CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO

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1 CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY, R. RESNICK, J. WALKER, ED. CEA.

2 Grandezze scalari e vettoriali Un vettore è un ente matematico che rappresenta sia l intensità sia la direzione ed il verso di una grandezza fisica. Solitamente viene usato il simbolo di una freccia sopra alla variabile scritta in grassetto. Per comodità è possibile definire con: ORIGINE (o coda) l'estremo del vettore non munito di freccia; ESTREMO SUPERIORE (o punta) quello che reca la freccia. La lunghezza della freccia corrisponde al MODULO del vettore La direzione della retta su cui giace il vettore rappresenta la DIREZIONE La punta della freccia indica il VERSO Una grandezza scalare viene definita da un semplice numero che ne indica l intensità.

3 Versori Un versore è un vettore unitario ed ha un modulo uguale a 1 (ed è privo di dimensione). Nella notazione vettoriale, viene indicato con un accento circonflesso sopra al suo simbolo

4 Versori

5 Somma di vettori B A Equazione vettoriale che definisce il vettore somma: s a b

6 Somma di vettori Per sommare due vettori è sufficiente far coincidere l'origine di uno con l'estremo superiore dell'altro : La SOMMA è data dal vettore che ha origine coincidente con l'origine rimasta libera ed estremo superiore coincidente con quello rimasto libero.

7 Somma di vettori La regola della poligonale si può usare per comporre un numero qualsiasi di vettori. Esempio: nella figura si possono comporre i quattro vettori, A + B + D + F, due alla volta, usando la regola della poligonale. Di conseguenza: A + B = C; C + D = E; E + F = G; cosicché, A + B + D + F = G.

8 Somma di vettori Evidentemente, non è necessario preoccuparsi delle somme intermedie di C ed E. La figura indica che si sarebbe potuto comporre direttamente A, B, D e F con la regola della poligonale e, quanto a ciò, si sarebbe potuto farlo in qualsiasi ordine.

9 Somma di vettori: proprietà Proprietà commutativa a b b a Proprietà associativa a b c a b c

10 Somma di vettori I vettori che sono o paralleli e concordi (equiversi, ossia paralleli e orientati nello stesso verso) o paralleli e discordi (o antiparalleli, cioè, paralleli e orientati in versi opposti) si possono comporre usando la regola della poligonale. Nel caso di due vettori paralleli e concordi, s 1 e s 2, il modulo del risultante, s, è uguale alla somma dei moduli dei singoli vettori.

11 Somma di vettori Se due vettori sono paralleli e discordi (antiparalleli), il modulo del vettore risultante è uguale alla differenza tra i moduli dei due vettori, s 1 s 2. I vettori paralleli e discordi si sottraggono algebricamente. Esempio: uno spostamento di 10 m verso est, seguito da uno spostamento di 10 m verso ovest, genera uno spostamento totale nullo.

12 Somma di vettori Supponiamo ora di sommare a un vettore s un vettore identico s. Il vettore risultante avrà la stessa direzione orientata di ciascuno dei vettori componenti s e modulo uguale al doppio del modulo di ciascuno di essi. In base ai procedimenti usuali dell'algebra, è ragionevole scrivere il vettore risultante come: 2s = s + s, che definisce il procedimento per determinare il prodotto di un vettore per uno scalare.

13 Sottrazione di vettori - b è un vettore con modulo e direzione uguali al vettore b, ma orientato in verso opposto, quindi b + ( - b ) = 0 Per sottrarre un vettore B qualsiasi da un vettore A qualsiasi si inverte la direzione orientata di B per formare B e poi si determina la somma di A e B con la regola della poligonale. Pertanto, la differenza tra due vettori è la somma di un vettore con l opposto dell altro d = a b = a + ( -b )

14 Sottrazione di vettori Il vettore differenza è ottenibile facendo coincidere i due estremi superiori dei vettori di cui si vuole la differenza ed è rappresentato da quel vettore che ha origine coincidente con l'origine del minuendo.

15 Sottrazione di vettori Se il vettore s è un vettore uguale in modulo a s, ma ad esso antiparallelo, allora la somma sarà pari a zero: s+( s) = s s = 0, ovvero i due vettori si elidono mutuamente nel modo algebrico consueto.

16 Componenti di un vettore La componente di un vettore è la sua proiezione su un asse. a x è la componente del vettore a sull asse x (o lungo l asse x) a y è la componente del vettore a sull asse y (o lungo l asse y) La proiezione di un vettore sull asse x è detta componente x La proiezione di un vettore sull asse y è detta componente y Ogni vettore può essere scomposto nelle sue componenti. In genere un vettore avrà 3 componenti, anche se nella nostra figura la componente lungo l asse z è uguale a zero. a x = a cos θ a y = a sin θ dove θ è l angolo formata dal vettore a con l asse x e a è il modulo di a. tan θ = a y /a x

17 F = (5,7)

18 Prodotto di vettori Esistono tre modalità di moltiplicazione con i vettori: 1) Prodotto di un vettore per uno scalare: il risultato è un vettore; 2) Prodotto scalare tra vettori: il risultato è uno scalare; 3) Prodotto vettoriale tra vettori: il risultato è un vettore.

19 Prodotto di un vettore per uno scalare Il prodotto di un numero reale m per un vettore v individua un nuovo vettore. Il suo modulo è dato dal prodotto del modulo di v per il valore assoluto di m; La sua direzione è la stessa di v; Il verso è conforme a quello di v se m è positivo, è opposto a quello di v se m è negativo.

20 Prodotto di un vettore per uno scalare La moltiplicazione di un vettore per uno scalare negativo moltiplica il modulo del vettore come indicato, ed inverte la direzione orientata del vettore. Esempio: se s è uno spostamento di 10 cm verso est, 6s sarà uno spostamento di 60 cm verso ovest. E importante notare che il modulo è sempre positivo. Quoziente di un vettore per uno scalare Il quoziente di un vettore v per uno scalare m è il prodotto, definito come sopra, tra il vettore v ed il reciproco dello scalare m.

21 Prodotto scalare tra vettori Il prodotto scalare o interno di due vettori, indicato con v 1 v 2 è il prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo da essi formato. In fisica, molte grandezze vettoriali (spostamento, velocità, forza ) si combinano tra loro per formare altre grandezze scalari tramite questa operazione. Esempio: Lavoro = F s.

22 Prodotto scalare tra vettori Se Ф è 0 oppure 180, allora il suo cos sarà pari a 1 ed il prodotto scalare sarà uguale al prodotto dei due moduli Se Ф è 90 oppure 270, allora il suo cos sarà pari a 0 ed il prodotto scalare sarà nullo. La proprietà commutativa si applica al prodotto scalare: a b = b a

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24 Prodotto vettoriale tra vettori Si definisce prodotto vettoriale di due vettori a e b, non nulli né paralleli, il vettore che ha per direzione la perpendicolare al piano individuato da a e b, per modulo il prodotto dei moduli a e b moltiplicato per il seno dell'angolo formato da a e b e verso definito dalla regola della mano destra.

25 Prodotto vettoriale tra vettori

26 Prodotto vettoriale tra vettori Notiamo che a x b = -(b x a) Nella notazione con i versori abbiamo: a x b = (a x i + a y j + a z k) x (b x i + b y j + b z k), in cui si applica la proprietà distributiva, ovvero ciascuna componente del primo vettore va moltiplicata vettorialmente per ciascuna componente del secondo.