LEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero

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1 LEZINE Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z. Ricordando la Formula (7.3.1) otteniamo v = v, v. Esempio Si considerino i vettori ı = 1 ı +0 j +0 k, j = 0 ı +1 j +0 k, k = 0 ı +0 j +1 k. Allora ı, ı = j, j = k, k = 1, ı, j = j, ı = ı, k = k, ı = j, k = k, j = 0. Si considerino poi i due vettori v = ı + j + k e w = 3 ı j k. Allora v, w = ( 1) + 1 ( 1) = 1. La definizione algebrica di prodotto scalare implica la seguente Proposizione Valgono le seguenti proprietà: (PS1) per ogni v, w V n () si ha v, w = w, v (il prodotto scalare è commutativo); (PS) per ogni u, v, w V n () si ha u, v + w = u, v + u, w (il prodotto scalare è distributivo rispetto alla somma); (PS3) per ogni α R e v, w V n () si ha α v, w = α v, w ; (PS4) per ogni v V n ()\{ 0 } si ha v, v > 0 (il prodotto scalare è definito positivo). Si noti che le componenti di un vettore rispetto ad un sistema di riferimento possono essere descritte facilmente in termini di prodotti scalari. Infatti se v = v x ı + v y j + v z k allora si possono considerare i coefficienti di Fourier di v rispetto al sistema di riferimento ı j k v x = v, ı, v y = v, j, v z = v, k : si ha perciò la decomposizione v = v, ı ı + v, j j + v, k k. La seguente interpretazione geometrica mostra che il prodotto scalare è indipendente dal sistema di riferimento scelto ma dipende solo dai vettori coinvolti. A tale scopo introduciamo la definizione di angolo fra vettori (si veda la Figura 8.1.4). 1 Typeset by AMS-TEX

2 8.1. PRDTT SCALARE Definizione Siano v, w V n () vettori non nulli. i) Se v w sia T il triangolo avente vertici in e negli estremi liberi di v e w: definiamo angolo fra v e w la misura in radianti, v w, dell angolo interno in del triangolo T. ii) Se v w sono concordi definiamo v w = 0. iii) Se v w sono discordi definiamo v w = π w v ^ w v Figura Poiché la somma delle misure degli angoli interni di un triangolo è π, segue che v w [0, π] e v w = 0, π se e solo se v w. Proposizione Dati v, w V 3 () o almeno uno dei due vettori è nullo, e si ha v, w = 0, o sono entrambi non nulli e si ha v, w = v w cos( v w). Dimostrazione. Siano v = v x ı +v y j +v z k e w = wx ı + j + k. Se i vettori sono paralleli (in particolare se uno dei due è nullo) è facile verificare la tesi a partire dalla definizione. Supponiamo allora che i vettori v, w V 3 () non siano paralleli come in Figura y A v-w v v ^ w w B x Figura Per il Teorema di Carnot, ricordando il significato geometrico di differenza di vettori

3 LEZINE 8 3 applicati, si ha che v w = v + w v w cos( v w), quindi ( ) v w cos( v w) = 1 ( v + w v w ). Siano v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k. Ricordando la Formula (7.3.1) v = x v + yv + zv, w = x w + yw + zw, v w = (x v x w ) + (y v y w ) + (z v z w ). Sostituendo le espressioni sopra nella Formula ( ) otteniamo v w cos( v w) = v, w che si estende anche al caso di vettori paralleli o nulli. Alla luce di questa proposizione discende immediatamente che ı, ı = j, j = k, k = 1, ı, j = j, ı = ı, k = k, ı = j, k = k, j = 0 come già verificato nell Esempio Facciamo ora alcune osservazioni. Una prima osservazione importantissima è che il prodotto v, w è nullo se e solo se o almeno uno dei due vettori è nullo oppure se cos( v w) = 0, cioè se v w = π/, cioè v, w = 0: per questo motivo introduciamo la seguente Definizione I vettori v, w V 3 () si dicono perpendicolari o ortogonali, e scriveremo v w, se e solo se v, w = 0. Inoltre, se v e w non sono nulli, cos( v w) = v, w v w, quindi il segno di v, w è esattamente il segno di cos( v w): in particolare v, w > 0 se e solo se v w [0, π/[, cioè se e solo se v e w formano un angolo acuto, mentre v, w < 0 se e solo se v w ]π/, π], cioè se e solo se v e w formano un angolo ottuso. Esempio Si considerino i vettori v e w dell Esempio Poiché v, w = 1 i due vettori formano un angolo acuto: precisamente essendo v = 3, w = 11 si ha cos( v w) = 1/ 33. Invece i vettori v = 3 ı + j k e w = ı j + k sono perpendicolari: infatti v, w = ( 1) + ( 1) = 0. Poiché la funzione coseno è limitata in modulo da 1 abbiamo anche la disuguaglianza di Cauchy Schwartz v, w v w in cui vale l uguaglianza se e solo se i vettori v e w sono paralleli. Si considerino ora due vettori v, w V 3 (). Allora, applicando le proprietà (PS1) e (PS) della Proposizione 8.1. v + w = v + w, v + w = v, v + w + w, v + w = = v, v + v, w + w, v + w, w = v + v, w + w v + v, w + w v + v w + w = ( v + w ).

