Soluzione - calcolo di {t} 1 e {t} 2 : {t} 1 =[σ]{n} 1 = {t} 2 =[σ]{n} 2 =

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1 Unità : Stato di tensione e di deformazione Esercizio Dato un tensore della tensione [σ], date inoltre due dimensioni {n} e {n} - trovare le componenti dei vettori della tensione {t} e {t} agenti sulle due superfici ortogonali alle direzioni {n} e {n} - trovare la componente di {t} su {n} e la componente di {t} su {n}. - calcolo di {t} e {t} : {t} =[σ]{n} = σ xx xy xz x xy σyy yz ny τxz τyz σzz nz {t} =[σ]{n} = σ τ τ n xx xy xz x xy σyy yz ny τxz τyz σzz nz = τ τ τ τ n = τ τ - proiezione di {t} su {n} : {n} T {t} ={n} T [σ]{n} - proiezione di {t} su {n} : {n} T [σ]{n} In entrambi i casi, uno scalare. Prendendo per esempio il primo dei due, poiché il trasposto di uno scalare è uguale a se stesso: {n} T [σ]{n} = ({n} T [σ]{n} ) T con la regola del trasposto di un prodotto: ({n} T [σ]{n} ) T ={n} T [σ] T ({n} T ) T ={n} T [σ] {n} perché - trasporre due volte {n} produce {n} - [σ] è simmetrica, ed è uguale a [σ] T Si trova così un risultato notevole: la componente di {t} su {n} è uguale alla componente di {t} su {n}.

2 Unità : Stato di tensione e di deformazione Esercizio Dato il tensore della tensione dell esercizio 3 dell Unità, Lezione: [ σ] = tracciare i cerchi di Mohr, e trovare il valore della tensione tangenziale τ n massima. La soluzione dell esercizio n. 3 di Unità, lezione 3, aveva dimostrato che sul piano (x,y) sono definite due tensioni principali sue due direzioni principali (,): σ = 00 N/mm σ = -00 N/mm Inoltre, poiché nella matrice del tensore [σ] si hanno τ xz = τ yz =0, la τ zz è principale (e vale 0). Pertanto σ 3 σ zz = 0. I tre cerchi di Mohr intersecano l asse nei tre valori (σ, σ, σ 3 ): τ n 45 (,) (,3) σ = -00 (,3) σ 3 =0 σ =00

3 Unità : Stato di tensione e di deformazione Conclusioni: - il cerchio di Mohr di diametro maggiore è quello relativo al piano (,) - la tensione τ n massima in valore assoluto è agente sulla superficie la cui normale giace sul piano (,) e forma con l asse un angolo di 45 - τ n max =50 N/mm Esercizio 3 Dato il tensore della tensione: [ σ] = (N/mm ) trovare i valori delle tensioni principali con la costruzione grafica inversa di Mohr. Poiché τ xz = τ yz =0, σ zz =50 N/mm è tensione principale, quindi σ 3 σ zz. Pertanto il piano x,y è principale, e le tensioni (, τ n ) sono punti di un cerchio di Mohr. τ n P y P x τ xy = 30 C σ σ yy = -5 0 σ xx = +5 σ Il centro C del cerchio ha ascissa: n il raggio: 5-5 σ (C) = = 50 r = CPx CP y = (5-50) + 30 = = 50 3

4 Unità : Stato di tensione e di deformazione Perciò: σ = (C) + r = 50+50=00 N/mm σ = (C) - r = 50-50=-00 N/mm I tre cerchi di Mohr sono: τ n (,) -00 (,3) 0 (,3) Esercizio 4 Dato il tensore della tensione: [ σ] = trovare la τ n max. 4

5 Unità : Stato di tensione e di deformazione Come nell esercizio precedente, tramite costruzione grafica inversa si trovano le tensioni principali, che ora valgono: σ = 00 N/mm σ = -00 N/mm σ = -00 N/mm τ n (,3) (,3) (,) σ 3 = -00 σ = σ =00 Tracciati i tre cerchi di Mohr, si vede che il cerchio (,3) è quello di diametro maggiore; la tensione tangenziale massima: diametro 400 τ n max= = = 00 N/mm agisce sulla superficie la cui normale sta sul piano (,3) e forma 45 con la direzione dell asse. Esercizio 5 È possibile applicare la costruzione inversa dei cerchi di Mohr per trovare le tensioni principali in questo caso? [ σ] = σ xx = 5 N/mm non è principale, perché sulla superficie ortogonale all asse x agisce anche la componente tangenziale τ xy = 00 N/mm - σ yy = -50 N/mm non è principale perché sulla superficie ortogonale all asse y agiscono le componenti tangenziali τ yx = 00 N/mm e τ yz = 75 N/mm 5

