richiami di Scienza delle Costruzioni

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1 Costruioni Aerospaiali richiami di Sciena delle Costruioni

2 Impostaione del problema elastico Risolvere un problema di elasticità comporta la determinaione di complessive 15 incognite: a) tre incognite del vettore spostamento {S}; b) sei incognite del tensore delle deformaioni [E]; c) sei incognite del tensore degli sfori [Σ]. Si hanno a disposiione le 15 relaioni: 1) le sei relaioni cinematiche ; ) le tre equaioni di equilibrio alla traslaione con relative condiioni al contorno ; 3) le sei relaioni costitutive.

3 Nessun gruppo delle relaioni 1), ), 3) è tale da contenere singolarmente un numero di incognite pari al numero di relaioni, per cui a prima vista si ha un sistema accoppiato di 15 equaioni in 15 incognite. Per semplificare il problema si può tentare di isolare un certo numero di equaioni in un pari numero di incognite. Risolto questo primo gruppo di equaioni, si passa a risolvere un altro gruppo di equaioni in un pari numero di incognite e così via. Possiamo sinteticamente indicare questo modo di procedere come risolvere per risalita il sistema iniiale.

4 A) Metodo degli spostamenti A) Metodo degli spostamenti, è quello nel quale sono gli spostamenti le prime incognite del processo di risalita. Delle relaioni a disposiione il gruppo meno numeroso è quello delle tre equaioni di equilibrio che però è nelle sei incognite componenti del tensore degli sfori. Esprimendo queste ultime componenti, prima in termini di deformaioni (attraverso i legami costitutivi) e poi in termini di spostamenti (attraverso le relaioni cinematiche), è possibile scrivere le tre equaioni di equilibrio e relative condiioni al contorno in termini delle tre componenti di spostamento. Una volta determinati gli spostamenti è possibile per risalita, attraverso le relaioni cinematiche e costitutive, ricavare tutte le quindici incognite.

5 B) Il metodo degli sfori B) Il metodo degli sfori, è quello nel quale sono gli sfori le prime incognite del processo di risalita. Si utiliano ancora le tre equaioni di equilibrio, che sono però insufficienti per trovare le sei componenti univoche degli sfori. Dal punto di vista teorico si potrebbero assumere arbitrariamente tre componenti degli sfori e ricavare le tre rimanenti componenti dalle equaioni di equilibrio. Noti gli sfori, dai legami costitutivi si hanno le deformaioni ma, al momento di ricavare gli spostamenti non c è garania circa la loro continuità ed unicità. Garania che si può avere se gli sfori, oltre che soddisfare l equilibrio, garantiscono i necessari requisiti sulle deformaioni. Questo può essere fatto ricorrendo alle equaioni di compatibilità.

6 Unicità della soluione 1) Determinare sfori e deformaioni quando sono note: le fore corpo b, b, b ; le fore di superficie f *, f *, f * su tutto il contorno S. Metodo degli sfori: equ. di equilibrio con le c.c + equ. di compatibilità. ) Determinare sfori e deformaioni quando sono note: le fore corpo b, b, b ; gli spostamenti u*,v*,w* su tutto il contorno S. Metodo degli spostamenti: equ. di equilibrio con le c.c.. 3) Determinare sfori e deformaioni quando sono note: le fore corpo b, b, b ; Tipologia di problemi le fore di superficie f *, f *, f * sulla parte di contorno S1; gli spostamenti u*,v*,w* sulla parte del contorno S. Per tutti tali problemi di condiioni al contorno si dimostra, in campo lineare, l esistena e l unicità del tensore degli sfori e delle deformaioni. Per i due ultimi problemi, gli spostamenti sono determinati univocamente dal momento che sono assegnati almeno su una parte del contorno.

