1 Equilibrio statico nei corpi deformabili

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1 Equilibrio statico nei corpi deformabili Poiché i materiali reali non possono considerarsi rigidi, dobbiamo immaginare che le forze esterne creino altre forze interne che tendono ad allungare (comprimere) e/o flettere, eventualmente fino alla rottura, il corpo in esame. Consideriamo a livello qualitativo la distribuzione delle forze all interno di un prisma rettangolare appoggiato alle estremità e sottoposto ad una forza esterna (carico) come in figura. l/ l/ La condizione di staticità impone l equilibrio delle forze esterne ovvero e dei momenti esterni ovvero + = =. Confrontando le due equazioni così ottenute si ha = = e con questa scelta la forza totale esterna ed il momento totale esterno sono nulli. Tuttavia non solo il prisma nella sua interezza è in equilibrio, ma anche ogni sua parte. sserviamo dunque il diagramma di corpo libero (BD) di una parte del prisma (tratteggiata in figura) ed esaminiamo le forze che vi agiscono. / /

2 / / ffinché la parte in esame sia in equilibrio, la sezione di prisma alla sua sinistra (con cerchietti in figura) deve esercitare una forza uguale ed opposta a quella esterna ( ). E però necessario imporre l equilibrio anche sul momento: si nota infatti che mentre la forza interna esercita un momento nullo rispetto al punto, la forza esterna esercita invece rispetto allo stesso punto il seguente momento M = =. Perché si abbia equilibrio è necessario dunque supporre l esistenza di un momento interno uguale ed opposto al suddetto. / Momento interno / Quindi in tutti i punti del prisma vi sono forze e momenti interni; essi, per garantire l equilibrio in ogni parte del prisma, devono avere i seguenti andamenti in funzione di. Si noti che il momento interno aumenta orza verticale interna l l/ 0 linearmente in funzione della lunghezza fino a l, poi decresce linearmente fino a zero all estremo sinistro. E possibile anche spiegare la presenza dei momenti osservando che le forze esterne hanno l effetto di piegare il prisma come in figura (ovviamente

3 Momento interno l / 4 l l/ 0 esagerata) la parte superiore risulta in compressione mentre quella inferi- B D / / C ore è in tensione. Sulla superficie di separazione (C) agiscono delle forze che prendono il nome di sollecitazioni-sforzi (stress). Questi agiscono sulla superficie C come indicato in figura, opponendosi alla compressione fra i punti ed ed opponendosi alla trazione fra i punti e C. M C vviamente tale configurazione di forze è una coppia che produce un momento non nullo sul punto. E questo il momento interno il cui andamento è stato precedentemente studiato e poiché deve essere uguale ed opposto al momento esterno si ha la seguente relazione sul suo modulo M =. Per semplificare lo studio della deformazione cui è sottoposto il prisma introduciamo alcune ipotesi. Innanzitutto consideriamo il prisma come composto da un numero infinito di lamelle orizzontali infinitamente sottili; assumiamo inoltre che ognuna di esse agisca indipendentemente dalle altre, supponiamo cioè che non vi siano nè sforzi di taglio nè pressioni laterali fra 3

4 lamelle adiacenti, in modo che ciascuna di esse sia soggetta solo ad una forza assiale (tensione o compressione). Un altra ipotesi semplificatrice è che ogni sezione piana normale all asse del prisma rimanga piana una volta applicato il carico. Infine si suppone di rimanare nell ambito del comportamente elastico del corpo, che valga cioè la legge di Hooke. Consideriamo ora le due sezioni (aa, bb ) del corpo deformato indicate in figura. In seguito all applicazione del carico tali sezioni, pur rimanendo R a b c.n. d f e f a b piane, risultano ruotate una rispetto all altra attorno alla normale all asse cd. Si osservi che questo asse, che divide la parte del corpo in trazione da quella in compressione, è l unico a rimanere indeformato ed e per questo detto asse neutro (a.n.). Indichiamo con la distanza della generica fibra longitudinale ff dall asse neutro. Essa si trova in trazione e possiamo calcolare l allungamento ef osservando che ef = dc (ovviamente prima dell applicazione del carico tutte le fibre hanno la stessa lunghezza dell asse neutro). L allungamento relativo risulta dunque ε = δl L = ef ef = ef cd. Dalla similitudine fra i triangoli isosceli fde e dc si ottiene ε = ef cd = de R = df R = R e, ricordando la legge di Hooke, si calcola lo sforzo (forza per unita di area) = σ = Eε = E R 4

5 dove si è indicato con la sezione trasversale del prisma e con E il modulo di Young dello stesso. Consideriamo ora la stessa sezione rettangolare di cui sopra in prospettiva (vedi figura). Si rappresenta con d l elemento d area infinitesimo alla a.n. Elemento d area distanza dall asse neutro. La forza interna applicata su questo elemento è data da d = σd = E R d ed esercita il seguente momento attorno all asse neutro dm = d = d = E R d. La risultante dei momenti sull intera sezione si ottiene integrando su tutta la sua area. E M = R d. Se indichiamo con I il momento secondo d area I = d otteniamo la seguente formula M = EI R. Dunque il momento flettente agente su ogni sezione del prisma è proporzionale al modulo di Young del corpo e all inverso del raggio di curvatura del prisma stesso. 5

6 . Momento secondo d area Si consideri la seguente sezione del prisma Il momento secondo d area è per d H B definizione I = d = h h. Raggio di curvatura Bd = [ 3 B3 ] h h = 3 B(h3 8 + h3 8 ) = Bh3 Se facciamo l ipotesi che (), la formula del raggio di curvatura R = ( + ( ) ) 3 si riduce a R. lla medesima conclusione, nell approssimazione di piccole deformazioni ( () ), possiamo arrivare osservando, in figura che R B θ + δθ θ + d d d = tgϑ ϑ d d +d = tg(ϑ + dϑ) ϑ + dϑ 6

7 da cui si ottiene dϑ = (ϑ + dϑ) ϑ = d d +d d d. Si ricorda inoltre che, detto ds l arco infinitesimo, ds Rdϑ e, sempre nel caso di piccole curvature, si ha Pertanto ds d. R dϑ ds dϑ d d = d +d + d d d = ( + d) () d = 7