Scuola di Architettura Corso di Laurea Magistrale quinquennale c.u.

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1 Scuola di Architettura Corso di Laurea Magistrale quinquennale c.u.

2 Sommario Si analia il problema del solido di de Saint Venant sollecitato a taglio. Come si vedrà meglio nel seguito, la sollecitaione tagliante è associata a quella flessionale. La risoluione esatta del problema di de Saint Venant in esame non è immediata e non rientra negli scopi del presente corso. De Saint Venant ha pubblicato la soluione del problema in esame nella memoria del 1856 (Journal de Mathématiques), dove ha tra l altro osservato che in presena di sollecitaioni taglianti cade l ipotesi di conservaione delle seioni piane. Nel seguito verrà descritta una trattaione (dovuta a Jourawsk) che, seppur approssimata, è rispettosa delle equaioni di equilibrio e fornisce risultati in genere accettabili nelle normali applicaioni strutturali. Al fine di introdurre il problema in esame, prima di effettuare una trattaione analitica del problema saranno descritti degli esempi che possono anche essere facilmente verificati sperimentalmente.

3 Introduione Si consideri un asta incastrata ad un estremo e sollecitata, in corrispondena dell altro estremo, da un momento parallelo all asse, principale d ineria delle seioni trasversali della trave. A B M

4 Introduione M A B M È immediato verificare che il sistema in esame è isostatico e che, per l equilibrio globale, l incastro reagisce solo con una coppia uguale ed opposta a quella applicata: l asta in esame è allora caricata da due coppie di estremità, tali che l asse momento coincida con un asse principale d ineria delle seioni trasversali. L unica sollecitaione non nulla presente nella trave in esame è un momento flettente costante M M M M

5 Introduione La trave in esame è allora sollecitata da una flessione retta costante. Per quanto ottenuto in relaione al problema della flessione retta, l asse della trave si deforma secondo una curva (parabolica) approssimabile con un arco di circonferena di raggio EI M M A M B M M Inoltre le seioni trasversali si mantengono piane e quindi le fibre longitudinali si deformano secondo archi di circonferena concentrici: se la trave fosse costituita da elementi paralleli alla linea d asse (es. tavole di legno non incollate tra loro), questi si deformerebbero secondo archi concentrici e non avrebbero scorrimenti relativi nella direione dell asse (g =0).

6 Introduione Consideriamo adesso una trave incastrata ad un estremo e sollecitata da una fora parallela all asse applicata in corrispondena dell estremo libero. È facile verificare che le reaioni dell incastro sono quelle indicate in figura. Le caratteristiche della sollecitaione presenti nella trave sono date dalle seguenti relaioni (si riportano solo i termini non nulli) P L T T l P P B M l 0 M L T PL T M L P P La trave è allora sollecitata da una flessione retta avente andamento lineare e da una sollecitaione tagliante costante. Come si vedrà meglio nelle prossime slide, il taglio è sempre associato alla flessione.

7 Introduione P L P T M L P B P È facile verificare che in questo caso (ossia quando oltre ad un momento flettente è presente anche una sollecitaione tagliante), se la trave fosse costituita da elementi paralleli alla linea d asse questi avrebbero degli scorrimenti relativi in corrispondena delle superfici di contatto come indicato in figura. L allievo può verificare quanto è stato detto effettuando un semplice esperimento su una trave realiata sovrapponendo degli elementi flessibili come ad esempio dei righelli di plastica per disegno. Visto che gli scorrimenti di cui parliamo non sono presenti in una trave semplicemente inflessa, essi devono essere dovuti alla sollecitaione tagliante.

8 Introduione P Ovviamente, se la trave in esame è monolitica, non si hanno gli spostamenti relativi descritti nella precedente slide, ma esiste in ogni caso, nei punti materiali del solido, la tendena agli scorrimenti indotti dalla sollecitaione tagliante. In particolare, per la simmetria del tensore di deformaione e del tensore di tensione, nei punti materiali del solido, a causa della sollecitaione tagliante descritta in queste slide, si avranno degli scorrimenti angolari (e quindi delle tensioni tangeniali) sia in corrispondena di piani paralleli alla linea d asse, sia in corrispondena di piani contenenti la seione trasversale.

