Risoluzione delle Piastre Le piastre sottili in regime elastico

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1 Corso di rogetto di Strutture OTENZA, a.a Risoluione delle iastre Le piastre sottili in regime elastico Dott. arco VONA DiSGG, Università di Basilicata marco.vona@unibas.it

2 IOTESI DI BASE spostamenti infinitesimi: gli spostamenti sono tanto piccoli da poter essere trattati come infinitesimi σ STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE tutti i punti che sono su un segmento perpendicolare al piano medio hanno lo stesso spostamento w un segmento piano si mantiene tale dopo la deformaione: lo stato di spostamento è espresso in funione di w i punti sul piano medio della piastra subiscono spostamenti nella sola direione. Ciò equivale a considerare trascurabili gli scorrimenti e. Lo spessore non deve essere piccolissimo affinché le tensioni membranali siano trascurabili

3 IOTESI DI BASE iastra di spessore sottile STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE

4 STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE l Come conseguena le fore contenute nel piano della piastra N, N N, N sono del II ordine e sono quindi trascurabili

5 STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE iastra di spessore sottile l In conseguena di tali ipotesi anche le componenti degli spostamenti della superficie media (S) nel piano - della piastra, u e v, possono essere trascurati. In tal modo si riducono significativamente le incognite del problema

6 STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE iastra di spessore sottile l L equaione che governa il problema si determina dal metodo degli spostamenti Nell equaione di equilibrio si sostituiscono le relaioni di congruena ed il legame costitutivo del materiale per ottenere una equaione in una sola incognita (lo spostamento w)

7 LE IOTESI DI CALCOLO Le INCOGNITE del problema si riducono quindi nel caso più generale al numero complessivo di 6 invece che 13 omenti flettenti omenti torcenti Fore di taglio Deformaioni,, Q, Q w Le EQUAZIONI necessarie per la risoluione del problema dovranno quindi essere 6 3 saranno le equaioni di collegamento fra,, e w 3 saranno ovviamente equaioni di equilibrio

8 LE IOTESI DI CALCOLO: TEORIA DI KIRCHHOFF Le incognite in termini di tensioni generaliate hanno il seguente significato fisico b Q Q

9 LE IOTESI DI CALCOLO: INCOGNITE CINEATICHE er ciascun punto appartenente alla piastra anche al di fuori della superficie media gli spostamenti dipendono soltanto da tra grandee (due rotaioni ed un abbassamento),, w

10 LE IOTESI DI CALCOLO: INCOGNITE CINEATICHE Quindi ciascun punto sarà individuato mediante le seguenti relaioni: u v w w w

11 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO È necessario anche esprimere le sollecitaioni incognite: ; ; in funione dello spostamento w, unica incognita di spostamento er ottenere le cosiddette EQUAZIONI DI COLLEGAENTO dovremo esprimere w in funione delle tensioni presenti nel generico elementino appartenente alla piastra e queste ultime in funione delle deformaioni considerando il legame costitutivo del materiale Legame elastico lineare la legge di HOOKE

12 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO Il passaggio sarà dunque del tipo ( u, v w ) w, p p ( u, v, w ) ( ε, ε, ε ) p p p p ( ε, ε, ε ) ( σ, σ, τ ) ( σ, σ, τ ) (,, ) (, ) w,

13 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO Elemento infinitesimo d d La distribuione delle tensioni sullo spessore, in analogia a quanto avviene per le travi, è di tipo lineare per le tensioniσ,σ eτ

14 STUDIO DELLE IASTRE SOTTILI INFLESSE La distribuione delle tensioni sullo spessore, in analogia a quanto avviene per le travi, è di tipo lineare per le tensioniσ,σ eτ

15 COONENTI DI SOSTAENTO IN FUNZIONE DI w Consideriamo una seione di una piastra parallela all asse Siano w gli spostamenti della superficie media (S) In generale: w w(, ) Dato un qualsiasi punto O sulla superficie media si ha w OO' ; u ; v

16 COONENTI DI SOSTAENTO IN FUNZIONE DI w Lo spostamento di un generico punto alla distana della superficie media è determinato dall ipotesi di conservaione dei segmenti piane

17 COONENTI DI SOSTAENTO IN FUNZIONE DI w Indicate le pendene delle tangenti alla S nelle direioni e con: ϕ ϕ X Y si ha w w cosϕ cosϕ u senϕ cosϕ v cosϕ senϕ