7 Il metodo inverso e semi inverso A)-Metodo inverso: si scelgono le funioni incognite con l unico requisito di soddisfare le equaioni differeniali nel campo; si trovano poi le fore e/o gli spostamenti da assegnare al contorno perché anche queste risultino soddisfatte. In altri termini si sceglie la soluione e si trova il problema che la soddisfa. B)-Metodo semi-inverso: l esperiena ed i risultati del metodo inverso consentono di intuire il campo di spostamenti e/o di sfori del problema. Su tale base si esprimono spostamenti e/o sfori in termini di funioni e/o coefficienti incogniti che vengono poi trovati in modo da soddisfare tutte le condiioni del problema.

8 Principio di Saint Venant Se su una superficie dove agisce una distribuione di fore viene applicata una diversa distribuione di fore, gli effetti delle due distinte distribuioni sono essenialmente gli stessi se: a) si considerano regioni del corpo sufficientemente distanti dalla regione in cui si è effettuata la sostituione; b) le due distribuioni di fore risultano staticamente equivalenti (in termini di fora risultante e momento risultante)

9 Stati Bidimesionali A)-Deformaione piana B)-Sollecitaione piana

10 Stati bidimensionali A)-Deformaione piana. Se risulta nulla (o costante) la componente di spostamento in una direione. In particolare si consideri il cilindro di figura di generatrici parallele all asse con le facce estreme piane e parallele al piano. Si assume: sulla superficie cilindrica sono applicate delle fore di superficie T indipendenti da con componenti sono solo nel piano ; eventuali fore di volume B sono anche loro indipendenti dalla con componenti solo nel piano. u u(, ) ; v v(, ) ; w

11 segue-deformaione piana. Relaioni cinematiche: Equaioni di equilibrio: Legami costitutivi: ε ε ; γ ; γ u ; ε v σ + σ + τ τ ; γ u + + c.c. E σ (1 ν) ε + νε (1 +ν)(1 ν) E σ (1 ν) ε + νε (1 +ν)(1 ν) E τ γ (1 +ν) v

12 B)-Sollecitaione piana Se risultano nulle le componenti di sforo in una direione. In particolare si consideri il corpo di figura, ottenuto come seione di un cilindro retto con due piani ±h/. Si assume: spessore h piccolo rispetto alle dimensioni nel piano ; sulle facce non vi sono applicate delle fore; sul bordo sono applicate solo fore di superficie T con componenti solo nel piano indipendenti da ; le fore di volume sono solo in direione, indipendenti da. σ ; τ ; τ

13 segue -Sollecitaione piana Relaioni cinematiche: Equaioni di equilibrio: Legami costitutivi: u v u v ε ; ε ; γ + ε w ; γ ; γ σ + σ + τ τ E σ ε + νε (1 ν ) E σ ε + νε (1 ν ) E τ γ (1 +ν) + c.c.

14 M. degli spostamenti: sollecitaione piana Equaioni di equilibrio: u 1 ν u 1+ν v + + v 1 ν v 1 +ν u + + Condiioni al contorno SS 1 +S : S 1 ).dove sono date le fore 1 u v 1 v u 1+ν +ν n + + n f 1 ν E 1 v u 1 v u 1+ν +ν n + + n f 1 ν E * * S ).dove sono dati gli spostamenti * * u u ; v v

15 M. degli spostamenti: deformaione piana Equaioni di equilibrio: u 1 ν u 1 v + + (1 ν ) (1 ν ) v 1 ν v 1 u + + (1 ν) (1 ν) Condiioni al contorno SS 1 +S : S 1 ).dove sono date le fore 1 ν u v 1 v u 1+ν +ν n + +ν n f 1 ν E 1 ν v u 1 v u 1+ν +ν n + +ν n f 1 ν E * * S ).dove sono dati gli spostamenti * * u u ; v v

16 M. degli sfori (B soll. p. def. p.) Equaioni di equilibrio: σ + σ + τ τ Equaione congruena: γ ε ε + ( + σ +σ ) Condiioni al contorno dove sono date le fore σ n +τ n f σ +τ * * n n f