9 La trattaione di Jourawsk A questo punto procediamo alla descriione della trattaione di Jourawsk per la stima delle tensioni tangeniali (e degli scorrimenti angolari) presenti in una trave sollecitata a taglio. Come si è detto tale teoria è approssimata, ma fornisce risultati accettabili per le particolari applicaioni ingegneristiche. Nelle normali applicaioni strutturali infatti, le tensioni (e gli scorrimenti angolari) dovuti al taglio sono in genere di entità modesta rispetto a quelle indotte dalle altre caratteristiche della sollecitaione e una loro valutaione approssimata è in genere accettabile nella pratica tecnica.

10 Dmitrij Ivanovič Žuravskij N. Oblast' di Kursk, 17 dicembre 181 M. San Pietroburgo, 30 novembre 1891 ingegnere fortemente impegnato nella sua professione diplomato nel 184 presso l Istituto di ingegneria delle vie di comunicaione di San Pietroburgo (iniialmente di scuola francese, ma a quel tempo già affidato a studiosi russi) 184: assegnato al progetto della ferrovia tra San Pietroburgo e Mosca 1844: gli fu affidato il progetto dell opera più importante della linea, il ponte sul fiume Werebia; durante la costruione di questo ponte dovette utiliare travi lignee, scarsamente resistenti a taglio nella direione parallela alle fibre, e si rese quindi conto dell importana della sollecitaione tangeniale e della necessità di non trascurarne gli effetti; Jouravsk sviluppò la sua trattaione prima che de Saint-Venant fornisse la soluione esatta; lo stesso de Saint Venant ha riconosciuto il valore della trattaione di Jouravsk, utiliata ancora oggi nella pratica tecnica

11 0 M 0 N 0 M La trattaione di Jourawsk 0 T 0 M 0 T l l T l M l M l T l M l N Si consideri un asta sollecitata solo in corrispondena delle basi. La più generale condiione di carico è in questo caso quella indicata in figura. Vogliamo determinare le aioni di estremità presenti in un asta sollecitata da aioni taglianti. Le fore indicate in figura devono soddisfare le equaioni di equilibrio globale (SV7) riportate di seguito Gli effetti delle aioni assiali e torcenti sono stati analiati nelle precedenti leioni e possono essere ipotiati nulli sena violare le precedenti equaioni di equilibrio. Dalle equaioni di equilibrio alla rotaione attorno agli assi ed si evince invece che la presena delle aioni taglianti T e T implica anche la presena di momenti M ed M. N l N 0 N M T l T 0 M T l T T l T 0 T l 0 l 0 0 l 0 0 M M M M l T (SV7)

12 La trattaione di Jourawsk 0 M T 0 M T l T l M l M T In generale, allora, in una trave sollecitata da aioni taglianti di estremità sono anche presenti delle aioni flettenti che devono soddisfare le seguenti equaioni di equilibrio globale T l T 0 T T l T 0 T l 0 0 l 0 0 M M l T M M l T A tali aioni corrispondono le seguenti caratteristiche della sollecitaione (SV7.) T T T N 0 T M 0 M M T M M T Si ricorda che, per ipotesi, gli assi ed del sistema di riferimento considerato sono paralleli agli assi principali d ineria della seione trasversale (costante). (86) (87)

13 La trattaione di Jourawsk 0 M T 0 M T l T l M l M T Dalle (87) si evince che alla sollecitaione tagliante T è associato un momento flettente M mentre alla sollecitaione tagliante T è associato un momento flettente M. I due problemi sono allora disaccoppiati e, per il principio di sovrapposiione degli effetti, possono essere analiati separatamente in quanto l effetto della presena contemporanea delle due componenti taglianti è uguale alla somma degli effetti prodotti dalle singole componenti taglianti considerate separatamente.

14 0 M La trattaione di Jourawsk T l T l M Consideriamo allora, sena perdere di generalità, una trave sollecitata da due fore di estremità uguali ed opposte, di modulo T, parallele all asse come indicato in figura. Per le (86), sulle basi della trave in esame devono anche essere presenti delle coppie agenti sul piano tali che l 0 M M l T Inoltre, per le (87), le caratteristiche della sollecitaione presenti in una generica seione trasversale, il cui baricentro ha ascissa, sono pari a M T T M (88) 0 T La trave in esame è allora sollecitata da un taglio T costante e da una flessione (retta) M variabile linearmente lungo l asse.

