MSC. Marc Mentat Esercitazioni ed esempi

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1 Università degli studi di Ferrara - Facoltà di Architettura Corso Integrato di Disegno Automatico A.A Modulo di Sicurezza ed Affidabilità delle Costruzioni Titolare: Arch. Giampaolo Guerzoni MSC. Marc Mentat Esercitazioni ed esempi Software di Calcolo agli Elementi Finiti a cura dell Arch. Riccardo Cami collaboratore alla didattica

2 INTRODUZIONE Si riportano di seguito sinteticamente alcuni degli esempi che verranno trattati durante le lezioni che si terranno all Università degli studi di Ferrara, Facoltà di Architettura, nell ambito del Corso Integrato di Disegno Automatico, Modulo di Sicurezza ed Affidabilità delle Costruzioni. Gli esempi sono 17, suddivisi in otto gruppi caratterizzati da un numero progressivo da 1 a 8; ogni gruppo di esempi comprende diversi modelli inerenti allo stesso problema, identificati tramite una lettera minuscola, attraverso i quali vengono spiegate le diverse possibilità di meshatura e di impostazione dei dati in MARC. Per ogni esempio si riportano: - una breve descrizione del problema; - immagini relative alla definizione della mesh e delle condizioni al contorno; - immagini di alcuni dei risultati ottenuti; - tabelle dei dati di input. I primi 9 modelli riproducono una trave orizzontale, incastrata ad un estremità e soggetta ad un carico verticale concentrato applicato all estremo libero. In questi modelli si indica come è possibile utilizzare diversi tipi di elementi finiti, lineari (esempi 01; 01a), piani (esempi 02; 02a; 02b; 02c) o tridimensionali (esempi 03; 03a; 03b), per definire la discretizzazione del corpo continuo trave; si compie inoltre uno studio relativo all influenza della densità della mesh sull esattezza dei risultati, tramite il confronto dei risultati ottenuti da modelli a sempre maggiore numero di elementi con quelli ottenuti analiticamente per integrazioni dell equazione della linea elastica. Il modello 4 è una trave parete piana verticale sottoposta al peso proprio e ad un carico distribuito applicato al lato superiore, soggetta ad un cedimento di fondazione per cui risultano vincolate con cerniere solamente le estremità del lato inferiore. La parete è stata modellata con una mesh di elementi finiti piani quadrilateri. Il modello 5 rappresenta la parete di un edifi cio con due bucature, una porta ed una finestra, incernierata nei nodi alla base e soggetta ad una spinta orizzontale nella parte superiore di uno dei lati verticali della parete stessa. Il modello è composto da elementi finiti piani. Gli esempi 6 e 6a riproducono il caso di un solaio in cemento armato incastrato su tre lati e soggetto ad un carico verticale sul lato libero. In questo caso al primo modello piano ne è stato affiancato un secondo tridimensionale, per evidenziare la necessità di utilizzare elementi tridimensionali nel caso in cui il problema studiato non sia riconducibile ad uno stato piano di tensione o di deformazione; è evidente quindi nel confronto fra i due esempi come l utilizzo di elementi esaedrici permetta di conoscere con esattezza la distribuzione delle tensioni e delle deformazioni all interno del materiale in problemi non piani. L esempio 7 riproduce un solaio in cemento armato incastrato sui quattro lati e soggetto ad un carico verticale di superficie uniformemente distribuito. Anche in questo caso è necessario, essendo un problema non piano, l utilizzo di una mesh di elementi tridimensionali esaedrici. I modelli 8, 8a e 8b infine sono semplici studi sul comportamento dell insieme edificio-terreno. E stato infatti riprodotto nel modello un edificio poggiante su di una porzione di terreno a forma di cilindro schiacciato. All edificio sono state assegnate le proprietà materiali della muratura, Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 2

