Modelli agli elementi finiti Analisi strutturale.

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1 Modelli agli elementi finiti Analisi strutturale

2 + Analisi agli elemen, fini, Il FEM è un metodo numerico (pertanto approssimato) che perme;e la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali. Il metodo degli consiste nella discre'zzazione di un assegnato dominio in elemen% fra loro connessi in un numero finito di (nodi), degli in corrispondenza dei quali sono valutate le della funzione incognita. Il valore della funzione all'interno del singolo elemento è o;enuto sulla base dei valori dei parametri nodali a;raverso l'uso di opportune funzioni di forma. La scelta di tali funzioni, come pure di mesh con cui il dominio è di importanza cruciale per una corre;a convergenza della soluzione.

3 + Matrice fondamentale Esistono diverse strade che possono portare alla formulazione della matrice fondamentale Metodi variazionali (principio dei lavori virtuali) (vedi dispensa) Formulazione dire;a (vedi dispensa) Minimizzazione di un funzionale (energia potenziale totale)

4 + Elemento asta Travature piane e spaziali solo sforzo normale 2 nodi 2 o 3 g.d.l /nodo carichi applicabili solo nei nodi Car. geometriche: A

5 + Elemento trave Equazione della linea 2 nodi 3 gdl/nodo Carichi concentra@ e distribui@ Cara;eris@che geometriche (sezione, momento d'inerzia,...)

6 + Lastra (plane stress) Sta, piani di tensione: sono dall avere una delle principali di tensione nulla si in corpi piani, di spessore piccolo rispe;o alle altre dimensioni del problema, nel loro piano medio. Possibilità di inserire lo spessore del corpo

7 + Modelli di omogenizzazione Modello di Voigt Modello di Reuss A1 F A2 F A E1 l1 E1 E2 l E2 l2 l F F E = E 1 ν 1 + E ( 2 1 ν ) 1 ν 1 = A 1 A 1 + A 2 E = f 1 = l 1 l E 1 E 2 E ( 1 1 f ) 1 + E 2 f 1

8 + Esercizio 1 Valutare il modulo elas@co complessivo dei seguen@ corpi della precedente diaposi@va con il modello anali@co e con quello ad elemen@ fini@ (u@lizzare l'analisi plane stress).

9 + Nota esercizio 1 I modelli di Reuss e Voigt non prendono in considerazione carichi trasversale. Per introdurre questo conce;o è necessario porre il modulo di Poisson pari a 0, in modo tale che deformazioni normale provochino deformazioni (e quindi carichi) trasfersali. Il carico da imporre nel modello di modello di Voigt (o di isoderformazione) è quello di uno spostamento in direzione normale in modo da avere una isodeformazione su entrambi blocchi.

10 + Esempio soluzione esercizio 1 (1/4) Modello di Voigt E1 A1 F E2 A2 l L = 0.1 m Spessore = 0.1 m A 1 = 0.03*0.1 m 2 = m 2 A 2 = 0.07*0.1 m 2 = m 2 ν 1 = 0.3 ν 2 = 0.7 Se E 1 = 10 E 2 = 100 GPa E = 37 GPa E = E 1 ν 1 + E ( 2 1 ν ) 1 ν 1 = A 1 F A 1 + A 2 Per avere una deformazione del - 10% lungo la direzione y devo applicare una forza pari a = F = (E * ε) * A = 73 GPa * (- 0.1) * 0.01 m 2 = = * 10 7 N

11 + Esempio soluzione esercizio 1 (2/4)

12 f 1 = l 1 l + Esempio soluzione esercizio 1 (3/4) Modello di Reuss E = E1 E2 F F E 1 E 2 A l1 l2 E ( 1 1 f ) 1 + E 2 f 1 l L = 0.1 m Spessore = 0.1 m l 1 = 0.03 m l 2 = 0.07 m f 1 = 0.3 f 2 = 0.7 A = 0.1 * 0.1 m 2 = 0.01 m 2 Se E 1 = 10 E 2 = 100 GPa E = 13.7GPa Applicando una forza pressione in direzione y di 1 kpa o;engo uno spostamento totale di Δy = 0.1m * (- 1 kpa / 13.7 GPa) = 7.3*10-9 m

13 + Esempio soluzione esercizio 1 (4/4) Spostamento dell intera stru;ura valutato lungo la direzione y

14 + Considerazioni di simmetria (1/5) L uso di considerazioni di simmetria consente di ridurre le dimensioni del modello. I più di simmetria sono: Simmetria speculare o di riflessione Simmetria polare o di rotazione

15 + Considerazioni di simmetria (2/5) Sfru;ando la simmetria è possibile includere nel modello solo una parte della stru;ura, la parte mancante con opportuni vincoli sul piano di divisione

16 + Considerazioni di simmetria (3/5) I carichi non devono necessariamente essere simmetrici, dato che una condizione di carico qualsiasi può essere scissa in una componente simmetrica ed in una an@simmetrica. F F/2 F/2 F/2 F/2

17 + Considerazioni di simmetria (4/5) Simmetria di riflessione La stru;ura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria Y X Piano di simmetria Z VINCOLI SUI NODI Carichi simmetrici U z =0 ROT x =0 ROT y =0 Carichi antisimm. U y =0 U x =0 ROT z =0

18 + Considerazioni di simmetria (5/5) l l l Corpi assial- simmetrici Geometria assial- simmetrica (rotazione di una sezione a;orno ad un asse fisso) Carichi a simmetria cilindrica Fissato un sistema di riferimento cilindrico r, θ, z, per simmetria lo stato di tensione/deformazione risulta indipendente da θ e le componen@ di spostamento in direzione circonferenziale (θ) risultano nulle: il problema può di conseguenza essere studiato come piano.

19 + Esercizio 2 Lastra intagliata in trazione Schema@zzare la lastra di figura sfru;ando i piani di simmetria Misure in mm Spessore: 5 mm Modulo Elas@co 10 9 Pa P = 3000 Pa 5 20 P 60

20 + Link u,li h;p:// Calc_Aut_Sis_Mec/deposito/08- Formulazione- Generale_V1.pdf h;p:// bacheca/032formulazionefem.pdf