Esercizio su Saint - Venant

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1 Esercizio su Saint - Venant G. F. G. 5 agosto 018 Data la trave di figura 1 determinarne le reazioni interne con i relativi diagrammi. Nella sezione più sollecitata determinare lo stato tensionale (espressioni analitiche e diagrammi) e verificarne la resistenza con il criterio di Von Mises. Calcolare, inoltre, gli sforzi principali e le direzioni principali di sforzo nel punto più sollecitato. Dati: h = 50 mm b = 00 mm s = 15 mm s = 5 mm I 1 = mm 4 L = 4 m A = mm σ amm = 10 Mpa P = 30kN Figura 1: Trave e relativa sezione Svolgimento Risolviamo innanzitutto la trave. In figura sono riportate le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione. Dai grafici è chiaro che la 1

2 sezione più sollecitata è quella iall incastro, cioè in A. azioni interne valgono In tale sezione le Figura : Reazioni vincolare e caratteristiche della sollecitazione N(A) = 0; T (A) = P = N; M 1 (A) = P l = Nmm = Nmm; Il taglio genera un problema tangenziale mentre il momento flettente attorno all asse x 1 genera un problema assiale. Risolviamo quest ultimo. Per determinare l andamento della tensione assiale σ utilizziamo la formula di Navier: σ 33 = N A + M 1 I 1 x M I x 1. Essendo, nel nostro caso, N = 0 e M = 0 la formula diventa: e sostituendovi i dati noti: σ 33 = M 1 I 1 x σ 33 = Calcoliamo l equazione dell asse neutro: x = x σ 33 = x = 0 x = 0 Poichè le tensioni massime sono quelle più distanti dall asse neutro, l andamento è quello riportato in figura 3.

3 Figura 3: Andamento della tensione assiale La tensione assiale massima si ha per x = h σ 33MAX = ( 15) = 10 MP a Risolviamo il problema tangenziale. Figura 4: Separazione del taglio dalla torsione Conosco la posizione del centro di taglio. Poichè la forza di taglio T non passa per il centro di taglio, la sezione è soggetta a taglio e torsione. Risolvo il taglio. Uso la formula di Jourawsky: τ 3i = T S 1i I 1 s i 3

4 Figura 5: Parametrizzazione Conosco tutti i dati tranne i momenti di inerzia statici parametrizzati S 1i. Con riferimento alla figura 5, i momenti di inerzia statici parametrizzati sono dati da: S 11 = ξ 1 5 (15 1.5) mm 3 S 1 = (15 1.5) + η 15 (15 5 η ) S 13 = S 11 Gli altri tratti vengono parametrizzati allo stesso modo data la simmetria della sezione. Figura 6: Andamento della tensione tangenziale dovuta al taglio 4

5 Il punti più sollecitati della sezione sono i punti agli spigoli del lato superiore. In tali punti si ha τ 31 (M) = τ 31 (M ) = T S13 (M) I 1 s = =.9 MP a. 5 Risolvo la torsione. Figura 7: Area racchiusa dalla linea media e andamento della tensione tangenziale dovuta al momento torcente Uso la formula di Bredt: τ 3i = M 3 Ω s i dove Ω è l area racchiusa dalla linea media che vale Ω = = 4165 mm. e M 3 è il momento torcente che vale M 3 = T b = Nmm. Inserendo tali valori nella formula di Bredt si ha: Nei punti M e M si ha: τ 3i = s i = s i τ 31 (M) = = 1.44 MP a La tensione tangenziale totale nel punto più sollecitato, che, dalla concordanza delle tensioni, si deduce essere M vale: 5

6 τ 31tot (M ) = ( ) MP a = 3.73 MP a. La tensione ideale secondo Von Mises vale, nel punto M : σ id (M ) = σ (M ) + 3 τ (M ) = (10) + 3 (3.73) = 10. MP a Poichè σ id (M ) < σ amm la sezione risulta verificata. Restano da determinare tensioni e direzioni principali. Uso il metodo del cerchio di Mohr. Nel punto più sollecitato si ha: σ 33 (M ) = 10 Mpa τ 31 (M ) = 3.73MP a. Nel punto M il tensore delle tensioni è: T = Figura 8: Elemementino in M Disegnamo un elementino quadrato e su tale elementino riportiamo gli sforzi. Prendiamo allora un punto O sul lato orizzontale superiore e un punto V sul lato verticale destro. In un piano σ τ le coordinate di tali punti sono: O = (10, 3.73) V = (0, 3.73) 6

7 dove i segni vengono presi con la convenzione che σ è positiva se di trazione e τ è positiva se induce una rotazione oraria attorno all origine. Per disegnare il cerchio di Mohr i passaggi sono i seguenti: 1. si riportano i punti O e V sul piano;. il segmento che unisce tali punti è il diametro del cerchio; (si noti che il centro si trova sempre sull asse delle σ dal momento che le τ sono uguali e opposte); 3. si disegna il cerchio; 4. i punti di intersezione della circonferenza con l asse delle σ (dove quindi la τ è zero) determinano le tensioni principali σ 1 e σ 5. si fa passare per O una retta Verticale e per V una retta Orizzontale. Il punto di intersezione di tali rette (che si troverà sulla circonferenza) costituisce il polo delle normali N. 6. dal polo delle normali si tracciano due semirette passanti per σ 1 e σ. Esse costituiscono le direzioni principali. 7. si fa passare per O una retta Orizzontale e per V una retta Verticale. Il punto di intersezione di tali rette (che si troverà sulla circonferenza) costituisce il polo delle giaciture K. 8. dal polo delle giaciture si tracciano due semirette passanti per σ 1 e σ. Se ruotiamo l elementino iniziale in modo tale che esso abbia i lati paralleli a tali rette, l elementino sarà soggetto solo alle tensioni principali. Nelle figure 9, 10, 11 sono mostrati alcuni dei passaggi per la costruzione del cerchio di Mohr. Determiniamo il valore numerico delle tensioni principali: σ 1, = σ (σo ) O + σ V σ V ± + τ da cui: σ 1 = 0.14 MP a σ = MP a 7

8 Figura 9: Alcuni dei passaggi per la costruzione del cerchio di Mohr: Figura 10: Alcuni dei passaggi per la costruzione del cerchio di Mohr: 6 8

9 Figura 11: Alcuni dei passaggi per la costruzione del cerchio di Mohr: 7-8 9