17 Funione sforo (Air) Φ Equaioni di equilibrio: σ + σ + τ τ Funione sforo Φ Identicamente soddisfatte se: Φ ; Φ ; Φ σ σ τ Equaione congruena: Φ Φ Φ ( σ +σ ) Condiioni al contorno dove sono date le fore Φ Φ Φ * n n f Φ * n n f

18 Il Metodo Inverso Funione sforo Φ?

19 4 Φ Assena delle fore b e b Φ Φ Φ * n n f Φ * n n f M N Φ m n Condiioni al contorno sulle fore a mn m n [ ] [ ] [ ] [ ] f a + a + 3a n a + a + a n f a + a + 3a n a + a + a n * * Φ ; Φ ; Φ σ σ τ

20 4 Φ Φ Φ Φ * n n f Φ * n n f Φa f a * f * σ a ; σ ; τ

21 Sfori intorno al punto σ XX ds ( σ cosα + τ sen α)d + ( σ sen α + τ cosα)d τ XY ds ( σ sen α τ cosα)d + ( σ cosα τ sen α)d d ds sen α ; d ds cosα

22 Sfori intorno al punto σxx cos α sen α cos α sen α σ σ YY sen α cos α cos α sen α σ XY cos sen cos sen cos sen τ α α α α α α τ

23 Sfori principali dσ ( σ σ )sen α+ τ cos α dα tan α σ σ τ σ I due angoli ἀσ e ἀσ+ 9 definiscono due direioni e sui piani di cui sono la normale lo sforo assiale assume il massimo e minimo valore. Questi sfori sono indicati come principali e i piani su cui agiscono piani principali dτ XY dα ( σ σ )cos α τ sen α tan α τ σ τ σ tan α tan α 1 σ Indica che le direioni tra sforo assiale e sforo di taglio principale e di 45 deg. τ

24 Traione con il metodo semi inverso σ Con tale sollecitaione esterna, possiamo ipotiare che: sulle seioni ortogonali all asse, il vettore sforo T () sia costante con unica componente non nulla quella assiale σ ; sulle seioni con piani ortogonali agli assi, i vettori sforo T (), T () siano identicamente nulli. L σ [ Σ ] σ

25 Verifica del campo di sollecitaione a) Equilibrio: b1) sulle facce d estremità,l b) Condiioni al contorno: σ { } ± 1 n [ ]{ } σ ± Σ τ τ σ ± n ) ( T b) sul resto del contorno { } n n n [ ]{ } Σ τ τ σ n n n n (n) T c) Congruena

26 Determinaione delle altre incognite a) su ciascuna seione N σa σ N N σ b) deformaioni σ ε ; ε ε E γ γ γ νσ E Condiioni di congruena soddisfatte poiché le componenti del tensore delle deformaioni sono costanti c) Spostamenti u () u() + νσ v E νσ w E N EA

27 Diagrammi N a) della risultante N σ b) dello sforo σn/a. u c) dello spostamento elastico u

28 La torsione M t G M t M t M t M t orario M t antiorario + n n M t antiorario + M t orario

29 Diagramma dei momenti torcenti M 5M M + n 4M M 5M n M 5M 4M 1 + 3

30 Torsione: Cilindro Circolare M t G M t M t M t u v ϕ r sen α ϕ () w ϕr cos α ϕ()

31 Cilindro Circolare 1.Spostamenti (assunti): con ϕ incognita. u v ϕ r sen α ϕ () w ϕr cos α ϕ().deformaioni (legami dϕ cinematici) () dϕ() γ (,) ; γ (,) d d 3.Sfori (relaioni costitutive) dϕ τ G ; τ G d τ σ σ σ dϕ d 3.Tensore degli Sfori [ ] Σ Gϕ

32 Metodo semi inverso a) Equaioni di equilibrio σ τ τ + + σ τ τ τ d ϕ + + G d σ τ τ τ d ϕ + + G d La prima è identicamente soddisfatta, mentre dalle rimanenti: dϕ ϕ costante φ d Quindi l equilibrio è soddisfatto se la rotaione per unità di lunghea o angolo relativo di torsione φ è costante. A meno di una traslaione rigida: ϕ φ. La rotaione φ definisce la deformaione ovvero è, per la torsione, l equivalente degli allungamenti relativi del caso della traione.

