ESERCIZI DA ESAMI ( ) La diffusione delle tensioni nel terreno. q π. ab zr. abz. q z

Transcript

1 ESECIZI DA ESAMI (996-00) La diffusione delle tensioni nel terreno Eserciio L'area flessibile su semispaio elastico omogeneo e isotropo mostrata in figura è caricata uniformemente. Calcolare e disegnare la tensione verticale indotta in corrispondena del punto A. dati: B = 8 B H = = H/ =.5 m q = 50 kpa H A Soluione Il punto A è di spigolo per due rettangoli di dimensioni B x H/ e corrisponde al centro di metà di un'area circolare di raggio = H/. Si applicano dunque le formule: σ q = π = (b = (a = (a arc tan b ) ) ab ) ab + con a = B = b = H/ = q = 8 m.5 m 50 kpa q = σ + =.5 m /B (m) σ (kpa)

2 σ (kpa) (m) Eserciio Calcolare l'incremento di pressione verticale indotta dall'applicaione del carico q sull'area rettangolare ABCD alla profondità in corrispondena della verticale dei punti A e P. A F c E P b d B G a q (kpa) = 00 (m) = 5 a (m) = 0 b (m) = 5 c (m) = 5 d (m) = 5 D q (kpa) = (m) = a (m) = b (m) = c (m) = d (m) = H 00 kpa 5 m 0 m 5 m 5 m 5 m C

3 Soluione: punto A utiliando la formula relativa al calcolo di σ sotto lo spigolo (Holl, 940): = 5.8 m =.8 m = 8.7 m σ =.78 kpa punto P si procede con la stessa formula per sovrapposiione di effetti: rettangolo a (m) b (m) (m) (m) (m) σ (kpa) AEPF EBGP GCHP HDFP totale 75.0 Eserciio Una fondaione nastriforme di larghea B trasmette alla superficie del terreno una pressione verticale uniforme q. Il terreno di fondaione è sabbia con peso di volume γ e coefficiente di spinta a riposo K 0. La falda freatica coincide con il piano campagna. Determinare lo stato di tensione prima e dopo l'applicaione del carico q nei punti alla profondità situati in asse alla stricia di carico (punto A) e sulla verticale per il bordo (punto B). Per il calcolo della diffusione delle tensioni si utilii la soluione di striscia indefinita di carico verticale uniforme su semispaio elastico omogeneo e isotropo. σ = (q/π) [α + senα cos(α+β)] B σ x = (q/π) [α - senα cos(α+β)] q x σ y = (q/π) ν α τ xy = (q/π) [senα sen(α+β)] β α P B (m) = q (kpa) = 50 γ (kn/m ) = 0 K 0 = 0.6 (m) = γ w (kn/m ) = 9.8 ν = 0. Soluione Lo stato di tensione prima dell'applicaione del carico q è dovuto al solo peso proprio del terreno ed è lo stesso nei punti A e B. Per simmetria le tensioni verticali ed oriontali sono principali. tensione verticale totale: σ = σ v0 = γ Z = 60.0 kpa pressione neutra: u 0 = γ w Z = 9.4 kpa tensione verticale efficace: σ' = σ' v0 = σ v0 - u 0 = 0.6 kpa tensione oriontale efficace: σ' x = σ' y = σ' h0 = K 0 σ' v0 = 8. kpa tensione oriontale totale: σ x = σ y = σ h0 = σ' h0 + u 0 = 47.8 kpa Per un punto P di coordinate (x, y, ) è: (α + β) = arctan[(x + B/) / ] β = arctan[(x - B/) / ] dunque per i punti A e B è:

4 punto x (α + β) β α σ σ x σ y τ xy (m) (rad) (rad) (rad) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) A B Poiché il terreno è sabbia, e dunque molto permeabile, il carico q non induce sovrapressioni neutre. Pertanto lo stato tensionale finale nei punti A e B vale: σ x σ y σ τ xy u = u 0 σ' x σ' y σ' (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) A B Eserciio 4 Su un semispaio continuo elastico omogeneo e isotropo è applicata una pressione verticale uniforme, di intensità p, sull'area rappresentata in figura. Determinare le tensioni verticali indotte alla profondità in corrispondena dei punti: 0,, e, e tracciarne il grafico. y L = 5 m l = p = 00 kpa L l 0 L l p x = x 0 = x = x = x = Soluione: Si procede per sovrapposiione di effetti applicando l'equaione che fornisce la tensione verticale indotta da un'area rettangolare di carico uniforme verticale in corrispondena di uno spigolo. verticale per il punto 0 rettangolo n. segno a b σ verticale per il punto rettangolo n. segno a b σ verticale per il punto rettangolo n. segno a b σ verticale per il punto rettangolo n. segno a b σ m 0m l L l + L 4