18 COONENTI DI SOSTAENTO IN FUNZIONE DI w er l ipotesi di piccoli spostamenti sviluppando in serie la funione cos cos cos sen tg tg w sen tg tg w

19 COONENTI DI SOSTAENTO IN FUNZIONE DI w Lo spostamento di un generico punto alla distana della superficie media è determinato dall ipotesi di conservaione dei segmenti piani Quindi w w Analogamente u v w w ( ) u v w w,, p p p

20 In termini di deformaione le equaioni : LE IOTESI DI CALCOLO: INCOGNITE CINEATICHE w v u v u ε ε w w v si traducono in: relaioni di congruena

21 In termini di deformaione taglianti le equaioni si traducono in: LE IOTESI DI CALCOLO: INCOGNITE CINEATICHE v u γ γ γ ; w w v w w u γ γ relaioni di congruena

22 LE IOTESI DI CALCOLO: TEORIA DI KIRCHHOFF oiché le deformaioni a taglio sono trascurabili γ γ γ γ γ γ w w w w ( ) ( ) u, v, w ε, ε, ε p p p

23 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO Il passaggio sarà dunque del tipo ( u, v, w ) ( ε, ε, ε ) p p p (, ) w,

24 LE IOTESI DI CALCOLO: TEORIA DI KIRCHHOFF In termini di tensioni le ipotesi riportate si traducono in quanto segue: τ τ σ τ τ σ

25 LE IOTESI DI CALCOLO: TEORIA DI KIRCHHOFF In termini di tensioni generaliate le ipotesi riportate si traducono in quanto segue: Q Q

26 LE IOTESI DI CALCOLO: TEORIA DI KIRCHHOFF Ovvero: h h h h h h σ σ τ d d d Q Q h h h h τ τ d d ( ) ( ) σ, σ, τ,, EQUAZIONI DI COLLEGAENTO

27 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO Il passaggio sarà dunque del tipo ( σ, σ, τ ) (,, ) (, ) w,

28 Siano X, Y, Z fore di volume L equilibrio della piastra nelle ipotesi descritte si scrive come: EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO X τ τ σ (1) Z Y X σ τ τ τ σ τ (1) () (3)

29 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Integrando la III equaione dei equilibrio (3) tra gli estremi della seione trasversale h/ e h/. Il primo termine diviene h / τ d h / τ h / h / d Q Q, Il secondo termine: h / h / τ d h / τ h / d Q Q, σ Infine il tero termine: σ σ,

30 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO In conclusione, essendo: h / Z d h / b Q, Q, b EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE VERTICALE

31 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Q, Q, b EQUILIBRIO ALLA TRASLAZIONE VERTICALE Ovviamente nelle piastre il carico si ripartisce tra Q e Q con il già visto funionamento a strisce ortogonali

32 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO oltiplicando la I equaione di equilibrio (1) per e integrando tra h/ e h/ : σ τ τ X (1) Il primo termine diviene h / h / σ d h / h / σ d,

33 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Il secondo termine: h / τ d h / τ h / h / d, Il tero termine: h / h / τ d h / [ ] h / τ τ d Q h / h /

34 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Infine il quarto termine diviene: h / Xd X h /,, Q EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE (OENTI INTORNO A X)

35 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Analogamente dalla II equaione di equilibrio () moltiplicando per e integrando tra h/ e h/ τ σ τ Y (),, Q EQUILIBRIO ALLA ROTAZIONE (OENTI INTORNO A Y)

36 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Tali equaioni sono sostanialmente analoghe alla equaioni delle travi: d d T Le espressioni viste hanno un preciso significato fisico Nelle piastre il taglio Q si ripartisce tra e Il taglio Q si ripartisce tra e

37 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO ANALOGIA FORALE CON LE TRAVI TRAVI IASTRE dt d p (1) Q Q b,, (I) d d T (),, Q,, Q (II) (III)

38 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Il carico applicato ad un elemento di trave è sopportato dalla variaione del taglio. Allo stesso modo la (I) esprime che il carico applicato ad un elemento di superficie della piastra è sopportato dalla variaione secondo del taglio Q e da quella secondo del taglio Q Ovvero tutto avviene come se vi fossero due ordini di travi. Tale Ovvero tutto avviene come se vi fossero due ordini di travi. Tale analogia ha dato luogo alla interpretaione cosiddetta A GRATICCIO