15 La trattaione di Jourawsk M T d T M T d Consideriamo adesso due seioni trasversali poste a distana infinitesima: la prima avente ascissa, la seconda avente ascissa +d come indicato in figura. Le caratteristiche della sollecitaione presenti in tali seioni si calcolano dalla (88) come segue T M T d T M 0 T (89) M 0 d M T T d M T d La tensione normale s presente nei punti materiali delle seioni in esame si calcola mediante la formula di Navier (8) come segue s, M I σ + d, = M I + T I d = σ, + T I d (90)

16 La trattaione di Jourawsk d In figura è riportato un ingrandimento del tratto di trave (di lunghea infinitesima) in esame.

17 La trattaione di Jourawsk d Consideriamo un insieme di punti, sulla faccia di normale +, allineati secondo un segmento comunque inclinato (e quindi non necessariamente parallelo ad uno degli assi principali della seione e non necessariamente passante per il baricentro). Possiamo immaginare che, a causa della sollecitaione tagliante, oltre alla tensioni normali su tali punti possono essere presenti anche delle tensioni tangeniali.

18 La trattaione di Jourawsk r t r d t s s Consideriamo un insieme di punti, sulla faccia di normale +, allineati secondo un segmento comunque inclinato (e quindi non necessariamente parallelo ad uno degli assi principali della seione e non necessariamente passante per il baricentro). Possiamo immaginare che, a causa della sollecitaione tagliante, oltre alla tensioni normali su tali punti possono essere presenti anche delle tensioni tangeniali. Introduciamo i due assi r ed s, ortogonali tra loro, indicati in figura. In un generico punto della corda in esame potranno allora essere presenti due componenti di tensione tangeniale t r e t s.

19 La trattaione di Jourawsk d Consideriamo per ora solo le componenti di tensione t s ortogonali alla corda in esame. s r t s

20 La trattaione di Jourawsk d t s s Consideriamo per ora solo le componenti di tensione t s ortogonali alla corda in esame. In generale tale componente di tensione può essere variabile sulla corda, ad esempio come indicato in figura. Attraverso la teoria che stiamo descrivendo non siamo in grado di determinare l effettivo valore delle componenti di tensione tangeniale presenti in un punto materiale, r

21 La trattaione di Jourawsk r b d t s s Consideriamo per ora solo le componenti di tensione t s ortogonali alla corda in esame. In generale tale componente di tensione può essere variabile sulla corda, ad esempio come indicato in figura. Attraverso la teoria che stiamo descrivendo non siamo in grado di determinare l effettivo valore delle componenti di tensione tangeniale presenti in un punto materiale, ma solo il valore medio della componente di tensione t s presente in un insieme di punti allineati definito come segue: t s b 1 t dr b 0 s (91) dove b rappresenta la lunghea della corda in esame.

22 La trattaione di Jourawsk b d Immaginiamo di separare il concio di trave in esame in due parti attraverso un piano parallelo all asse e contenente la corda in esame come indicato in figura. Indichiamo con W il piano di seione ed introduciamo l asse t, parallelo all asse ed avente origine in corrispondena dell interseione tra gli assi r ed s come indicato in figura. t t s W s r

23 La trattaione di Jourawsk d Per la simmetria del tensore di tensione, in corrispondena dei punti materiali appartenenti alla corda in esame sono presenti anche delle tensioni t s = t s paralleli all asse e ortogonali alla corda come indicato in figura. b t t s t s W s r

24 La trattaione di Jourawsk W F t b d t s t s s Per la simmetria del tensore di tensione, in corrispondena dei punti materiali appartenenti alla corda in esame sono presenti anche delle tensioni t s = t s paralleli all asse e ortogonali alla corda come indicato in figura. Ricordando che sul tratto di trave in esame è presente una sollecitaione tagliante costante (t s è indipendente da ) ed utiliando la (91), il modulo della risultante di tali tensioni agenti sulla faccia W si calcola come segue: F t dw d b s W 0 0 t dr dt t b d s s (9) r