3 mentre il terreno è stato configurato con i relativi parametri di resistenza meccanica. Nel primo esempio (8) si studia l interazione fra l edificio soggetto solamente al peso proprio ed a carichi di solaio ed il terreno cedevole; nel secondo esempio (8a) si sono introdotti dei carichi verticali concentrati applicati al terreno in prossimità di un angolo dell edificio, per simulare gli effetti dovuti alla presenza di un campanile; nel terzo ed ultimo caso (8b) si studia il comportamento di un edificio composto da due corpi di fabbrica di diverse altezze, dapprima nella sua interazione col terreno, ed in seguito con i cedimenti dovuti alla presenza del campanile. In tutti e tre i modelli si sono applicati i carichi in sequenza temporale, prima il peso proprio, poi i carichi di solaio ed infine il campanile, utilizzando funzioni temporali di applicazione delle condizioni al contorno. 01- ESEMPIO 01 Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento lineare a due nodi (LINE 2). Figura 1 - Mesh e condizioni al contorno. Come si può vedere nella figura 1 e nella tabella riassuntiva dei dati di input, il modello è composto da un unico elemento lineare a due nodi, il vincolo di incastro è riprodotto imponendo che siano nulli nel nodo tutti gli spostamenti e le rotazioni, ed è stata applicata una forza verticale di intensità 10 diretta versoil basso. Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare. E stata assegnata all elemento la geometria elastic beam, trave elastica, definita attraverso i parametri relativi alla geometria della sezione, cioè area e momenti di inerzia. Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l accelerazione di gravità. I risultati che si ottengono sono perfettamente rispondenti a quelli ricavati per via analitica per intregazioni successive dell equazione della linea elastica (che si riportano di seguito), in quanto il programma nella risoluzione riconduce il problema alla linea d asse e alla sezione trasversale, secondo il modello di Eulero Bernoulli nella Teoria Tecnica della trave. In questo modello, come si può vedere nelle immagini dell output dei risultati, si possono ottenere solamente valori relativi agli estremi della trave, dove sono i nodi dell elemento, in quanto il tipo di elemento finito utilizzato per al sua semplicità non permette di riprodurre la configurazione all interno del materiale dello stato tensionale e deformativo. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 3

4 Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 4

6 Figura 2 - Spostamenti in direzione y. Figura 3 - Rotazioni attorno all asse z. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 6

7 Figura 4 - Reazioni nodali in direzione y. Figura 5 - Momento di reazione all incastro. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 7

8 02- ESEMPIO 01a Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento lineare a tre nodi (LINE 3). Figura 6 - Mesh e condizioni al contorno. Il modello è composto da un unico elemento lineare a tre nodi, il vincolo di incastro è riprodotto imponendo che siano nulli nel nodo tutti gli spostamenti e le rotazioni, ed è stata applicata una forza verticale di intensità 10 diretta versoil basso. Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare. E stata assegnata all elemento la geometria elastic beam, trave elastica, definita attraverso i parametri relativi alla geometria della sezione. Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l accelerazione di gravità. Anche in questo modello i risultati che si ottengono sono perfettamente rispondenti a quelli ricavati per via analitica. In questo modello si possono ottenere solamente valori in corrispondenza dei nodi. Di seguitano si riportano la tabella dei dati di input ed output e le immagini relative ai principali risultati ottenuti. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 8

10 Figura 7 - Spostamenti in direzione y. Figura 8 - Rotazioni attorno all asse z. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 10

11 Figura 9 - Reazioni nodali in direzione y. Figura 10 - Momento di reazione. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 11

12 03- ESEMPIO 02 Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento quadrilatero a quattro nodi (QUAD 4). Figura 11 - Mesh e condizioni al contorno. Come si può vedere nella figura 11 e nella tabella riassuntiva dei dati di input, il modello è composto da un unico elemento quadrilatero a quattro nodi, il vincolo di incastro è riprodotto imponendo che siano nulli nei nodi di sinistra gli spostamenti e le rotazioni in ogni direzione; è stata applicata in corrispondenza del lato destro dell elemento una forza verticale per unità di area di intensità 0.10 diretta versoil basso. Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare. E stata assegnata all elemento la geometria planar, piana con spessore 10 ed è stata condotta un analisi di tipo plane stress, considerando quindi la trave isolata e non porzione rappresentativa di un continuo. Non è stato considerato il peso proprio della trave, assumendo nulla l accelerazione di gravità. I risultati che si ottengono in questo modello non sono uguali a quelli ricavati per via analitica, in quanto con questo tipo di elementi il metodo risolutivo utilizzato dal programma non riconduce più il problema alla linea d asse e alla sezione trasversale secondo il modello di Eulero Bernoulli nella Teoria Tecnica della trave, bensì entrano in gioco altre funzioni (dette funzioni di forma) e metodi matriciali complessi che permettono di definire lo stato tensionale e deformativo non solo in corrispondenza dei nodi, ma anche all interno dell elemento stesso. Si intuisce perciò l importanza che riveste la definizione di una mesh opportuna in termini di regolarità e densità di elementi, riguardo alla minore o maggiore approssimazione dei risultati al reale comportamento sotto carico della struttura. Come si può vedere nelle immagini dei risultati di seguito riportate, si possono ottenere non solo i valori in corrispondenza dei nodi, ma anche diagrammi rappresentativi dello stato tensionale e deformativo all interno del materiale. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 12