39 Analogamente la (1) EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO dt d p esprime che il taglio T di una trave corrisponde ad una variaione di momento flettente er le piastre vuol dire che ad un certo taglio Q corrisponde una variaione di momento secondo ed una variaione di momento secondo Q, Q, b

40 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Quindi la (II) e la (III) caratteriano il senso della collaboraione tra flessione e torsione utile a portare i carichi esterni,, Q,, Q

41 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Inoltre le equaioni dt d p d d T descrivono l isostaticità interna delle travi Noti T ed in una seione di trave è possibile determinarli in tutti i punti con le sole equaioni di equilibrio Le equaioni (I), (II), (III) delle piastre esprimono invece l iperstaticità interna delle piastre nelle quali il carico esterno b si può ripartire in infinti modi

42 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Infine, abbiamo ottenuto quelle che sono chiamate EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO DELLA IASTRA,, Q,, Q Q, Q, b In termini di tensioni generaliate

43 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO Ovvero derivando la I e la II equaione rispetto a e e ricordando che : Q, Q, b Si ottiene:,,, b

44 Le equaioni di equilibrio al contorno si possono scrivere nella forma: EQUAZIONI DI EQUILIBRIO AL CONTORNO f n n n f n n n f n n n σ τ τ τ σ τ τ τ σ (1) () f n n n σ τ τ (3) Con n, n, n coseni direttori alla normale esterna (n ) n

45 oltiplicando per ed integrando tra h/ e h/ le equaioni di equilibrio al contorno (1) e () EQUAZIONI DI EQUILIBRIO AL CONTORNO p n n p n n Integrando tra h/ e h/ la (3) p n Q n Q EQUAZIONI DI EQUILIBRIO AL CONTORNO DELLA IASTRA

46 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO ( u, v w ) w, p p ( u, v, w ) ( ε, ε, ε ) p p p p ( ε, ε, ε ) ( σ, σ, τ ) ( σ, σ, τ ) (,, ) (, ) w,

47 RELAZIONI COSTITUTIVE: INCOGNITE CINEATICHE v u In termini di deformaione le equaioni relative agli abbassamenti: v u ε ε si traducono in: w w

48 Scriviamo quindi le deformaioni generaliate (indipendenti da ) in termini di curvature RELAZIONI COSTITUTIVE χ u ε χ χ χ v ε χ γ χ ε χ ε

49 oiché consideriamo valida la legge di Hooke ( ) ( ) ( ) ( ) E E E E χ ν χ ν ε ν ε ν σ χ ν χ ν ε ν ε ν σ RELAZIONI COSTITUTIVE: LEGGE DI HOOKE ( ) ( ) E E G χ ν γ ν γ τ ν ν Nel caso della FLESSIONE E TORSIONE ( ) ( ) τ σ σ ε ε ε,,,,

50 In termini matriciali: τ σ σ RELAZIONI COSTITUTIVE: RELAZIONI ATRICIALI E 1 ν ν ν ν χ χ χ τ χ oltiplicando per ed integrando tra h/ e h/ h h d / / τ σ σ h h h h h h d d d τ σ σ

51 RELAZIONI COSTITUTIVE oltiplicando per ed integrando tra h/ e h/ ( ) ν h E ν ν ν χ χ χ χ Nel caso della FLESSIONE E TORSIONE

52 RELAZIONI COSTITUTIVE Esprimiamo tutto nell unica incognita di spostamento w χ χ,, χ,, oiché w w,, χ χ χ w w w

53 EQUAZIONE DI COLLEGAENTO: FLESSIONE onendo: D 3 E h 1 ν ( 1 ) Rigidea della piastra D 1 ν w ν 1 w 1 ν w EQUAZIONE DI COLLEGAENTO C f χ ( ) ( ) u, v, w,, p p p

54 EQUAZIONI DI COLLEGAENTO Il passaggio sarà dunque del tipo (, ) w,

55 EQUAZIONE DI LAGRANGE Calcolando la derivata seconda di tutti i termini,,, 1 D 1 ν ν 1 ν w w w E sostituendo nell equaione indefinita di equilibrio,,, b w b w w EQUAZIONE DI D LAGRANGE

56 EQUAZIONE DI COLLEGAENTO: TAGLIO Nel caso del TAGLIO τ τ E ( ) γ 1 ν 1 γ 1 oltiplicando per ed integrando tra h/ e h/ h / h / τ τ d Q Q h ( ) γ ν 1 γ E 1 EQUAZIONE DI COLLEGAENTO Q C t γ 1