4 PRDTT SCALARE Poiché v + w e v + w sono quantità non negative, la catena di diseguaglianze di cui sopra dimostra la disuguaglianza triangolare v + w v + w dove l uguaglianza vale se e solo se o v e w sono paralleli e concordi o almeno uno di loro è nullo. sservazione Il prodotto scalare è legato alla nozione di proiezione ortogonale. Infatti, come è facile vedere in Figura , v H v ^ w w P Figura v, w non è altro che il prodotto della lunghezza di v per la lunghezza della proiezione di w lungo la direzione di v (o viceversa). In particolare se si desidera determinare il vettore w = H proiezione di w lungo la direzione di v (si veda la Figura ) è sufficiente applicare la formula w = w cos( v w) vers( v) = w v cos( v w) v v v = v, w v v v = v, w v v, w v = v, v v. Si noti che il triangolo HP è rettangolo in H, dunque, ricordando il significato geometrico di differenza di vettori, il vettore w = w w è perpendicolare a w : in particolare questo ci dà un metodo per decomporre un vettore lungo due direzioni perpendicolari di cui fissata, poiché w = w + w. Per esempio si considerino i vettori v = ı + j k e w = ı j + 3 k e determiniamo la proiezione w di w lungo la direzione di v: si ha Si noti che w = w + w ove w = ı j + 3 k, ı + j k ı + j k, ı + j k ( ı + j k ) = 4 3 ( ı + j k ). w = w w = 1 3 (7 ı j + 5 k ) w.

5 LEZINE Prodotto vettoriale. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto vettoriale di v e w il vettore di V 3 () v w = (v y v z ) ı (v x v z ) j + (v x v y ) k. La formula di cui sopra è un po difficile da ricordare. Un artificio utile può essere quello di utilizzare la nozione di determinante scrivendo v w = v y v z ı v x v z j + v x v y k. Si noti che i coefficienti possono essere ottenuti considerando i determinanti delle matrici ottenute da ( vx v y ) v z cancellando via via le colonne. Spesso, ricordando la definizione di determinante di una matrice 3 3, si utilizza anche la notazione ı j k v w = v x v y v z. Esempio Riprendiamo in considerazione i vettori dell Esempio Poiché ı = 1 ı + 0 j + 0 k, j = 0 ı + 1 j + 0 k, k = 0 ı + 0 j + 1 k si ha ı ı = ı j k = 0, ı j = ı j k = k, ı k = ı j k = j. Si verifichi in modo analogo che j j = k k = 0, j k = ı, k j = ı, j ı = k, k ı = j. Si considerino poi i due vettori v = ı + j + k e w = 3 ı j k. Allora v w = ı j k = 0 ı 4 j 4 k. Si verifichi per esercizio che w v = 4 j + 4 k = v w. Una conseguenza quasi immediata della definizione algebrica di prodotto vettoriale è la seguente

6 6 8.. PRDTT VETTRIALE Proposizione 8... Valgono le seguenti proprietà: (PV1) per ogni v, w V n () si ha v w = w v (il prodotto vettoriale è anticommutativo); (PV) per ogni u, v, w V n () si ha ( u + v) w = u w + v w (il prodotto vettoriale è distributivo rispetto alla somma a destra); (PV3) per ogni u, v, w V n () si ha u ( v + w) = u v + u w (il prodotto vettoriale è distributivo rispetto alla somma a sinistra); (PV4) per ogni α R e v, w V n () si ha α( v w) = (α v) w = v (α w). Si noti che il prodotto non è associativo: infatti, ad esempio, ( ı ı ) j = 0 j = ı k = ı ( ı j ). Le proprietà del prodotto vettoriale sopra elencate e la tabella di moltiplicazione dei vettori ı, j, k determinata nell Esempio 8..1, ci permette calcolare il prodotto vettoriale di due vettori anche senza ricordarne la definizione Esempio Siano dai i vettori v = ı + j 3 k e w = ı + j + k. Allora v w = ( ı + j 3 k ) ( ı + j + k ) = ı ı + ı j + ı k + + j ı + j j + j k 3 k ı 3 k j 3 k k. Poiché ı ı = j j = k k = 0 e ı j = k = j ı, ı k = j = k ı, j k = ı = k j, segue che v w = k j k + ı 3 j + 3 ı = 4 ı 5 j + k. Anche in questo caso abbiamo definito la nozione utilizzando le componenti dei vettori in termini di coordinate. In realtà il prodotto scalare è indipendente dal sistema di riferimento scelto ma dipende solo dai vettori coinvolti. Proposizione Dati v, w V 3 () o v w, e si ha v w = 0, o v w e v w è definito come segue: i) la sua direzione è perpendicolare al piano contenente i due vettori v e w; ii) il suo verso è tale che la terna ordinata ( v, w, v w) sia orientata secondo la regola della mano destra; iii) v w = v w sin( v w). Dimostrazione. Siano v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k Se i vettori sono paralleli allora in base alla definizione è facile verificare la tesi. Supponiamo allora che i vettori siano entrambe non nulli ed iniziamo a dimostrare iii) nell ipotesi che i vettori non siano nulli. Si ha che v w = v yw z v y v z + v zw y + v zw x v zw xv xw z+ + v xw z + v xw y v x v y + v yw x.

