulo è uguale a zero è detto vettore nullo ed è notato 0 G. vettori pag. 1
Vettori La noione di ettore, cioè di segmento orientato di retta, che pò rappresentare la grandea e la direione di na fora, di na elocità o di n acceleraione, entrò nella matematica discretamente. Aristotele
DettagliAppunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi)
Appunti sul corso di Complementi di Matematica (modulo Analisi) prof. B.Bacchelli. 04 - Vettori topologia in R n : Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Cap. 1.2: In R n : vettori, somma, prodotto
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliGeometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 32 Adolfo Scimone CAMBIAMENTI DI SISTEMA DI RIFERIMENTO Consideriamo il piano cartesiano R 2 con un sistema di riferimento (O,U). Se introduciamo in R 2 un secondo sistema
DettagliNote per il corso di Geometria e algebra lineare 2009-10 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni
Note per il corso di Geometria e algebra lineare 009-0 Corso di laurea in Ing. Elettronica e delle Telecomunicazioni Spazi di n-uple e matrici. I prodotti cartesiani RR R e RRR R 3, costituiti dalle coppie
Dettagliche sommato ai vettori v
CALCOLO VETTORIALE EX 1 Due vettori a e b soddisfano le seguenti condiioni: i) a b 1, ii) ( a + b ) a 1, iii) ( a + b ) b 8. Calcolare i moduli dei vettori e l angolo compreso. EX Un vettore a di modulo
Dettaglie la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b
8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
Dettaglia) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni
Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)
DettagliCapitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio
Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore
DettagliLA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate cartesiane su una retta r, è necessario considerare: un punto O detto origine; un verso di percorrenza;
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliV il segmento orientato. V con VETTORI. Costruzione di un vettore bidimensionale
VETTORI Costruzione di un vettore bidimensionale Nel piano con un righello si traccia una retta r tratteggiata Su r si disegna un segmento di lunghezza l d una delle estremità si disegni la punta di una
DettagliProdotto scalare e norma
Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o
DettagliGEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.
Dettagli( ρ, θ + π ) sono le coordinate dello stesso punto. Pertanto un punto P può essere descritto come
Coordinate polari Il sistema delle coordinate cartesiane è uno dei possibili sistemi per individuare la posizione di un punto del piano, relativamente ad un punto fisso O, mediante una coppia ordinata
Dettagli1 Nozioni utili sul piano cartesiano
Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x
Dettagli1 Cambiamenti di coordinate nel piano.
Cambiamenti di coordinate nel piano.. Coordinate cartesiane Coordinate cartesiane su una retta. Sia r una retta: dare un sistema di coordinate su r significa fissare un punto O di r e un vettore u = U
DettagliNozioni di calcolo vettoriale Unità Richiami. 1.2 Somma di vettori. Scomposizione.
NOTA BENE: Orientativamente, gli studenti del Liceo Scientifico, compresa l opzione scienze applicate, affronteranno lo studio di questa unità nel 1 biennio. Quelli degli altri Licei lo faranno nel biennio.
