ESERCIZIO 1 (Punti 9)

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1 UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL ESERCIZIO 1 (Punti 9) Data la struttura di soolevamento mostrata in Figura 1.1, calcolare lo spostamento verticale del punto B conseguente al sollevamento della massa M tramite la carrucola. Dati Fig. 1.1 L := 900 mm M := 15 kg ϕ := 7mm Diametro cavo b := 80 mm h := 110 mm s := mm E := MPa Modulo Young acciaio

2 Svolgimento La forza complessiva applicata alla trave per il sollevamento della massa M è pari a: F := M g F = N Si ottiene quindi il seguente schema di calcolo con tre reazioni vincolari incognite. L L E y x L B C D X D.45 kn Y D Calcolo reazioni vincolari Fig. 1. Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (momenti calcolati rispetto al polo D): X D := 0 Y D := 0 R E := 0 Given R x = 0 ---> X D R E = 0 R y = 0 ---> Y D + R E F = 0 MzD = 0 ---> F L R E L = 0

3 X D Y D R E ( ) := Find X D, Y D, R E Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari (in KN): X D = N Y D = N R E = N Caratteristiche sezioni e materiale Le carattristiche geometriche della sezione della trave sono date da: A 1 := ( hb ) ( b s) ( h s) A 1 = 53 mm bh 3 J 1 ( b s) ( h s) 3 := J = mm 4 La sezione del cavo è invece pari a : πϕ A := 4 A = mm Caratteristiche di sollecitazione Per il calcolo dello spostamento del punto B si ricorre al metodo del bilancio di energia. In base alle reazioni vincolari calcolate si ottiene il seguente diagramma di corpo libero (Fig. 1.3): Fig. 1.3 dal quale si ricavano, per la trave orizzontale, i seguenti andamenti delle caratteristiche di sollecitazione in funzione della coordinata curvilinea ξ. ξ := 0mm xx( ξ) := 0, 1mm.. L

4 Forza normale La forza normale risulta data da: N 1 ( ξ) := 0 N if 0 ξ L 4903 N otherwise [kn] N 1 ( ξ) xx( ξ) ξ [mm] Taglio Il taglio non viene tracciato, dato che il suo contributo allo spostamento di B è trascurabile: Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M 1 ( ξ) :=.45 kn ξ if 0 ξ L.45 kn ( L ξ) otherwise [kn m] 0 M 1 ( ξ) xx( ξ) ξ [mm] Forza normale cavo Per quanto concerne il cavo, esso risulta soggetto alla sola forza normale data da: N c := kn

5 Calcolo dello spostamento di B Lo spostamento δ Β del punto B può essere calcolato uguagliando il lavoro compiuto dal carico F L F := F δ B all'energia elastica immagazzinata all'interno della trave e della fune: L L e := 0 M( ξ) E J 1 + N( ξ) E A 1 dξ + 0 L N c E A dξ Da cui si ottiene: δ B := 0 L ( M 1 ( ξ) ) EJ 1 + ( N 1 ( ξ) ) EA 1 dξ + 0 L N c 1 dξ EA F δ B = 8.18 mm

6 ESERCIZIO (Punti 9) Calcolare il massimo valore della massa M che può essere sollevata tramite il dispositivo mostrato in Fig..1. Non si consideri la resistenza del cavo orizzontale. Dati: L 0 := 500 mm B := 80 mm H := 110 mm s := 3mm σ s := 700 MPa E := 1000 MPa Modulo Young acciaio Fig..1 Svolgimento La forza complessiva applicata alla trave per il sollevamento della massa M è pari a: F:= M g La struttura è in tutto assimilabile ad una travatura reticolare, costituita dalla trave inclinata a 45 e dalla fune che agisce da tirante. Dall'equilibrio della cerniera superiore (Fig..) si ricavano immediatamente le forze normali agenti nella trave e nella fune.

7 N F F Fig.. N F := F Fune orizzontale N T := F Trave inclinata a 45 Le caratteristiche geometriche della sezione della trave sono: A 0 := HB ( H s) ( B s) A 0 = 79 mm BH 3 ( B s) ( H s) J x := 1 1 J x = mm 4 Momento inerzia massimo HB 3 ( B s) 3 ( H s) J y := J 1 1 y = mm 4 Momento inerzia minimo Calcolo del valore massimo ammissibile della massa M. I possibili meccanismi di cedimento della trave sono: collasso plastico della sezione instabilità elastica Nel seguito viene calcolato il valore limite di M per ognuno dei due meccanismi, assumendo il minore dei due come limitante. Collasso plastico F σ := Tensione nella trave soggetta a forza normale A 0 uguagliando al valore ammissibile (tensione di snervamento) si ricava: σ s A 0 M c := M c = kg g