25 La trattaione di Jourawsk R 1 W A 1 r t b F t sb d A d R s Indichiamo con A 1 e con A rispettivamente le porioni di seione trasversale che si trovano al di sopra ed al di sotto della corda. Utiliando le (90), il modulo della risultante delle tensioni normali s presenti sulle due facce di area A di normale + e si calcola come segue M R1 s, da da I A M T R s d, da da d I A I A Osservando che da rappresenta il A A (93) momento statico dell area A rispetto A all asse, che si indica con S, la seconda delle (93) diventa A TS R R1 d I (94) A da

26 La trattaione di Jourawsk d Dall equilibrio alla traslaione nella direione della porione di trave in esame si ottiene A TS R1 F R 0 t sbd d I t s TS bi A (95) A 1 b Ricordando che l asse è baricentrico si ha t S 0 S A A A A 1 S 0 S S 1 R 1 W r F t sb d A R s e pertanto la (95) si può scrivere indifferentemente nelle due seguenti forme: A A 1 T S T S t s (96) bi bi

27 La trattaione di Jourawsk b r A A 1 T S T S A 1 d t s s t s (96) bi bi A La (96) è nota con il nome di formula di Jourawsk e permette di determinare il valore medio delle componenti di tensione tangeniale presenti in punti di una seione trasversale allineati su una generica corda. La direione della componente di tensione tangeniale determinata attraverso la (96) è quella ortogonale alla corda in esame. Per come è stata determinata, se dalla (96) si ottengono valori positivi, allora la tensione tangeniale media è entrante nella porione di seione trasversale che è stata considerata per il calcolo del momento statico nella formula di Jourawsk.

28 La trattaione di Jourawsk b A 1 d t s s Assumendo per il materiale un comportamento elastico lineare isotropo, dalla (96) è possibile determinare gli scorrimenti angolari medi come segue 1 T S A A 1 T S 1 g s (97) G bi G bi A r A A 1 T S T S t s (96) bi bi

29 Aste sollecitate da taglio (e momento) Osservaioni sulla trattaione approssimata di Jourawsk

30 La trattaione di Jourawsk: osservaione 1 r A 1 T A t s s Consideriamo una generica seione trasversale della trave in esame. Le tensioni tangeniali medie calcolate attraverso la formula di Jourawsk palesemente non soddisfano le condiioni di equilibrio sul mantello che impongono che, in corrispondena del bordo di una seione, la risultante delle tensioni tangeniali sia tangente al contorno (v. SV3). Assumendo valida allora la soluione di Jourawsk, in una generica corda possono essere presenti delle tensioni t r che devono essere tali da soddisfare l equaione di equilibrio al contorno (SV3) e le equaioni indefinite di equilibrio (SV1).

31 La trattaione di Jourawsk: osservaione 1 A 1 A T b / b / t Consideriamo ad esempio una seione dotata di un asse di simmetria e caricata da una sollecitaione tagliante parallela a tale asse. La tensione tangeniale media presente su una generica corda ortogonale all asse di simmetria si calcola attraverso la formula di Jourawsk come segue A A t 1 TS TS bi bi Affinché sia soddisfatta la condiione di equilibrio al contorno (SV3), in corrispondena degli estremi della corda in esame deve essere presente una tensione tangeniale t pari a = angolo compreso tra la corda e la tangente al contorno nei punti t b /, t / tan estremi della corda (98) t b, t / tan /

32 La trattaione di Jourawsk: osservaione 1 A 1 T b / b / In virtù della formula di Navier (8) e della formula di Jourawsk (96), le tensioni s e t sono indipendenti dalla e quindi, dalla tera delle (SV1) si ottiene t t s t 0 A t Ne consegue che le tensioni tangeniali t variano linearmente con sulla corda. Visto che devono soddisfare le (98) la loro espressione è la seguente t t b tan (99) Con un procedimento analogo si dimostra che, su una corda comunque inclinata si ha che le componenti di tensione tangeniale parallele alla corda variano con legge parabolica.