6 Unità : Stato di tensione e di deformazione - σ zz = 0 N/mm non è principale perché sulla superficie ortogonale all asse z agisce anche la componente tangenziale τ zy = 75 N/mm Perciò nessuno dei tre piani (x,y), (x,z), (y,z) è ortogonale a un asse principale. Le tensioni (,τ n ) relative alla direzioni giacenti su questi piani hanno come luogo geometrico un cerchio di Mohr. Esercizio 6 Dato il tensore della tensione in assi (x, y, z): [ σ] = [MPa] trovare le direzioni degli assi principali. Si tratta dello stesso tensore dell esercizio 3. Il semicerchio di Mohr del piano (x, y) era stato lì trovato tramite costruzione grafica inversa. Si sa che l asse z è principale. Introduciamo ora una premessa generale. È noto che nella costruzione diretta, la tensione su una superficie la cui normale è ruotata di α, antiorario, rispetto all asse si trova: τ n n P Direzione e verso di τ n α σ = α σ xx σ = +00 Valore di τ n 6

7 Unità : Stato di tensione e di deformazione L angolo al centro sotteso dall arco P è doppio, α, dell angolo alla circonferenza α. Quando vengono date le componenti del tensore della tensione [σ], note in assi (x, y, z), evidentemente noi dobbiamo già sapere come sono posizionati gli assi nello spazio. Al fine di trovare la posizione relativa tra gli assi (x, y) e gli assi principali (, ) possiamo fissare sul foglio una posizione di comodo o per l asse x o per l asse y, a scelta. La scelta più frequente è quella di posizionare l asse x orizzontale e vero destra, e l asse y a 90 antiorari, con l asse z che viene verso l osservatore. Terminate le premesse, torniamo alla soluzione. Si costruisca la parte essenziale del cerchio di Mohr: τ n Q P σ = α σ = +00 R S Nel piano (x, y): Nel piano di Mohr, il punto P: σ xx =5 τ xy =-30 = σ xx =5 τ n =-τ xy =30 Il raggio CP è inclinato di: 30 α = atn = 60 ; α = Perciò l asse x è ruotato di α=30 antiorari rispetto all asse ; data l usuale scelta della successione degli assi è determinato anche l asse. 7

8 Unità : Stato di tensione e di deformazione y 30 x Il problema è così risolto. y x

9 Unità : Stato di tensione e di deformazione Esercizio 7 Nel caso dell esercizio precedente, esplorare il significato del raggio CR. Il raggio CR è ruotato di 80-α orari rispetto al raggio C. Rappresenta quindi le tensioni relative alla direzione ruotata di 90-α orari rispetto all asse, e quindi di 90 orari rispetto alla direzione x. α 90-α È la direzione y-y, ma non il verso dell asse y, che per le convenzioni adottate segue x in senso orario. τ n P -5 C 90-α 80-α R Direzione e verso di τ n 9

10 Unità : Stato di tensione e di deformazione Posizioniamo ora l asse orizzontale: y x 5 30 Completate questa figura con l ultima dell esercizio precedente. Esercizio 8 Nel caso dell esercizio 6, qual è il significato del raggio CS e del raggio CQ? τ n Q 80-α α +00 S 0

11 Unità : Stato di tensione e di deformazione 5 y 30 α 30 5 x Confrontando con l esercizio 6, si vede che dato un riferimento principale nel piano (, ), in cui il tensore è: [σ] = (è stata omessa la parte relativa all asse 3) esite una coppia d assi (x, y), ruotata di 30 antiorari in cui il tensore ha componenti: 5-30 [σ] = ed esiste una coppia d assi (x, y ), ruotata di 30 orari, in cui il tensore ha componenti: 5 30 [σ] = 30-5