8 Instabilità Elastica Si assume che la trave si instabilizzi secondo il modo di Eulero nel piano corispondente al momento di inerzia minimo, per cui si ha: P cr := π E J y ( L 0 ) Uguagliando al valore della forza normale agente si ricava: M i := π E J y ( L 0 ) 1 g M i = kg Per cui si conclude che il valore massimo della massa sollevabile è pari a kg

9 ESERCIZIO 3 (Punti 6) Verificare la resistenza del giunto bullonato a flangia posto all'estremità della trave mostrata in Fig La flangia è di forma quadrata ed i bulloni sono disposti su di essa in maniera simmetrica. Condurre la verifica ad attrito. Dati L 1 := 1500 mm b := 00 mm d := 180 mm M m := 00 kg (massa del motore) W := 5kW (potenza trasmessa dal motore) n := (velocità di rotazione del motore in giri/min.) min Φ σ b := 10 mm (diametro bulloni) := 1100 MPa (tensione limite del materiale dei bulloni) f := 0.3 (coefficiente di attrito tra le flange) ϕ min := 1.5 (coefficiente di sicurezza minimo richiesto per il collegamento) Fig. 3.1

10 Svolgimento La struttura è chiamata a sostenere (Fig.3.) una forza data dal peso del motore, pari a : F m := M m g F m = N ed un momento pari a quello richiesto per la trasmissione della potenza del motore attraverso l'albero di trasmissione, pari a: Ω := n π Velocità angolare albero motore Ω = s W C m := C Ω m = Nmm Coppia trasmessa dal motore Fig. 3. Facendo uso del consueto SR con origine nel baricentro dei bulloni (in questo caso coincidente col baricentro della sezione della trave), si ha che il giunto deve trasmettere complessivamente le seguenti azioni: F X := 0 F Y := F m F Z := 0 M X := F m L 1 M Y := 0 M Z := C m

11 Azioni dovute ad FY La forza FY produce su ciascun bullone un'azione tagliante pari a: F Y T Y := T 4 Y = N Azioni dovute ad M X Il momento M X produce su ciascun bullone un'azione di distacco pari a: i := 1,.. 4 j := 1,.. 4 Distanze dei singoli bulloni dall'asse X Y d d d d := Y := Y := Y := N := i j M X ( ) Y j Y i N = i N Azioni dovute ad M Z Il momento M Z produce su ciascun bullone un'azione di taglio pari a: Distanze dei singoli bulloni dal baricentro d d D i := = T Z := j M Z ( ) D j D = i M Z 4 d d T Z := 4 M Z d d T Z = N

12 Verifica la verifica viene condotta ad attrito, sosituendo cautelativamente la somma vettoriale delle azioni taglianti con una somma algebrica. Azione tagliante totale T tot := T Y + T Z Azione di distacco totale N tot := N 1 Precarico bullone N 0 := 0.8 σ b Verifica πφ 4 N tot < 0.8 N 0 = 1 Verificata ( ) f N 0 N tot T tot < = 1 Verificata ϕ min

13 ESERCIZIO 4 (Punti 6) Data la struttura mostrata in Fig. 4.1, si calcoli la velocità di rotazione del motore ( in giri/1') per la quale si ha risonanza con la prima frequenza propria della struttura stessa. Nel calcolo si trascuri la massa della trave e si consideri la struttura come spaziale e soggetta a sole deformazioni flessionali.. Dati Fig. 4.1 L 1 := 1500 mm B := 00 mm H := 180 mm s := 4mm M m := 00 kg (massa del motore) E a := MPa (Modulo Young alluminio) Svolgimento Dato che la massa della trave può essere trascurata, la struttura è assimilabile ad un semplice sistema massa-molla ad un solo grado di libertà (Fig. 4.), nel quale la massa è quella del motore, mentre la rigidezza corrisponde a quella flessionale della trave nel punto di fissaggio del motore stesso. La rigidezza della molla equivalente alla trave può pertanto essere valutata come quella di una trave a mensola caricata all'estremità: P k := δ = 3E a J 3 L 1

14 Se si vuole ottenere il minimo valore della frequenza propria è necessario utilizzare il valore minimo del momento di inerzia della sezione, dato da: HB 3 J min := 1 ( H s) ( B s) 3 1 In tal modo si ha: k := 3E a J min 3 L 1 da cui: ω := k M m ω = s La velocità di rotazione corrispondente del motore (in giri al minuto) è pari a: n r := ω π n r = min