Equilibrio di un punto materiale (anelli, giunti ecc.)

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1 Equilibrio di un punto materiale (anelli, giunti ecc.)

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3 Per l equilibrio di un punto basta Obiettivo: verificare che Σ F i 0 Determinare le forze trasmesse al nodo da tutti gli elementi concorrenti, e quindi determinare le forze agenti su tutti questi elementi Procedura : 1. Identificare tutte le forze agenti sul sistema (DIAGRAMMA DI CORPO LIBERO), sia note sia incognite 2. Imporre le equazioni di equilibrio 3. Determinare le forze non note

4 Diagramma di Corpo Libero 1. E uno schema che mostra il sistema staccato dai collegamenti con altri elementi. 2. Sul sistema in studio si applicano tutte le forze determinate da campi esterni (incluso le forze d inerzia) e quelle trasmesse dagli elementi adiacenti tramite i collegamenti.

5 3. Si disegna un taglio immaginario che isola gli elementi che compongono il sistema di cui si sta studiando l equilibrio dagli altri; 4. in corrispondenza di ciascun taglio si applicano le forze che gli elementi soppressi trasmettono al sistema in studio (reazioni); 5. si aggiungono le forze attive; 6. si indica il valore di tutte le forze note e si dà un nome a tutte quelle da determinare 7. il verso delle forze incognite lo si pone arbitrario (quando possibile concorde con gli assi del sistema di riferimento)

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8 Esempio 2-1 La sfera ha una massa di 6 kg ed è sospesa come in figura. Determinare le forze che agiscono sulla sfera, la fune CE, e il nodo C

9 Sfera F CE 58.9 N Il risultato positivo indica che la forza ha il verso assegnato arbitrariamente. Ci sono due forze agenti sulla sfera: il peso proprio e la forza trasmessa dalla fune CE. Il peso è: W 6 kg (9.81 m/s 2 )58.9 N.

10 Fune CE F CE è nota (58.9 N) ed è diretta come mostrato, opposta alla reazioni agente sulla sfera. Allora è F EC 58.9 N (le funi sono sempre tese) 58.9 N

11 Nodo C F CD F CBA cos 60 0 F CBA sin 60 - F CE 0 F CD F CBA cos 60 0 F CBA sin 60 F CE F F CBA CD N N N

12 Esempio 2.2

13 DCL

14 Esempio N

15 DCL di E 100 N

16 DCL di C

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18 Risoluzione grafica: caso 1 Forze concorrenti in un punto di cui 2 incognite. La soluzione grafica è utile come un rapido controllo qualitativo 100 N Scala: 100 N T EC T EG T EC W B T CD

19 200 N

20 Risoluzione grafica: In questo caso può essere operativa, per la semplicità della geometria 200 N π/3 N AB N AB N AE N AE 200 N N N AB AE F 2F N π sin 3 3 π F N AB cos N 3 3

21 N BC N AB π/3 N BD N N F F BD BC x y N AB N π 4 cos + N 3 5 π 3 sin + N 3 5 AB N AB BD BD N 0 5 F 333N 3 4 F N 3 BC 0

22 4 kg

23 Equilibrio di un nodo in 3D

24 Problema 2.3 Il blocco pesa 500 kg. Determinare le forze agenti sulle 3 aste

25 1 Risultato: perché sono aste? Definiamo asta un elemento monodimensionale soggetto solo a forze assiali (che hanno la direzione dell asse dell asta)

26 F Ay L F By Se l elemento non è soggetto a altre forze oltre le reazioni dei perni, per l equilibrio dei momenti deve essere: Σ M A - F By L 0 ❾ F By 0 Σ M B - F Ay L 0 ❾ F Ay 0

27 z F AD A F AC F AB W x Diagramma di corpo libero y

28 1.Geometria: determinare le Coordinate dei Punti ( ) A 0,3,2.5 ( ) B 0,0,0 ( ) C 0.75, 2,0 ( ) D 1.25, 2,0

29 2.Versori A B C D B-A C-A D-A n1 n2 n3 x 0 0 0,75-1,25 0 0,75-1,25 0 0,13-0,22 y ,77-0,89-0,87 z 2, ,5-2,5-2,5-0,64-0,44-0,44 3,91 5,64 5,73

30 F AD A 3.Equilibrio F AC F AB F 0 x F F 0 F 0 y F F F 0 F 0 z AC AD AB AC AD F F F AB AC AD W

31 F F F AD AC AB 4. Soluzione 6.32kN FAD kN 10.4kN F kN 19.1kN AD F Il AB fatto is negative che F AB è so risultata it in negativa opposite indica senseche ha verso opposto a quello indicato sul DCL of that shown on FBD! F AD 6.32kN A F AC 10.4kN F AB 19.1kN W

32 D A C C B

33 Influenza del peso proprio sugli sforzi agenti nelle aste Consideriamo l asta AB. N AB kn L asta sia costituita da un tubo di acciaio di diametro 50 mm e spessore 2 mm, in modo tale che l area della sezione trasversale è A 310 mm 2. T T N AB N AB P α P γ AL tanα T P / kn kN α 0.14

34 Problema m 1.60 m 1.60 m Se la massima trazione consentita nei cavi AB e BC è pari a 2500 N, determinare l altezza z a cui si può sollevare il cassone di 100 kg, ed il corrispondente valore della forza F. Sia y 3 m.

