8.1 Legge costitutiva dei materiali ortotropi

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1 8 Piastre ortotrope L acciaio ed il calcestruzzo hanno un comportamento isotropo, anche se, nelle strutture in cemento armato, le armature possono introdurre un certo grado di anistropia. Esistono tuttavia diversi materiali per i quali non si può usare il modello di comportamento isotropo; tra questi in particolare si notano i materiali fibrosi, sia naturali, come il legno, sia artificiali, come le resine fibro-rinforzate, che hanno un comportamento spiccatamente anisotropo o, più precisamente, ortotropo. Nelle piastre tuttavia una frequente causa di ortotropia è data dalla diversa geomeria della piastra secondo due direzioni ortogonali, come nel caso rappresentato in Fig. 31. In questo caso, pur essendo il materiale isotropo, il comportamento globale della piastra può essere assimilato a quello di una a sezione piena di spessore uniforme, ma realizzata con un materiale di natura anisotropa. I materiali ortotropi si caratterizzano per il fatto di possedere tre piani di simmetria ortogonali. In direzione ortogonale a ciascun piano il comportamento è simmetrico (cioè non cambia se si esegue una rotazione di 180 gradi intorno ad uno degli assi di un riferimento che ha questi come piani coordinati). Nei materiali fibrosi una direzione di ortotropia è determinata da quella delle fibre, mentre le altre sono ortogonali a questa.

2 8.1 Legge costitutiva dei materiali ortotropi Per un materiale iperelastico ortotropo, la relazione tra tensioni e deformazioni ha la forma: ε x ε y ε z γ yz γ xz γ xy = G 11 G 12 G G 12 G 22 G G 13 G 23 G G G G 66 σ x σ y σ z τ yz τ xz τ xy (98) Nel caso delle piastre, essendo per ipotesi σ z =0,eγ xz = γ yz =0,larelazione costitutiva si può ridurre alle sole tre componenti, sia della tensione sia della deformazione, contenute nel piano x, y e l equazione precedente diviene ε x ε y = γ 1 ν xy E y 0 1 σ x E x Ey 0 σ y τ G E x ν yx (99)

3 dove, per la simmetria della matrice (99): ν xy = ν yx (100) E y E x Per le tensioni piane di un materiale ortotropo si hanno cinque costanti elastiche (E x, E y, ν xy, ν yx e G) ma solo quattro sono indipendenti, in virtù della (100). Invertendo la (99) si ottiene la legge costitutiva tra deformazioni e tensioni: In altra forma σ E x x 1 ν xy ν yx σ y = ν yx E y 1 ν xy ν yx τ ν xy E x 1 ν xy ν yx 0 E y ε x 1 ν xy ν yx 0 ε y 0 0 G E x γ (101) σ x = (ε x + ν xy ε y ) 1 ν xy ν yx (102a) E y σ y = (ε y + ν yx ε x ) 1 ν xy ν yx (102b) τ = Gγ (102c)

4 Poiché anche la (101) è simmetrica, si ha ν yx E y = ν xye x (103) 1 ν xy ν yx 1 ν xy ν yx come segue immediatamente dalla (100). 8.2 Equazione delle piastre ortotrope Sostituendo le (11) nelle (102) si ottiene: E x 2 w σ x = 1 ν xy ν yx x 2 + ν xy 2 w y 2 E y 2 w σ y = 1 ν xy ν yx y 2 + ν yx 2 w x 2 τ = 2G 2 w x y z!! z z (104a) (104b) (104c)

5 Quindi, sostituendo queste ultime nelle (2), si ottengono le risultanti delle sollecitazioniinfunzionedellederivatediw: Z h/2 m x = σ E x 2! w xzdz = h/2 1 ν xy ν yx x 2 + ν xy 2 w h 3 y 2 12 = 2! w D x x 2 + ν xy 2 w y 2 (105a) m y = Z h/2 h/2 σ yzdz = E y 1 ν xy ν yx 2! w y 2 + ν yx 2 w h 3 x 2 12 = 2 w D y y 2 + ν yx 2 w x 2! (105b) Z h/2 m xy = τzdz = 2G 2 w h 3 h/2 x y12 = C 2 w (105c) x y incuilecostantidirigidezzad x, D y e C dipendono dalle costanti elastiche E x, E y, ν xy, ν yx e G mediante le relazioni D x = E x h 3 12 (1 ν xy ν yx ) D y = E y h 3 12 (1 ν xy ν yx ) C = Gh3 6 (106)