7 LEZINE 8 7 Tenendo conto della definizione geometrica del prodotto scalare, si ha v w sin ( v w) = v w v w cos ( v w) = v w v, w = = v yw z v y v z + v zw y + v zw x v zw xv xw z+ + v xw z + v xw y v x v y + v yw x. Poiché i quadrati delle quantità non negative v w e v w sin( v w) coincidono segue iii). Dimostriamo ii), cioè che v w v, w. A tale scopo è sufficiente verificare che v, v w = w, v w = 0. Risulta, ad esempio, v, v w = v, v y v z v = v y v z x ı v x v y v x v z v z j + v x + v z v x v y k = = 0. Per esercizio verificare in modo analogo che w, v w = 0. La dimostrazione di ii) viene omessa in quanto coinvolge la nozione di matrice di passaggio fra due basi che esula dai limiti del corso. La proposizione precedente è bene illustrata dalla seguente figura. v y vxw w v Figura 8..5 Come per il prodotto scalare, anche nel caso del prodotto vettoriale, alla luce della precedente proposizione, discende immediatamente che ı j = k = j ı, j k = ı = k j, k ı = j = ı k e ı ı = j = j j = k k = 0 come già verificato nell Esempio Facciamo alcune osservazioni. Come nel caso del prodotto scalare anche l annullarsi del prodotto vettoriale v w dà informazioni sulla posizione relativa dei due vettori v e w: infatti v w = 0 se e solo se v w = 0 se e solo se o almeno uno dei due vettori è nullo oppure se sin( v w) = 0, cioè se v w = 0, π, cioè se e solo se v w (però utilizzare questo metodo per verificare il parallelismo di vettori è senza dubbio più oneroso che applicare la Proposizione 7.3.9).

8 8 8.. PRDTT VETTRIALE Più interessante è la seguente sservazione Il prodotto vettoriale, o meglio il suo modulo, è legato alla nozione di area. Infatti si considerino tre punti non allineati A, B, C S 3 e si consideri il triangolo avente tali punti come vertici. y B A c α b C B-A C-A x Figura Allora è noto dalla trigonometria elementare che la sua area è Area(ABC) = 1 (bc sin α) ove b e c sono le lunghezze dei lati opposti ai vertici B e C rispettivamente ed α è l angolo interno con vertice A. D altra parte sappiamo che il triangolo ABC è congruente al triangolo avente lati B A e C A sicché b = B A, c = C A e α = (B A), (C A): concludiamo allora che Area(ABC) = 1 (8..6.) bc sin α = 1 B A C A sin (B A), (C A) = = 1 (B A) (C A). Per esempio se ci restringiamo a triangoli nel piano di vertici A = (x A, y A ), B = (x B, y B ), C = (x C, y C ) otteniamo (B A) (C A) = x B x A y B y A x C x A y C y A k = dunque si ottiene la formula, nota ad alcuni, (8..6.3) Area(ABC) = 1 x B x A x C x A = ((x B x A )(y C y A ) (x C x A )(y B y A )) k, y B y A y C y A = 1 x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1.

9 LEZINE 8 9 La Formula (8..6.3) è valida solo nel caso di triangoli nel piano: per triangoli nello spazio non è corretta e si deve applicare la Formula (8..6.) per ottenere il valore corretto dell area, come mostriamo nel seguente esempio numerico Si considerino i punti A = (1, 1, 1), B = (, 1, 3), C = ( 1, 0, 1). Allora B A = ı j + k, C A = ı j : tali vettori non sono proporzionali, quindi i tre punti non sono allineati, dunque definiscono un triangolo. Poiché (B A) (C A) = 1 0 ı 1 0 j k = ı 4 j 5 k si ha Area(ABC) = 1 ı 4 j 5 k = = 5.