Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana /16

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1 Esercizi di Matematica per la prova di ammissione alla Scuola Galileiana - 015/16 Esercizio 1 Per quali valori n Z \ {0} l espressione è un numero intero positivo? (n + 5)(n + 6) 6n Soluzione. Il problema si può affrontare studiando l equazione con intero positivo, ossia (n + 5)(n + 6) = 6n n (6 11)n + 30 = 0 e cercando di capire per quali ci sono radici intere. Bisogna intanto capire quando il = (6 11) 10 è un quadrato m. Visto che è dispari, m deve essere dispari. Si ricava [(6 11) + m][(6 11) m] = 10 dove i fattori fra parentesi quadre sono interi positivi pari, dunque abbiamo al massimo possibilità: (60,), (30,), (0,6), (1, 10). Di queste, solo la prima e la terza danno origine ad un e ad un m interi ((, m) = (7, 9) nel primo caso e (, m) = (, 7) nel terzo caso). Per (, m) = (7, 9) abbiamo due soluzioni dell equazione: n = 1 e n = 30. Per (, m) = (, 7) abbiamo due soluzioni dell equazione: n = 3 e n = 10. Abbiamo così trovato tutte le soluzioni intere. Esercizio Abbiamo di fronte tre urne, che denotiamo con A, B e C. Le urne A e B contengono entrambe 0 palline, numerate da 1 a 0, mentre l urna C è vuota. Si estrae una pallina da A e una pallina da B. Se il prodotto dei loro numeri è pari le palline vengono eliminate, altrimenti ne viene eliminata una e l altra inserita nell urna C. Si ripete l operazione fino all esaurimento delle palline in A e B. (a) Se 0 è un numero intero, qual è la probabilità che al termine delle estrazioni l urna C contenga palline? (b) Per quali valori di tale probabilità è massima? Soluzione. Le possibili sequenze di coppie di palline estratte ( casi possibili ) sono (0!). Per = 0, 1,..., 0, contiamo le sequenze per cui alla fine ci sono palline nell urna C. Cominciamo con scegliere l ordine con cui vengono estratte le palline dall urna A: 0! possibilità. 1

2 Fissata la scelta al punto precedente, vengono individuate le 0 posizioni corrispondenti alle palline dispari. In queste posizioni vanno inserite ( esattamente ) palline 0 dispari dell urna B. Scegliamo dunque palline dispari ( possibilità), 0 ( ) ( ) 0 0 palline pari ( = possibilità) e le disponiamo arbitrariamente nelle 0 0 posizioni sopracitate (0! possibilità). Le rimanenti 0 palline non scelte al punto precedente, vengono inserite nelle 0 posizioni corrispondenti alle palline pari estratte da A (0! possibilità). I casi favorevoli sono pertanto ( 0 0! ) (0!), da cui segue che la probabilità che al termine delle estrazioni l urna C contenga palline è ( ) ( ) 0 0 0! (0!) casi favorevoli = = ( ). casi possibili (0!) 0 0 ( ) 0 Tale quantità è massima se è massimo, cioè per = 10. Esercizio 3 Paolo possiede una collezione E di punti del piano, cioè un sottoinsieme E di IR. Può ampliare la sua collezione in questo modo: scegliendo quattro punti A, B, C, D di E, egli può aggiungere a E il punto P (se esiste) di intersezione tra le rette AB e CD. (a) All inizio la collezione E è formata dai punti (0, 0), (1, 0), (, 0), (0, ), (, ). Paolo vorrebbe aggiungere alla sua collezione il punto ( 1, 1 ): è possibile farlo in un numero finito di passaggi? (b) All inizio la collezione E è formata da un numero finito di punti, tutti a coordinate intere. Dimostrare che Paolo non può aggiungere alla sua collezione il punto (0, ). Soluzione. Dati quattro punti (x 1, y 1 ), (x, y ), (x 3, y 3 ), (x, y ) usiamo la notazione compatta (x 1, y 1 )(x, y ) (x 3, y 3 )(x, y ) per indicare il punto di intersezione fra la retta passante per (x 1, y 1 ) e (x, y ) e la retta passante per (x 3, y 3 ) e (x, y ). (a) Possiamo aggiungere a E, nell ordine, i seguenti punti: (1, 1) = (0, 0)(, ) (0, )(, 0) (1, ) = (1, 0)(1, 1) (0, )(, )

