TEORIA DELLE LASTRE SOTTILI

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1 TEORIA DELLE LASTRE SOTTILI Pavimentazioni rigide D( ) = q-kw δ 4 w δ 4 w δ 4 w δx 4 δx 2 δy 2 δy 4 D= EH 3 /(12(1-μ 2 )) : rigidità flessionale della lastra H : spessore della lastra E : modulo elastico del calcestruzzo μ : coefficiente di Poisson q : carico uniformemente ripartito k : modulo di reazione del piano di posa w: abbassamento in un generico punto della lastra

2 Ipotesidicalcolo: FORMULE DI WESTERGAARD - lastra in calcestruzzo è un solido omogeneo, isotropo ed elastico in equilibrio - le reazioni del sottofondo sono verticali e proporzionali alla deformazione w della lastra (sottofondo alla Winkler) -la reazione unitaria del sottofondo è pari a: p=kw - il modulo di reazione k è costante in ogni punto, indipendentemente dal valore dell abbassamento della lastra - il carico al centro ed all angolo della lastra è distribuito uniformemente su un area di contatto circolare; per il carico all angolo la circonferenza dell area di contatto è tangente ai bordi della lastra -il carico al bordo della lastra è distribuito uniformemente su un area semi-circolare con diametro coincidente con il bordo della lastra stessa -nel caso di carico al centro della lastra, si assume che segmenti rettilinei nella lastra si mantengono rettilinei e perpendicolarial piano medio

3 FORMULE DI WESTERGAARD Pavimentazioni rigide σ c =0,275(1+μ)P/h 2 [4log 10 (l/b)+1,069] σ b =0,529(1+0,54μ)P/h 2 [4log 10 (l/b)+0,359] σ a =3P/h 2 [1-(a 2/l) 0,6 ] σ c : massima tensione di trazione sulla faccia inferiore della lastra, direttamente sotto il carico applicato al centro di questa; σ b : massima tensione di trazione sulla faccia inferiore della lastra agente in direzione parallela al bordo, direttamente sotto il carico applicato al bordo; σ a : massima tensione di trazione sulla faccia inferiore della lastra agente in direzione parallela alla bisettrice dell angolo, direttamente sotto il carico applicato all angolo; P : carico totale trasmesso attraverso l area di contatto; h : spessore della lastra a : raggio della superficie di impronta supposta circolare; E : modulo elastico del calcestruzzo; K : modulo di reazione del piano di posa; μ : coefficiente di Poisson. r se r > 1,724 h 3 b = 1,6 r h se r 1,724 h ( E h l = 2 1 μ ) 12 k =raggio di rigidità relativa.

4 Carte di influenza di Pickett e Ray Deflessioni nel punto O Momenti nel punto O Carico al bordo e sottofondo alla Winkler

5 Modelli di calcolo Modello lastra Modello assialsimmetrico Modello piano Modello prismatico Modello tridimensionale

6 Deformazione termica variazione termica giornaliera αδt/2 lastra di dimensioni infinite asse neutro ε x =1 /E (σ x -μσ y ) (1) ε y =1 /E (σ y -μσ x ) (2) αδt/2 Quando la piastra è flessa solo in direzione x ε y =0 e quindi dalla (2) σ y =μσ x Sostituendo nella (1) e risolvendo rispetto a σ x: σ x =E ε x /(1-μ 2 ) Quando la flessione è presente in entrambe le direzioni (caso della deformazione termica), la flessione totale si può ottenere come sovrapposizione delle tensioni in x e in y. ε x = ε y =αδt/2= ε (deformazione sferica) σ=σ x + σ y = σ x + μσ x =(1+ μ) E ε/(1-μ 2 )=(1+ μ) E αδt/2/(1-μ 2 ) =EαΔT/[2(1-μ)]

7 Deformazione termica variazione termica giornaliera

8 Sollecitazione termica variazione termica giornaliera lastra di dimensioni finite sollecitazione termica al bordo della lastra σ= EαΔT 2 C sollecitazione termica al centro della lastra σ= EαΔT 2 (C 1 + μc 2 ) soluzione di Bradbury

9 TEORIA DI EISENMANN variazione termica giornaliera L critico =lunghezza in corrispondenza della quale la freccia della deformata termica è uguale a quella provocata dal peso proprio σ w =EαΔT/[2(1-μ)] L critico = 22,8H(EαΔT) 0,5 lastre quadrate L critico = 20H(EαΔT)0,5 lastre rettangolari σ w =[(L-40)/0,9L critico ] 2 EαΔT/[2(1-μ)]

10 Sollecitazione termica variazione termica stagionale estate: la dilatazione impedita delle lastre produce uno stato di sollecitazione di compressione inverno: la pavimentazione tende a contrarsi e nel calcestruzzo si sviluppano sollecitazioni di trazione dovute all attrito sul piano di posa σ= γ f L 2 armatura Aa= γ f h L 2 σ La sollecitazione più gravosa si manifestaquando la fessurazione si produce a metà lunghezza delle lastre