33 b) Condiioni al contorno: b1) sulla superficie cilindrica CIRCOLARE Ricordiamo che sul contorno cilindrico non sono applicate fore n ; n cosα ; n senα R R R α n T (n) + G G ϕ ϕ n R n

34 b) Condiioni al contorno: b) sulle facce d estremità,l τ M t T ( ± ) ± 1 G ϕ G ± ϕ τ Risultanti: Ip π/ 4 R R σ da ; R τ da Gϕ da A A A R τ da Gϕ da ; M M A A M t (τ τ )da G ϕ ( + )da GI pϕ A A dϕ M M d d GI ϕ ϕ B d GI GR d d t t M 4 t p p π

35 Conclusioni τ M t τ() τ () Σ τ () Gθ [ ] τ () τ M t dϕ dϕ M t GIp d d GI p Sforo di taglio normale al raggio r τ r P T τ τ +τ Gϕ + Gϕ r Mr t Ip ds γ d rdθ γϕ r scorrimento

36 Consideraioni τ Gϕ r Mr I t p τ τ M t τ M R M R M M t t t t Ma 4 3 Ip πr πr Wp Solo sforo normale Wp modulo di resistena polare Solo taglio

37 Torsione: Cilindro NON Circolare n n /R n /R T (n) τ τ nτ + nτ τ n τ n τ n τ t τ n τ Taglio non più tangente

38 Cilindro circolare u v ϕ() w ϕ() τ τ M t Cilindro NON circolare Bisogna rimuovere ipotesi u τ u C Ψ(,) τ M t v ϕ() w ϕ()

39 Cilindro NON circolare 1.Spostamenti (assunti): con θ incognita. u C Ψ(, ) v ϕ() w ϕ() Warping o ingobbamento della seione.deformaioni (legami cinematici) 3.Sfori (relaioni costitutive) Ψ dϕ Ψ dϕ γ C ; γ C + d d Ψ dϕ τ G C d Ψ dϕ τ G C + d 3.Tensore degli Sfori Σ τ τ [ ] τ τ

40 a) Equaioni di equilibrio σ τ τ + + Ψ Ψ + σ τ τ τ d ϕ + + G d σ τ τ τ d ϕ + + G d Dalle ultime due (analoghe al cilindro circolare): dϕ θ costante φ d La 1 equaione di equilibrio Ψ Ψ + Ψ nel campo + condiioni al contorno

41 b) Condiioni al contorno: b1) sulla superficie NON CIRCOLARE deve risultare: T (n) τ τ τ n + τ n τ n n τ Ψ dϕ τ G C d Ψ dϕ τ G C + d cioè: τ τ M t Ψ ψ dϕ C n + n n n d Ψ Ψ + Ψ nel campo dψ C ϕ (n n) al contorno dn

42 b) Condiioni al contorno: b) sulle facce d estremità,l τ T ( ± ) τ τ ± 1 τ ± τ τ τ τ M t Ψ dϕ Ψ dϕ τ G C ; τ G C + d d Poiche ϕ cost, si puo assumere tale cost C Momento torcente risultante: Ψ Ψ M t (τ τ )da Gϕ + da GJϕ A A dϕ Mt Mt dϕ M t B d GJ B d

43 Torsione: funione sforo 1.Campo degli sfori (assunti): τ, τ σ σ σ τ.equaioni di equilibrio τ + τ ; τ ; τ 3.Compatibilità τ ; τ dove + la 1 equ. di equilibrio è soddisfatta dalla fun. sforo φ Bisogna soddisfare la compatibilità ; Φ Φ Φ(, ) Φ(, ) τ ; τ dϕ Φ G d costante