3 ( 1, 1) = (0, 0)(1, ) (1, 0)(0, ) (0, 1) = ( 1, 1)(1, 1) (0, 0)(0, ) (, 1) = (, 0)(, ) (0, 1)(1, 1). A questo punto la collezione comprende i punti (0, 1), (1, 1), (, 1) e i punti sottostanti (0, 0), (1, 0), (, 0); possiamo allora aggiungere i punti sottostanti (0, 1), (1, 1), (, 1) in questo modo: (0, 1) = (0, 1)(0, 0) (, 1)(1, 0) (, 1) = (, 1)(, 0) (0, 1)(1, 0) (1, 1) = (0, 1)(, 1) (1, 1)(1, 0). Ragionando per induzione in maniera analoga possiamo allora includere nella collezione tutti i punti del tipo (0, n), (1, n), (, n) per n 1 intero. In particolare possiamo includere il punto (1, 013) ed osservare che allora possiamo includere ( 1, 1 ) = (0, 1)(1, 013) (0, 0)(1, 1) (b) E facile vedere che se la collezione comprende solo punti a coordinate razionali, allora si possono aggiungere solo punti a coordinate razionali. Infatti si ricordi che la retta passante per (a, b) e (c, d) ha equazione (c a)(y b) = (d b)(x a)); si deduce che le coordinate di un punto aggiunto sono soluzione di un sistema di due equazioni lineari, nelle incognite x e y, a coefficienti razionali, e quindi sono esse stesse razionali. Pertanto, non è possibile aggiungere alla collezione il punto (0, ). Esercizio In questo esercizio useremo la nozione astratta di distanza. Se X è un insieme, si dice distanza una funzione d : X X IR tale che (i) per ogni x, y X, si ha che d(x, y) 0; inoltre d(x, y) = 0 se e solo se x = y; (ii) per ogni x, y X si ha che d(x, y) = d(y, x). (iii) per ogni x, y, z X si ha che d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Inoltre, se x X e r > 0, chiamiamo palla di centro x e raggio r l insieme B(x, r) := {y X : d(x, y) r}. Sia ora E un insieme finito, e denotiamo con X l insieme delle successioni a valori in E. Quindi, se x X, x = (x 1, x,..., x n,...), con x n E per ogni n 1. Per x, y X poniamo d(x, y) := min{n:xn yn}, dove conveniamo che min = + e = 0. (a) Mostrare che tale funzione d è una distanza. 3

4 (b) Mostrare inoltre che per ogni r > 0, X è l unione di un numero finito di palle di raggio r. Soluzione. (a) La (i) segue dal fatto che d(x, y) = 0 se e solo se {n : x n y n } =, cioè x = y. La (ii) è ovvia, essendo la definizione di d del tutto simmetrica. Per dimostrare (c), siano x, y, z X, con d(x, y) = e d(y, z) = h. Senza perdita di generalità possiamo assumere h. Dalla definizione di d segue che, per n h, x n = y n = z n, e perciò d(x, z) h h + = d(x, y) + d(y, z). (b) Sia tale che r, fissiamo a E, e consideriamo l insieme A := {x X : (x 1, x,..., x E, x n = a per n > }. Si noti che A contiene E elementi, dove E denota il numero di elementi di E. Inoltre se y X, esiste un elemento x A tale che x m = y m per ogni m, e quindi d(x, y) r. Da ciò segue che l unione di tutte le palle di raggio r e aventi come centro un elemento di A, contiene tutto X. Esercizio 5 Supponiamo che a 1, a, a 3,..., a siano numeri interi distinti. (a) È vero che Σ = (a1 a) + (a a3) + + (a 1 a) + (a a1) è un numero pari, per ogni scelta di a 1, a, a 3,..., a? (b) Sia = : trovare il minimo valore di Σ al variare della scelta degli a i e caratterizzare le scelte degli a i che minimizzano Σ. (c) Dimostrare che, per ogni 1, vale Σ ( 1) ed esibire una scelta degli a i che minimizzano Σ 8. Soluzione. (a) Σ ha la stessa parità di S = a 1 a + a a a 1 a + a a 1 che a sua volta ha la stessa parità di a 1 a + a a a 1 a + a a 1 = 0

5 (b), (c) Il caso = si può fare anche a mano. Mostriamo qui una soluzione che permette di affrontare il problema per generico. Applicando la disuguaglianza di Cauchy si ottiene che Σ S Si osserva poi per via elementare (disponendo i numeri a i sulla retta e pensando per esempio alla lunghezza del cammino che parte da a 1, va ad a etc.. e torna in a 1 ) che il numero S è ( 1). Nel caso = la disuguaglianza dà dunque Σ 9 e dunque Σ 10 visto che Σ è sempre pari. Si verifica poi con un esempio che il minimo 10 viene raggiunto e che le scelte buone sono del tipo a 1 = 1, a = 3, a 3 =, a = 0 o simili, a meno di traslazione, permutazione ciclica etc.. Il caso = 8 è analogo e porta al valore minimo 6, ottenuto con scelte del tipo 1, 3, 5, 7, 6,,, 0. Esercizio 6 Sia ABC un triangolo e siano a, b, c, rispettivamente, le lunghezza dei lati BC, AC, AB; infine, sia S l area del triangolo ABC. Supponiamo che esista un punto P interno ad ABC tale che A P B = B P C = C P A = 10. Calcolare la somma delle lunghezze AP + BP + CP in funzione di a, b, c, S. È possibile calcolare AP + BP + CP in funzione dei soli a, b, c? Soluzione. Siano x, y, z, rispettivamente, le lunghezze di AP, BP, CP ; vogliamo calcolare x + y + z. Applicando il teorema di Carnot (o del coseno) ai triangoli AP B, BP C, CP A, e tenendo conto che cos 10 = 1/, otteniamo c = x + y + xy, a = y + z + yz, b = x + z + xz, da cui x + y + x + xy+yz+xz = a +b +c. Inoltre, l area di AP B è pari a 1AP P B sin 10 = 3xy; analogamente, le aree di BP C e CP A valgono, rispettivamente, 3 yz e 3xz. Poiché l area di ABC é pari alla somma delle aree di AP B, BP C, CP A, otteniamo Possiamo allora concludere osservando che S = 3(xy + yz + xz). (x + y + z) = (x + y + x + xy+yz+xz ) + 3 (xy + yz + xz) = a +b +c a +b +c + 3S, da cui x + y + z = + 3S. È possibile calcolare AP + BP + CP in funzione dei soli a, b, c, usando la Formula di Erone S = (a + b + c)( a + b + c)(a b + c)(a + b c). 5