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliRichiami sugli insiemi numerici
Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri
Dettagli1 Applicazioni lineari
1 Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 1.1 Definizione Si considerino lo spazio tridimensionale euclideo E e lo spazio vettoriale V ad esso associato. Definizione. 1.1. Sia A una applicazione di
Dettaglix1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3
Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando
DettagliGrandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale
Grandezze Fisiche, Sistema Internazionale e Calcolo Vettoriale Soluzioni ai Quiz 1 Il Sistema Internazionale di Unità di Misura Le grandezze fisiche di base sono sei, ognuna delle quali ha una unità di
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche
DettagliCORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,
DettagliLEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo
LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı
DettagliCOMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 2012/2013 Prof. Francesca Visentin
COMPLEMENTI DEL CORSO DI MATEMATICA Anno Accademico 0/03 Prof. Francesca Visentin CAPITOLO V ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Riprendiamo alcune nozioni già date nel Capitolo II.. Coordinate cartesiane
DettagliCapitolo 1. I vettori
Capitolo 1 I ettori Prima di entrare nel cuore della meccanica e affrontarne i concetti di base, è importante acquisire padronanza con gli oggetti e gli strumenti che erranno utilizzati: i ettori e l algebra
Dettagli2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale
. I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei
DettagliLa matematica del CAD. Vettori e Matrici
La matematica del CAD Vettori e Matrici IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan I programmi CAD riducono tutti i problemi geometrici in problemi analitici: la proiezione di un punto su un piano viene, ad
Dettagli1.1 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano
1 Sistemi lineari 11 Coordinate sulla retta e nel piano; rette nel piano Coordinate sulla retta Scelti su una retta un primo punto O (origine) ed un diverso secondo punto U (unita ), l identificazione
Dettagli1. DEFINIZIONE DI VETTORE
1. DEFINIZIONE DI VETTORE 486 PRIMO INCONTRO COI VETTORI Un segmento si dice orientato quando è specificato quale dei due estremi sia da considerarsi come il primo estremo e quale come il secondo estremo
DettagliVettori del piano. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto
0.1 Vettori applicati e liberi Politecnico di Torino. Vettori del piano Nota Bene: delle lezioni. Questo materiale non deve essere considerato come sostituto 0.1 Vettori applicati e liberi P P Q Q Il simbolo
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
Dettagli= elemento che compare nella seconda riga e quinta colonna = -4 In generale una matrice A di m righe e n colonne si denota con
Definizione di matrice Una matrice (di numeri reali) è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
DettagliCondizione di allineamento di tre punti
LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.
DettagliPIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi
PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso
Dettagli1- Geometria dello spazio. Vettori
1- Geometria dello spazio. Vettori I. Generalità (essenziali) sui vettori. In matematica e fisica, un vettore è un segmento orientato nello spazio euclideo tridimensionale. Gli elementi che caratterizzano
DettagliElementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali
Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 37 index Spazi vettoriali
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliGeometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due
DettagliGeometria Analitica nello Spazio
Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y,
DettagliI vettori: brevissime note
I vettori: brevissime note F. Demontis Corsi PAS 2014 Trovate in queste pagine le poche nozioni sul calcolo vettoriale che vi ho presentato durante le lezioni. Tutto il materiale è stato scritto molto
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
VETTORI Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad
DettagliPunti nel piano cartesiano
Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
Dettagli7. Integrazione delle funzioni di più variabili (II)
7. Integraione delle funioni di più variabili (II) http://eulero.ing.unibo.it/~baroi/scam/scam-tr.7b.pdf 7.5 Area del parallelogramma costruito su due vettori. Volume del parallelepipedo costruito su tre
DettagliGeometria BATR-BCVR Esercizi 9
Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
Dettagli1.4 Geometria analitica
1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliGEOMETRIA /2009 II
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:
DettagliSISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO
DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,
DettagliProblema ( ) = 0,!
Domanda. Problema ( = sen! x ( è! Poiché la funzione seno è periodica di periodo π, il periodo di g x! = 4. Studio di f. La funzione è pari, quindi il grafico è simmetrico rispetto all asse y. È sufficiente
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliCorso multimediale di matematica
2006 GEOMETRIA ANALITICA Il piano cartesiano rof. Calogero Contrino iano cartesiano Su un piano, si considerino due rette incidenti, sulle quali siano fissati due sistemi di ascisse. Si trasli una delle
DettagliParte 10. Geometria dello spazio I
Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta, 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
DettagliParte 11. Geometria dello spazio II
Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di
DettagliTUTTO (o quasi tutto ) SULLA RETTA di Leonardo Calconi
TUTTO (o quasi tutto ) SULLA RETTA di Leonardo Calconi LA RETTA COME INSIEME CONTINUO La retta è una delle più antiche espressioni di continuità, definita da Euclide mediante i postulati 1, che affermano
DettagliCONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO
CONGRUENZE TRA FIGURE DEL PIANO Appunti di geometria ASSIOMI 15. La congruenza tra figure è una relazione di equivalenza 16. Tutte le rette del piano sono congruenti tra loro; così come tutti i piani,
Dettagliy 5z = 7 y +8z = 10 +3z = 3
Sistemi lineari Sistemi lineari in tre incognite; esempi tipici Tre equazioni incognite x, y, z Consideriamo il seguente sistema di tre equazioni lineari nelle tre x 2y +6z = 11 x +3y 11z = 18 2x 5y +20z
DettagliAlgebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali
Capitolo 5 5.1 Grandezze scalari Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero accompagnato dalla sua unità di misura. La temperatura dell aria in una
DettagliCenni di geometria differenziale delle superfici.