5 punto x (m) σ (kpa) σ (kpa) x (m) Eserciio 5 Una fondaione superficiale quadrata di lato L trasmette al terreno una pressione uniforme q. Determinare l'incremento di tensione verticale alla profondità = L in corrispondena dei punti: A (di spigolo), B (al centro di un lato), e C (al centro del quadrato). Confrontare i valori ottenuti con quelli che si otterrebbero assumendo l'intero carico concentrato nel punto C. q (kpa) = 00 L (m) = Soluione: Nel caso di superficie rettangolare di lati (a x b), con carico uniforme q, l'incremento di tensione verticale alla profondità in corrispondena di uno spigolo vale: σ() = (q / π) [arctan( ab / ) + (ab / ) (/ + / )] con: = (b + ) 0.5 = (a + ) 0.5 = (a + b + ) 0.5 procedendo per sovrapposiione di effetti: (m) = 4 punto a b n. A L L B L L/ C L/ L/ 4 punto a b σ() Σ σ() A B C isultante del carico applicato: Q = q L = 4400 kn Incremento di tensione verticale prodotto da un carico concentrato Q in un punto del semispaio alla profondità e alla distana x dalla verticale di applicaione: σ() = Q / π 5 = (x + ) 0.5 punto x (m) (m) σ() (%) A B C

6 Eserciio 6 Determinare la tensione verticale indotta da una pressione uniforme di intensità p, agente su una corona circolare di raggio interno i e raggio esterno e = i, su semispaio elastico omogeneo e isotropo, in corrispondena del centro dell'area di carico alle profondità Z indicate in tabella. p = 50 kpa i = 6 m Z = 0 0,5i i,5i i 5i 0i 0i Soluione La tensione verticale indotta da una pressione uniforme agente su un'area circolare di raggio su semispaio elastico omogeneo e isotropo, in corrispondena del centro alla profondità è data da: σ = p [ - / [ + (r / ) ] / ] La soluione si ottiene sovrapponendo gli effetti. Z/i Z (m) i/z σ /p σ (kpa) Z/i Z (m) i/z σ /p σ (kpa) Z (m) σ (kpa)

7 Eserciio 7 Calcolare e disegnare i grafici delle tensioni indotte da una striscia indefinita di carico uniforme di intensità p e larghea b, agente su un semispaio elastico omogeneo e isotropo, su un piano oriontale alla profondità b. (Calcolare i valori nei punti indicati in figura). b b p x b = m a = b/ p = 00 kpa E = 0 MPa ν = 0.4 a Soluione: Con riferimento alla simbologia di figura, si utiliano le seguenti formule: (gli angoli sono espressi in radianti) b p x σ = (p / π) [α + senα cos(α + δ)] σ x = (p / π) [α - senα cos(α + δ)] σ y = (p / π) (ν α) τ xy = (p / π) senα sen(α + δ) (α + δ) = arctan[(x + b) / ] δ = arctan[(x - b) / ] α δ 7

8 x (m) (m) α + δ δ α σ σ x σ y τ xy tensioni alla profondità b (kpa) sigma- sigma-x sigma-y tau-xy x (m) Eserciio 8 Calcolare e disegnare il profilo delle tensioni verticali indotte in un semispaio elastico omogeneo e isotropo da una pressione uniforme q distribuita su un'area quadrata di lato L in corrispondena delle verticali per il centro e per lo spigolo dell'area fino ad una profondità pari a 5L. L = q = m 50 kpa Soluione: Si applica l'equaione per il calcolo della tensione in corrispondena di uno spigolo di un'area a x b.: σ q = arc tan π = (b = (a = (a b ) ) ab ) 0.5 ab + + 8

9 per il centro 4 quadrati di lato L/ per lo spigolo quadrato di lato L n = 4 n = a = L/ = a = L = b = L/ = b = L = verticale per il centro verticale per lo spigolo /L (m) = σ (kpa) = σ (kpa) σ v (kpa) (m) 6 8 centro spigolo 0 9

10 Eserciio 9 Determinare la pressione verticale indotta alla profondità Z in corrispondena dei punti a, b, c, d, e, f da un carico uniformemente distribuito di intensità q sull'area indicata in figura. a L b c L / L (m) = 0 Z (m) = 0 q (kpa) = 00 L b e e d L / cc L / d L / f Soluione: Si procede per sovrapposiione di effetti utiliando la relaione con la quale si calcola la pressione indotta da una superficie rettangolare (bxl) uniformemente caricata alla profondità in corrispondena di uno spigolo: rettangolo dimens. l (m) b (m) (m) (m) (m) σ v /q r (L x L) r (L x L/) r (L/ x L/) l b I rett. L x L/ rett. L x L rett. L/ x L/ punto σ v (kpa) a r - r 48.5 b r + r c r - r + r 46.8 d r - r 48.5 e r 9.40 f r - r 5.65 q lb lb σ v = arc tan + + π = l + = b + = l + b + Eserciio 0 Un serbatoio cilindrico di raggio trasmette alla superficie del terreno una pressione verticale uniforme di intensità p. Il terreno di fondaione è costituito da sabbia medio fine N.C. avente peso di volume saturo γ e angolo di resistena al taglio φ'. La falda è a piano campagna. Determinare le tensioni totali ed efficaci, verticali e oriontali, prima e dopo la costruione del 0