44 Torsione: Striscia rettangolare a>>t Φ Φ + cos t Φ al contorno Ipotesi: φ () Φ G dϕ d a a φ(,) t φ(,) t φ() Φ G dϕ t d Φ(, ) d ϕ Φ(, ) τ G ; τ d a τ

45 Torsione: Striscia rettangolare a>>t a τ Φ(, ) d ϕ Φ(, ) τ G ; τ d J Φ da Gϕ d t/ 3 4 4a t at Φ Gϕ 3 A t/ t/ 3 t Gat Mt Φ da agϕ d ϕ 3 A t/ dϕ Mt Mt dϕ M t B d GJ B d

46 La Flessione G φ M Piano di carico M M Si assumono come assi gli assi centrali della seione (che passano per il baricentro G) e si ipotia: σ a + b σ σ τ τ τ

47 1.Sfori.Deformaioni (legami cinematici) σ a + b σ σ τ τ τ σ ε ; ε ε E γ γ γ νσ E Sfori e deformaioni lineari, soddisfano equilibrio e congruena. Resta da verificare le condiioni al contorno: sulla superficie laterale, dove non sono applicate fore, si può facilmente verificare che il vettore sforo risulta nullo; sulla faccia L e/o, la risultante delle fore risulta: R σda a da + b da ; R R A A A Poiché gli assi sono assi centrali della seione, i momenti statici risultano nulli.

48 Risultanti: M M A A σ σ da da a a A A da + b da + b A A da ai da ai Momenti flettenti positivi quando tendono le fibre nel quadrante positivo 1 M M I /I Mˆ 1 M M I /I Mˆ a ; b I I I I 1 I /II 1 I /II + + bi bi Assi assi centrali con orientamento generico: σ Mˆ + Mˆ I I

49 1 M M I /I Mˆ 1 M M I /I Mˆ a ; b I I I I 1 I /II 1 I /II Mˆ σ + I Mˆ I

50 Sistema di Assi: assi YZ assi principali d ineria Poiché gli assi YZ sono assi principali: 1 M M I /I M 1 M M I /I M a ; b I 1 I /I I I I 1 I /I I I M Y σ Z + I Y M I Z Z Y Dove: M Y, M Z sono le componenti del momento M rispettivamente intorno agli assi principali Y,Z; I Y, I Z i momenti principali d ineria.

51 MY M σ + I I Y Z Z Y

52 Posiione Asse Neutro NN L asse neutro è l asse della seione sulla quale σ Y N cosβ Z N sen β Y Y Z MZ I tan β Y Y M I Y Y Z M M Y Z M sen φ M cos φ Y Y tan β Y I I Y Z ctan φ Y

53 Sistema di assi cartesiani N-D (asse neutro e asse ad esso ortogonale σ M I N N D

54 Posiione Asse Neutro tan β Y I I Y Z ctan φ Y Il piano neutro è ortogonale al piano di carico solo se I Y I Z. Se I Y I Z la struttura tende ad inflettersi nel piano in cui la rigidità a flessione è minore e non in quello del momento, ovvero: l asse NN non coincide con la perpendicolare al piano di carico ma è ruotato di un angolo ε verso l asse principale rispetto al quale la seione presenta un momento d ineria minore e la flessione è detta flessione deviata ; se ε si ha flessione retta o diretta.

55 Nello studio della flessione si possono impiegare indifferentemente gli assi, YZ, ND, ognuno dei quali ha vantaggi e svantaggi: il sistema (centrale) presenta il vantaggio di essere arbitrario ma fornisce poche informaioni sulle proprietà della struttura e quindi si ha una scarsa visione fisica del problema; il sistema (centrale) YZ di assi principali presenta il vantaggio di leggere la struttura attraverso le proprie caratteristiche intrinseche e di utiliare una formula in cui lo sforo σ è la somma di ciò che avviene separatamente intorno all asse Y e all asse Z. In altri termini lo studio della flessione deviata può essere condotto sommando gli sfori ottenuti considerando due distinti problemi: a) M Z ed M Y, b) M Z ed M Y. Lo svantaggio risiede nella necessità di ricerca degli assi principali; il sistema (centrale) ND presenta il vantaggio di individuare i punti più sollecitati che sono i punti più distanti dall asse neutro e di utiliare una formula per σ particolarmente semplice. Lo svantaggio risiede nel fatto che gli assi ND variano al variare dell inclinaione del carico; in altri termini mentre gli assi principali sono caratteristici della seione, l asse neutro dipende anche dalla sollecitaione.