35 Un Problema preliminare A B 1.30 m F z 3 m y L equilibrio va imposto sulla configurazione corrente (finale) L m y L 2 (1.3 z) 2

36 DCL P 981 N F N n ( ) L z k k k L z L z L L z L y z y B A L B A 1.30, , , ), ( (0,1.30) ) ( n n n

37 Equazioni di equilibrio (2 per un punto nel piano) N F F y z 1 k F + N n P z N n y P F N 1 N k k 2 P 0 0 F 1 k k 2 P N P 2500 k 1.30 z L k z m L 1 k F k 2 P N

38 Cosa cambia se si approssima la configurazione finale (incognita) con quella iniziale (nota)? n ( A B) n L A (0,1.30) B (3.00, z) n k , 3.27 L 1.30 z L z , L z ( 0.917, k)

39 Le equazioni di equilibrio diventano F F y z F + N n z 1 N P k F P k N n y P F N N k P 0 0 N F k differenza 1 P 2500 z k P dello 0.44% m N

40 Cavi e pulegge I cavi non hanno una forma propria. Sono caratterizzati solo dalla lunghezza. Sono elementi di dimensione 1 in 0. Inoltre sono sistemi unilateri: possono essere solo in trazione. Complicatissimi!!!

41 Cavi e Pulegge 2 Assumiamo che i Cavi abbiano un peso trascurabile (contrapposto ai cavi pesanti). Per il momento assumiamo che i cavi non possano allungarsi. Essi possono sopportare solo forze di trazione. Le pulegge si suppongono prive di attrito.

42 Cavi e Pulegge 3 Esistono due problemi nella statica dei cavi: determinare la configurazione di equilibrio dei cavi; data una configurazione di equilibrio determinare le forze agenti nei cavi (ha senso se si trascura l estensibilità dei cavi).

43 Esempio di problema del 2 tipo

44 Esempio di problema del 1 tipo

45 A y L A C 1 A x D C 2 C 3 P 1 P 2 P3 d B B y B x x 1 x2 x 3

46 Equilibrio della puleggia 15 cm N

47 15 cm Diagramma di corpo libero del cavo N T 100 N

48 Applichiamo il PLV 100 δ Τ δ 0 per ogni δ Τ 100 Ν δ T δ Un cavo continuo su una puleggia priva di attrito ha una trazione (tiro) costante, diretta sempre nella direzione del cavo. 100 N

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50 M 0 A ( ) ( ) T T 100lb x o 100sin 30 Ax 0 A x F 0 50lb y o Ay 100cos A y F 0 187lb

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54 R T 2P T T 400 N P T P R 2P + T T 800 N P P P P P 3P 600 P 200 N 600 N Un moltiplicatore di forza con vantaggio meccanico pari a 3!

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58 Carrucola con attrito p t (θ) P P P 1 θ θ β P 2 p n (θ) O T 1 T 2 T 1 T 2 p t (θ)rdθ T(θ) dθ T(θ+dθ)

59 ) ( ) ( θ µ θ n t p p Equilibrio alla rotazione intorno al centro ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 µθ θ θ µ θ µ θ θ θ θ θ θ θ + C Exp T T r p r p d dt d r p r d T r T n t t Equilibrio alla traslazione lungo il raggio ( ) n n p r T r d p d d T T + + ) ( 2 sin ) ( ) ( θ θ θ θ θ θ Legge di attrito

60 P P P 1 θ θ β P 2 O T 1 T 2 Si suppone che la cinghia stia per scorrere alla destra del tamburo; La forza di attrito è allora diretta verso sinistra e la trazione è più grande all estremità destra della puleggia. Indicando con T 2 la tensione maggiore, µ s il coefficiente di atttrito statico, e β l angolo (in radianti) sotteso dalla cinghia, le due trazioni sono correlate come segue ln T 2 T 1 µ s β T 2 T 1 e µ s β

61 Problema: Una barca esercita, a causa della risacca, una forza di 200 N sulla corda di ormeggio. Questa viene arrotolata intorno ad una bitta di 40 cm di diametro. Di quanti giri bisogna avvolgere la fune affinché grazie all attrito la forza agente sulla fune si riduca ad 1/100 di quella esercitata dalla barca? Si assuma un coefficiente di attrito µ0.5 µθ 1 T0 T ( θ ) T0 e Tfin θ log µ T θ log rad 1.46 giri fin