11 serbatoio nei punti sulla verticale del centro e del perimetro dell'area di carico alle profondità relative indicate in tabella e tracciarne i profili. Per il calcolo degli incrementi di tensione si utiliino le seguenti (m) = 0 equaioni valide per semispaio elastico omogeneo e isotropo. p (kpa) = 00 σ = p I (coordinate cilindriche) γ (kn/m ) = 0. σ r = p I r φ' ( ) = 5 σ θ = p I θ γ w (kn/m ) 0 I valori dei coefficienti I, I r e I θ sono i seguenti (per µ = 0.5). centro bordo centro bordo centro bordo / I I I r I r I θ I θ Soluione: K 0 = ( - sen φ') = 0.46 γ' (kn/m ) = γ - γ w = 0. tensioni geostatiche: incrementi di tensione efficace: tensioni finali: σ v0 = γ σ' v = σ u = u 0 u 0 = γ w σ' hr = σ r σ' v = σ' v0 + σ' v σ' v0 = γ' = σ v0 - u o σ' hθ = σ θ σ' h = σ' h0 + σ' h σ' h0 = K 0 σ' v0 sulla verticale per il centro: σ v = σ' v + u σ h0 = σ' h0 + u 0 σ' hr = σ' hθ σ h = σ' h + u Le lunghee sono espresse in metri e le tensioni in kpa. Tensioni iniiali / σ v0 u 0 = u σ' v0 σ' h0 σ h Incrementi di tensione e tensioni finali al centro / σ' v σ' hr = σ' hθ σ' v σ' h σ v σ h Incrementi di tensione al centro Tensioni finali al centro

12 0 Incrementi di tensione al centro Tensioni finali al centro [m] [m] sv u s'v s'h sh -0-5 Ds'v Ds'h σ -45 σ, σ', u 0 incrementi di tensione al bordo tensioni finali al bordo [m] [m] sv u s'v s'hr s'hq shr shq Ds'v Ds'hr Ds'hq σ, σ', u σ, σ', u Eserciio Una fondaione a base rettangolare (6m x 4m) trasmette al terreno sottostante una pressione verticale uniforme di intensità p = 50 kpa. Il terreno sottostante è costitutito da uno strato di sabbie mediamente addensate NC (γ = 9. kn/m ; ϕ = 4 ) di spessore H = 6 m, seguito da uno strato di sabbie moltoaddensate NC (γ = 0. kn/m ; ϕ = 4 ). La falda è a m dal piano di campagna. Determinare in corrispondena del centro della fondaione e di uno spigolo, l'andamento con la profondità delle tensioni verticali ed oriontali, totali ed efficaci, in assena e in presena della fondaione e disegnarne i profili.

13 Per il calcolo dell'incremento delle tensioni verticali ed oriontali in corrispondena dello spigolo della fondaione si utiliino le formule di Steinbrenner: p LB LB σ y = arctan + + π L p LB LB σ = x arctan π B p LB LB O x σ = arctan y π con: = L + = L + B + L (m) = 6 B (m) = 4 p (kpa) = 50 γ (kn/m ) =9. ϕ ( ) = 4 γ (kn/m ) =0. ϕ ( ) = 4 Ζ w (m) = γ w (kn/m ) 0 = B + P Soluione: Calcolo di σ allo spigolo della fondaione [m] [m ] [m ] [m] σ v σ x σ y

14 al centro della fondaione L/ (m)= B/ (m)= σ = 4 σ i [m] [m ] [m ] [m] σ vi σ xi σ yi [m] σ v σ x σ y K 0 = ( - sen φ ') = 0.59 K 0 = ( - sen φ ') = 0.44 γ ' (kn/m ) = γ - γ w = 9. γ ' (kn/m ) = γ - γ w = 0. tensioni geostatiche: incrementi di tensione efficace: tensioni finali: σ v0 = γ σ' v = σv u = u 0 u 0 = γ w σ' hx = σx σ' v = σ' v0 + σ' v σ' v0 = γ' = σ v0 - u o σ' hy = σy σ' hx = σ' h0 + σ' hx σ' h0 = K 0 σ' v0 σ' hy = σ' h0 + σ' hy σ h0 = σ' h0 + u 0 σ v = σ' v + u Tensioni geostatiche iniiali (kpa) σ hx = σ' hx + u σ v0 u 0 = u σ' v0 σ' h0 σ h0 σ hy = σ' hy + u

15 Tensioni finali allo spigolo (kpa) σ' v σ' hx σ' hy σ v σ hx σ hy Tensioni finali al centro (kpa) σ' v σ' hx σ' hy σ v σ hx σ hy Tensioni geostatiche iniiali (kpa) sv0 u0 s'v0 4 s'h0 sh0 Tensioni finali allo spigolo (kpa) sv0 4 s'v0 s'hx shx s'hy shy Z (m) 5 6 Z (m)

16 Z (m) Tensioni finali al centro 0 50 (kpa) sv0 s'v0 s'hx shx 4 s'hy shy