vettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **

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1 Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * ** ϑ * Secondo le convenzioni 0 ϑ 180 se a rotazione che porta il primo vettore sul secondo è in senso antiorario oppure 180 ϑ 0 se la rotazione che porta il primo vettore sul secondo è in senso orario. E ovvio anche che l angolo che il secondo vettore deve percorrere per sovrapporsi al primo è ϑ ** prima di procedere con la definizione di prodotto scalare ricordiamo alcune proprietà importanti della funzione coseno: cos( ϑ) = cos( ϑ) qualunque sia l angolo ϑ se 90 ϑ 90 cos ϑ 0 se 90 < ϑ 180 o 180 ϑ < 90 cos ϑ 0 Definiamo prodotto scalare tra i due vettori u e v la seguente operazione ( indicata generalmente con e che si legge u scalar v : se u = 0 oppure v = 0 allora altrimenti = u v cos ϑ = 0 Es 1 : sia u = 3, v =, ϑ = 30 : allora 3 = u v cosϑ = 3 = 3 3 Es. : sia u =, v = 4, ϑ = 10 : allora 1 = u v cosϑ = 4 = 4 v u Osservazione importantissima : il prodotto scalare è un operazione che associa a due vettori un numero reale; altrimenti detto il prodotto scalare tra due vettori è un numero reale. pag.1 pag. 1

2 Il prodotto scalare ha un immediata interpretazione geometrica: supponiamo infatti prodotto scalare = u v cos ϑ ϑ [ 0;90 [ si ricava immediatamente = u v cos ϑ = O O cos ϑ relazioni sui triangoli rettangoli si ricava che O cos ϑ = O ' da cui segue: : dalla definizione di : ma, dalle O ' ' O O cos ϑ = O O ' da cui segue che il prodotto scalare coincide con il prodotto dell intensità del primo vettore per la proiezione del secondo sul primo. Inoltre, applicando la proprietà commutativa del prodotto di numeri reali e il fatto che cosϑ = cos( ϑ ), si può scrivere vu i = O O cos( ϑ) = O O cos( ϑ) = O O cos( ϑ) = che dimostra che il prodotto scalare è commutativo Inoltre poichè O cos ϑ = O ', si ha che = O ' O : il prodotto scalare coincide anche con il prodotto dell intensità del secondo vettore per la proiezione del primo sul primo. In definitiva si può quindi affermare che geometricamente il prodotto scalare coincide con il prodotto dell intensità di uno dei due vettori per la proiezione dell altro nella direzione del primo se l angolo ϑ è ottuso (cioè ϑ ] 90 ;180 ] come si vede dalla figura accanto la proiezione O di O è orientata dalla parte opposta rispetto al verso di O. dalla figura segue subito che O ' = O cos(180 ϑ). ' O Poichè ( ϑ ) cos 180 = cosϑ posso scrivere ' O ' = O cos(180 ϑ) = O ( cos ϑ) = O cosϑ Allora dalla definizione = u v cos ϑ si ricava pag.

3 = O O cos ϑ = O ( O ') = O O '. in questo caso il prodotto scalare coincide con il prodotto cambiato di segno tra l intensità del primo vettore per la proiezione ortogonale del secondo vettore sul primo. Nel caso in cui i vettori siano ortogonali ϑ = 90 oppure O ' ϑ = 90 evidentemente la proiezione del vettore sull altro si riduce ad un punto ( h O, cos(90 ) = cos( 90 ) = 0 ) e si ha di conseguenza = 0 Notiamo che nessuno dei due vettori è nullo, ma il loro prodotto lo è: Possiamo quindi affermare che il prodotto vettoriale non vale una legge di annullamento simile a quella dei numeri reali Il prodotto scalare gode delle seguenti proprietà: se u = 0 o v = 0, allora = 0 u = 0 v = 0 se = 0 allora, oppure oppure u v ia = a = vu i u v uiv ui v± w = uiv± uiw ( ) in particolare uu i = u = u u v disuguaglianza di Schwartz Espressione cartesiana del prodotto scalare Introduciamo il piano cartesiano ortonormale Oxy dotato di base ( i ; j ) ; come sappiamo i versori i e j sono due vettori ortogonali e di lunghezza unitaria *. Tali proprietà possono essere scritte sinteticamente attraverso il prodotto scalare: 1) ii i = i =1, jj i = j =1 e ij i = 0. pag. 3

4 Come sappiamo in tale base un vettore qualsiasi può essere scritto come combinazione lineare dei due vettori di base: u = xi+ yj, con ( xy ; ) : sappiamo anche che se la base è fissata la scrittura precedente può essere abbreviata (sottintendendo la base) con la scrittura x u. y * Per inciso, si ricorda che i due vettori di base necessari a generare gli altri non debbono in generale nè essere ortogonali nè della stessa lunghezza; ma il verificarsi di tali condizioni rende le espressioni algebriche particolarmente semplici. Siano dati ora due vettori u = xi+ yj e v = x ' i+ y ' j ; eseguiamo il loro prodotto scalare = ( xi+ yj)( x ' i + y ' j) = xx ' ii i + xy ' ij i + yx ' jii + yy ' jj i. tenuto conto delle 1), l espressione precedente diviene = xx' + yy', cioè la somma dei prodotti delle componenti omonime. sando la notazione abbreviata x x' i = xx' + yy' y y' Se u v u i v =0 e quindi xx ' + yy ' = 0. L ortogonalità di due vettori trova quindi il suo corrispettivo algebrico nel fatto che il prodotto scalare sia nullo Es. siano dati i vettori u 3 e 8 v : poichè ( 6) i = + = = 4 6 i due vettori sono ortogonali. Angolo tra due vettori Abbiamo visto due espressioni per il prodotto scalare = u v cos ϑ e = xx' + yy'. La prima è ovviamente utilizzabile se si conoscono le norme e l angolo tra i vettori, mentre la seconda è di immediata utilizzazione se sono note le componenti. D altra parte la conoscenza delle componenti permette immediatamente di ricavare la norma del vettore (infatti: u = x + y = iii = i ). allora utilizzando entrambe le formule è possibile conoscere il coseno dell angolo e successivamente l angolo. pag. 4

5 Da = u v cos ϑ si ricava cosϑ = u v Es: u, 3. Poichè,, segue 1 v u = 7 5 v = 58 = cosϑ = da cui segue 13 ϑ = arccos 40, pag. 5