56 Teoria semplificata della Flessione Ipotesi: le seioni piane ed ortogonali alla linea media ruotino mantenendosi piane ed ortogonali alla linea media deformata. ε ds ds ds ( R + D)dθ Rdθ Rdθ σ E R D Non essendoci carichi in direione normale alla seione, deve risultare: E σ da DdA R A A Nel piano della seione c è una linea dove gli sfori risultano nulli che passa per il baricentro della seione; tale linea è detto asse neutro. D R La struttura si inflette come un arco di cerchio

57 Dall equilibrio dei momenti: A E EI E M σ R R R I da D da M A Sforo E σ D R M I D Curvatura χ [1+ w ] d 1 w dw R 3 E M M dw f EI R I d

58 Flessione per Taglio Consideriamo una T nel piano di simmetria che induce flessione solo in tale piano in direione del verso positivo dell asse. nella seione trasversale posta ad <L, si esercita un momento MT d ed una fora di taglio TT.

59 A) La presena del momento, comporta l insorgere di sfori assiali σ che possiamo valutare con la formula della flessione: M() σ ; I I bh 1 3 M() T ( L) B) La presena della T genera sfori di taglio τ il cui valore può essere calcolato imponendo l equilibrio di un elemento bdd. τ τ+ d M h/ T -h/ d M+dM T σ d d σ+dσ b σ τ σ σ+ d σ τ σ d(bd) + d(bd) τ d + C

60 T ( L) σ T σ I I I M() σ T τ C d C da Ib h/ h/ T T T da da Q Ib Ib Ib h/ b In particolare per seione rettangolare: Q h / da b h 4,6,4, -, -,4 -,6 ζ I Th τ,5,1,15 Momento statico rispetto all asse τ T h I 4 I τ ζ T h 1 1 4

61 Flessione e torsione per Taglio In generale la seione, è di forma qualsiasi e la fora applicata T ha orientamento e punto di applicaione tale da generare una sollecitaione combinata di flessione, taglio e torsione. T T P o T E sempre possibile pensare di sostituire la T applicata in P ( o, o ), con sistema staticamente equivalente di una fora T applicata in un altro punto P* più una coppia.

62 Centro di Taglio (o di Flessione) Tra tutti i possibili punti P*, esiste un punto dove: l applicaione della T induce solo flessione sena rotaione; Tale punto è un punto caratteristico della seione detto Centro di Flessione o di Taglio (C.T.). Trasportando T nel C.T. il problema è riportato, per la linearità del problema, allo studio dei due distinti casi: di flessione con taglio: sfori assiali σ e di taglio τ, τ sena rotaione ϕ. di torsione: sfori di taglio τ, τ con rotaione ϕ. σ τ τ +τ τ τ +τ T Mt T Mt ; ; σ, σ, τ

63 Centro di Taglio (o di Flessione) Affinchè a seguito dell applicaione della sola T si abbia solo flessione (sena rotaione) il Centro di Taglio si deve trovare in un punto del piano della seione rispetto al quale il momento torcente risultante delle fore di taglio τ risulti nullo. La condiione di annullamento del momento torcente è quindi una condiione che può essere utiliata per determinare il C.T. Tuttavia in alcuni casi, l individuaione del C.T. risulta semplificata e talvolta immediata. In particolare nei seguenti casi: seione con un asse di simmetria: il C.T. giace su tale asse; seione con due assi di simmetria: il C.T. è il punto di interseione di detti due assi e coincide con il baricentro della seione.