Cenni di geometria differenziale delle superfici. 1. Superfici parametrizzate nello spazio. Definizione. Una superficie parametrizzata in IR 3 è un applicazione S: Ω IR 3, (u, S 1(u, S 2 (u,, S 3 (u, doe
DettagliOperazioni sui vettori
Operazioni sui vettori Vettore Un vettore v è un insieme ordinato di elementi. Per esempio, il seguente è un vettore di 3 elementi: Gli elementi di un vettore si indicano solitamente con i seguenti simboli:
Dettaglipunti uniti rette di punti uniti rette unite qual è la trasformazione inversa
3) Dì quali sono i punti uniti, le rette di punti uniti, le rette unite di una a) simmetria centrale b) simmetria assiale c) traslazione d) rotazione e) omotetia Simmetria centrale: si ha un solo punto
Dettagli1 Sistemi di riferimento
Università di Bologna - Corsi di Laurea Triennale in Ingegneria, II Facoltà - Cesena Esercitazioni del corso di Fisica Generale L-A Anno accademico 2006-2007 1 Sistemi di riferimento Le grandezze usate
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Def. Una trasformazione geometrica T tra i punti di un piano è una corrispondenza biunivoca che ad ogni punto P del piano associa uno e un solo punto P' appartenente al piano
DettagliIl valore assoluto (lunghezza, intensita )
Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza
DettagliLa retta nel piano. Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione.
La retta nel piano Equazioni vettoriale e parametriche di una retta Supponiamo che la retta r sia assegnata attraverso un suo punto P 0 (x 0, y 0 ) e un vettore v (l, m) che ne indichi la direzione. Condizione
DettagliCostruzione di Interfacce Lezione 4 Sistemi di riferimento e trasformazioni. cignoni@iei.pi.cnr.it http://vcg.iei.pi.cnr.
Costruzione di Interfacce Lezione 4 Sistemi di riferimento e trasformazioni cignoni@iei.pi.cnr.it http://cg.iei.pi.cnr.it/~cignoni Introduzione Punti e ettori sono due cose dierse Basi e sistemi di riferimento
DettagliMat Compl 2015/16 - Esercizi - Settimana 05
Mat Compl 2015/16 - Esercizi - Settimana 05 Isometrie. 1. Dati un mezzo giro ρ O,π e una riflessione σ r con O / r, esprimere ρ O,π come prodotto di riflessioni in cui compaia una sola volta σ r. Soluzione.
Dettagli1. LA GEOMETRIA ANALITICA
LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento
Dettagli= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ
Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti
Dettaglivettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **
Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l
Dettagli1.3. Logaritmi ed esponenziali
1.3. Logaritmi ed esponenziali 1. Rappresentazione sugli assi cartesiani 2. Relazione 3. Definizione di funzione 4. La funzione esponenziale 5. Il logaritmo 6. La funzione logaritma 1-3 1 Rappresentazione
DettagliChe cos è una forza? 2ª lezione (21 ottobre 2006): Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare.
2ª lezione (21 ottobre 2006): Che cos è una forza? Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare. L idea intuitiva è corretta, ma limitata ; le forze non sono esercitate solo dai muscoli!
DettagliUniversità degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)
Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari). Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato
Dettagli01 - Elementi di Teoria degli Insiemi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 01 - Elementi di Teoria degli Insiemi Anno Accademico 2013/2014
DettagliTest su geometria. 1. una circonferenza. 2. un iperbole. 3. una coppia di iperboli. 4. una coppia di rette. 5. una coppia di circonferenze
Test su geometria Domanda 1 Fissato nel piano un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, il luogo dei punti le cui coordinate (x; y) soddisfano l equazione x y = 1 è costituita da una circonferenza.
DettagliSistemi lineari. 1. Generalità. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = k (matrice completa)
Sistemi lineari. Generalità La teoria dei sistemi di equaioni lineari costituisce uno dei capitoli molto importanti della matematica pura e applicata. Infatti molte questioni teoriche o tecniche si traducono
Dettagli( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2
1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero
DettagliFrancesco Zumbo
La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it
Dettagli