33 La trattaione di Jourawsk: osservaione n M A 1 A T b / b / n t Consideriamo una trave sollecitata da una aione tagliante T parallela ad un asse principale d ineria della seione trasversale come indicato in figura. Ad essa è associata una flessione retta per la quale l asse neutro coincide con l asse (baricentrico). Il valore delle tensioni tangeniali medie t presenti in una corda ortogonale alla direione del taglio si calcola dalla (96) come segue: t s TS b A1 I Tale valore dipende dall ascissa della corda in esame attraverso la lunghea della corda b() ed il momento statico. La massima tensione tangeniale si ha in corrispondena dell ascissa tale che A1 A1 t s 1 S S b 0 0 b b

34 La trattaione di Jourawsk: osservaione n M A 1 b / T t n 3 T t ma A t Per seioni trasversali aventi larghea della corda costante, anche a tratti, come ad esempio per le seioni rettangolari, a T, a doppio T, a C, etc., la precedente relaione si semplifica come segue: t s A1 S 0 A e quindi la massima tensione tangeniale si ha in corrispondena della corda rispetto alla quale risulta massimo il momento statico, ossia la corda baricentrica. Visto che stiamo considerando solo corde parallele all asse momento, tale corda è quella per cui passa l asse neutro. Come si vedrà successivamente, per una seione rettangolare sollecitata come in figura la tensione t presente in una corda ortogonale alla direione dell aione tagliante ha andamento parabolico rispetto a e presenta il valore massimo in corrispondena dell asse neutro, in accordo con la (100). 0 (100)

35 La trattaione di Jourawsk: osservaione 3 b A 1 d A t s s La teoria di Jourawsk si basa esclusivamente su consideraioni di equilibrio. Dalla sua applicaione è possibile ottenere solamente informaioni pariali (ossia valori medi di tensione tangeniale) che sono comunque utili soprattutto nei casi in cui le tensioni tangeniali realmente presenti sui punti appartenenti ad una corda non differiscono troppo dal valore medio. r A A 1 T S T S t s (96) bi bi 1 T S A A 1 T S g s (97) G bi G bi 1

36 La trattaione di Jourawsk: osservaione 3 b 1 b T Consideriamo ad esempio le due seioni trasversali riportate in figura. Esse presentano un rapporto di forma palesemente differente tra loro. h 1 T h

37 La trattaione di Jourawsk: osservaione 3 h 1 b 1 T b T h Consideriamo ad esempio le due seioni trasversali riportate in figura. Esse presentano un rapporto di forma palesemente differente tra loro. La soluione esatta del problema elastico fornirebbe, in corrispondena della corda baricentrica ortogonale alla direione della sollecitaione tagliante, dei valori di tensione tangeniale del tipo di quelli diagrammati in figura. È evidente quindi che, per una seione rettangolare, la soluione di Jourawsk approssima tanto meglio la soluione esatta quanto maggiore risulta il rapporto h/b. In questo caso, infatti, le tensioni effettive tendono a non discostarsi molto dal loro valore medio.

38 Scuola di Architettura Corso di Laurea: Magistrale Architettura c.u. Tensioni tangeniali in una seione rettangolare

39 Eserciio: aste a seione trasversale rettangolare La mensola in acciaio rappresentata in figura ha seione trasversale rettangolare. A B b 10mm L 1m P kn h 100mm Si determinino le tensioni normali e tangeniali presenti nella seione maggiormente sollecitata.

40 Calcolo delle caratteristiche della sollecitaione P L PA T M L 1m B P kn P I diagrammi delle caratteristiche della sollecitaione per la trave in esame sono quelli riportati in figura. È evidente allora che la seione maggiormente sollecitata è quella d incastro, nella quale sono presenti le seguenti caratteristiche della sollecitaione: T P kn M P L knm M knm T kn

41 Tensioni normali dovute alla flessione retta M knm I W 1 1 bh mm I h W M s s 10MPa ma min W 4 mm 3 Per il principio di sovrapposiione degli effetti possiamo considerare separatamente, per poi sommarli, gli effetti dovuti al momento flettente ed al taglio. Come si è visto, il momento flettente produce delle tensioni normali che si determinano attraverso la formula di Navier M s I Il diagramma delle tensioni normali ed i relativi valori massimi sono riportati in figura. L asse neutro coincide con l asse.