6 Ovviamente se E x = E y = E, ν xy = ν yx = ν e G = E/2(1+ν), le (105) coincidono con le (16), valide per i materiali isotropi. Sostituendo le (105) nella equazione di equilibrio (5) risulta: 4! w D x x 4 + ν xy 4 w x 2 y 2 +2C 4 w 4! x 2 y 2 + D w y y 4 + ν yx 4 w y 2 x 2 = p (107) Tenendo presente che, per le (103), D x ν xy = D y ν yx, la precedente si semplifica nella che si può riscrivere D x 4 w x 4 + D y 4 w y 4 +2(C + ν xyd x ) 4 w x 2 y 2 = p (108) in cui 4 w D x x 4 +2H 4 w x 2 y 2 + D y 4 w y 4 = p (109) H = C + ν xy D x = C + ν yx D y (110)

7 8.3 Ortotropia geometrica Quando l ortotropia dipende dalla natura del materiale le costanti D x, D y e H si determinano a partire dalle caratteristiche del materiale, che possono essere misurate sperimentalmente mediante apposite prove. Quando, al contrario, il materiale è isotropo e l anisotropia dipende dalla diversa geometria di due sezioni ortogonali della piastra, come nel caso mostrato in Fig. 31, le relazioni costitutive sono ancora quelle del materiale elastico espresse dalle (15), ma nel calcolo della risultante si dovrà tener conto delle specifiche caratteristiche geometriche della piastra. Per una piastra come quella in Fig. 31, simmetrica rispetto al piano medio, le relazioni cinematiche (11) sono ancora valide. Tuttavia il contributo alla tensione normale σ y del termine legato alla contrazione ortogonale ν 2 w x2 si manifesta solo all interno dello spessore h della piastra, non negli irrigidimenti. Tenendo conto

8 di ciò, applicando le (15), si avrà dunque m x = Z h/2 h/2 σ xzda = E ³ 1 ν 2 Eh 3 12 ³ 1 ν 2 2 w x 2 + w ν 2 y 2 2 w x 2 + w ν 2 y 2!! Z h/2 h/2 z2 dz = 2 w = D x x 2 + w ν 2 y 2! (111a) m y = 1 s y ZA x σ y zda = E 12 ³ 1 ν 2 h 3 µ 1 b s " E 2! Z s ³ 1 ν 2 w y 2 + w h/2 ν 2 x 2 s h/2 z2 dz +2 2 Z w h1 y 2 b /2 z 2 dz h/2 + b 2 w s h3 1 y 2 νeh3 12 ³ 2 2 w 2 1 ν x 2 += D w y y 2 νd x 2! w D y x 2 Per il momento torcente, trascurando il contributo degli irrigidimenti, si può (111b) #

9 assumere Z h/2 Z h/2 m xy = m xy = τ xyzdz = E 2 w h/2 (1 + ν) x y h/2 z2 dz = Eh3 2 w 12 (1 + ν) x y = D x (1 ν) 2 w x y (111c) Sostituendo le (111) nella (5) si ha 4 w D x x 4 + ν 4 w x 2 y 2 ovvero dove D x =! 4 w +2D x (1 ν) x 2 y 2 + D y 4 w y 4 + νd x 4 w y 2 x 2 = p (112) 4 w D x x 4 +2D x 4 w x 2 y 2 + D y 4 w y 4 = p (113) Eh 3 12 ³ 1 ν 2 D y = D x ( 1+ b s " µh1 3 1#) h (114)

10 La (113) coincide con la (109) se si pone H = D x (115) Icoefficienti di un materiale ortotropo che dia luogo a caratteristiche equivalenti a quelle della piastra irrigidita si ottengono confrontando le (111) con le (105), e si trova che ( " µh1 3 1#) E x = E ν xy = ν E y = E D y = E 1+ b ν yx = ν D x D x s h D y (116) Inoltre, poché C = H ν xy D x, tenendo conto delle (106) e della (115) risulta G = 6 h 3 (H νd x)= 6D x h 3 (1 ν) = E 2(1+ν) (117) Un caso più complesso è quello illustrato in Fig. 32, che rappresenta una piastra irrigidita in modo asimmetrico rispetto al piano medio. Il problema è complicato dal fatto che i baricentri delle due sezioni ortogonali non giacciono più sullo stesso

11 x y h h 1 z s b Figura 31: Piastra irrigidita simmetricamente x y h h 1 z s b Figura 32: Piastra irrigidita in modo asimmetrico.

12 piano. Una formulazione approssimata si può ancora ottenere rappresentando la piastra come ortotropa. Con tale approssimazione, se si assume ν = 0, si ottengono i seguenti valori per i coefficienti della piastra[1]: D x = 12 Eh 3 ½ 1 s b 1 ³ D y = EJ h s h1 3 ¾ H = C = Eh K t s (118) in cui J è il momento d inerzia della sezione a T (tratteggiata in Fig. 32) e K t è la rigidezza torsionale di un irrigidimento. Per il modello di materiale equivalente, avendo posto ν =0,siavrà ν xy = ν yx = 0 e quindi E x = ½ 1 b s E 1 ³ E y = E 12J h sh h1 3 ¾ 3 G = 6C h 3 = E 2 µ 1+ 12K t sh 3 E (119)