42 b 10mm h 100mm Tensioni tangeniali su una corda ortogonale al carico h / h / T kn A 1 A b T 000N b 10mm Le tensioni tangeniali medie prodotte dalla sollecitaione tagliante si calcolano con la formula di Jourawsk (96) t A A 1 TS TS bi bi Consideriamo delle corde ortogonali alla sollecitaione tagliante. Tali corde sono individuate dall ascissa (che deve ovviamente essere compresa tra h/ ed h/) e suddividono la seione nelle due parti A 1 ed A. I termini costanti contenuti nella formula di Jourawsk sono i seguenti: I 1 bh mm Per l esempio in esame, l unico termine variabile è il momento statico che si calcola come segue: h h bh 4 S A 1 b 4 8 h 4

43 Tensioni tangeniali su una corda ortogonale al carico b 10mm h 100mm h / h / T kn A 1 A L espressione delle tensioni tangeniali assume allora la seguente forma T S bi 3 T 1 4 A h A t t Nell ambito di analisi della seione in figura, ossia per h/ h/, la precedente relaione fornirebbe valori sempre positivi per una sollecitaione tagliante positiva. b

44 b 10mm h 100mm Tensioni tangeniali su una corda ortogonale al carico h / h / T kn A 1 A b t L espressione delle tensioni tangeniali assume allora la seguente forma t Nell ambito di analisi della seione in figura, ossia per h/ h/, la precedente relaione fornirebbe valori sempre positivi per una sollecitaione tagliante positiva. Per il particolare caso in esame però, la sollecitaione tagliante è negativa e quindi dalla precedente relaione si ottengono valori di tensione tangeniale media negativa e quindi uscente dall area A utiliata per il calcolo del momento statico. T S bi 3 T 1 4 A h A t

45 b 10mm h 100mm Tensioni tangeniali su una corda ortogonale al carico h / h / T kn A 1 A b t 3 T t ma A t L espressione delle tensioni tangeniali assume allora la seguente forma t Nell ambito di analisi della seione in figura, ossia per h/ h/, la precedente relaione fornirebbe valori sempre positivi per una sollecitaione tagliante positiva. Per il particolare caso in esame però, la sollecitaione tagliante è negativa e quindi dalla precedente relaione si ottengono valori di tensione tangeniale media negativa e quindi uscente dall area A utiliata per il calcolo del momento statico. L andamento di tali tensioni è parabolico e presenta valori nulli in corrispondena dei bordi superiore ed inferiore e valore massimo in corrispondena della corda baricentrica per la quale passa l asse neutro relativo alla sollecitaione flessionale associata alla sollecitaione tagliante in esame. Il valore della tensione tangeniale massima è pari a 3 T t 3MPa ma A T S bi 3 T 1 4 A h A t

46 Tensioni tangeniali su una corda ortogonale al carico b 10mm h 100mm h / h / T kn A 1 A b t 3 T t ma A t OSSERVAZIONE: le componenti di tensione tangeniale nella direione parallela alla corda esaminata nell esempio in figura sono identicamente nulle. Tali componenti di tensione si calcolano attraverso la (99) come segue t t b tan Per ogni corda esaminata si ha / e quindi dalla precedente relaione si ottiene t 0

47 Scuola di Architettura Corso di Laurea: Magistrale Architettura c.u. Tensioni tangeniali in una seione a T

48 Eserciio proposto: aste a seione trasversale a "T" a a a a T G Per la seione schematiata in figura si determini l andamento delle tensioni tangeniali medie presenti in una corda ortogonale alla direione della sollecitaione tagliante. 4a a 10mm T 5kN Si suggerisce di svolgere il presente eserciio secondo il seguente schema: 1. calcolo della posiione del baricentro della seione e verifica che gli assi ed sono principali d ineria;. visto che la lunghea delle corde da considerare è costante a tratti (sull ala e sull anima) si calcolino le tensioni tangeniali utiliando, nei singoli tratti, lo stesso procedimento seguito per la seione rettangolare.