14 Figura 12 - Spostamenti in direzione verticale. Figura 13 - Spostamenti in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 14

15 Figura 14 - Reazioni nodali in direzione y. Figura 15 - Reazioni nodali in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 15

16 04- ESEMPIO 02a Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con quattro elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 16 - Mesh e condizioni al contorno. Il modello è composto da quattro elementi quadrilateri a quattro nodi. Condizioni al contorno, caratteristiche meccaniche dei materiali e proprietà geometriche sono identiche all esempio precedente. I risultati che si ottengono in questo modello si avvicinano maggiormente a quelli ricavati per via analitica rispetto a quelli dell esempio 2, ma non si ritiene ancora soddisfacente il grado di approssimazione raggiunto, per cui si decide di raffittire ulteriormente la maglia degli elementi. Nella seguente tabella riassuntiva dei dati di input e dei risultati i valori ricavati analiticamente, fra parentesi, sono messi a confronto con quelli forniti dall elaboratore. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 16

18 Figura 17 - Spostamenti in direzione y Figura 18 - Spostamenti in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 18

19 Figura 19 - Reazioni in direzione y. Figura 20 - Reazioni in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 19

20 05- ESEMPIO 02b Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con dieci elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 21 - Mesh e condizioni al contorno. La mesh del modello precedente è stata nuovamente suddivisa in elementi dalle dimensioni minori, giungendo ad un modello composto da 10 elementi. Il raffittimento della mesh porta ad un ulteriore avvicinamento dei risultati ai valori ricavati analiticamente. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 20

22 Figura 22 - Spostamenti in direzione y, valori numerici. Figura 23 - Spostamenti in direzione y, diagramma a bande colorate. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 22

23 Figura 24 - Spostamenti in direzione x, valori numerici. Figura 25 - Spostamenti in direzione x, diagramma a bande colorate. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 23

24 Figura 26 - Reazioni in direzione y. Figura 27 - Reazioni in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 24

25 06- ESEMPIO 02c Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con quaranta elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 28 - Mesh e condizioni al contorno. Ulteriore raffittimento della mesh degli esempi precedenti; il presente modello è composto da 40 elementi QUAD 4. Ancora una volta la maggiore densità di elementi corrisponde ad un minore scarto fra i risultati del calcolo ed i valori ottenuti analiticamente. Nei prossimi esempi si studierà la stessa trave come modello composto di elementi tridimensionali. Oltre ai soliti diagrammi degli spostamenti e delle reazioni verticali e orizzontali, si riportano i diagrammi relativi alla distribuzione nel materiale delle tensioni di compressione e di trazione. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 25

27 Figura 29 - Spostamenti in direzione y, valori numerici. Figura 30 - Spostamenti in direzione y, diagramma a bande colorate. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 27

28 Figura 31 - Sopstamenti in direzione x, valori numerici. Figura 32 - Spostamenti in direzione x, diagramma a bande colorate. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 28

29 Figura 33 - Forze di reazione in direzione y. Figura 34 - Forze di reazione in direzione x. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 29

30 Figura 35 - Diagramma delle tensioni principali di compressione. Figura 36 - Diagramma delle tensioni principali di trazione. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 30

31 07- ESEMPIO 03 Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con dieci elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 37 - Mesh e condizioni al contorno. Il modello di questo esempio è composto da 10 elementi tridimensionali. Il confronto con l esempio 02b, composto anch esso da 10 elementi, ma piani, mostra che fra i risultati ottenuti dai due modelli non corre molta differenza (entrambi comunque si discostano notevolmente dal valore reale). In effetti essendo quello studiato un problema piano, si deduce che a parità di numero di elementi è praticamente la stessa cosa utilizzare il modello piano o quello tridimensionale, tenendo però presente che l utilizzo di elementi tridimensionali ed il conseguente aumento del numero di nodi presenti nel modello, comportano sempre un aumento di complessità del calcolo e quindi un maggiore onere computazionale. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 31

34 08- ESEMPIO 03a Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con ottanta elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 40 - Mesh e condizioni al contorno. Il presente modello, composto da 80 elementi tridimensionali conduce a risultati sempre più vicini a quelli ricavati analiticamente. Il confronto con l esempio 02b, composto anch esso da 10 elementi, ma piani, mostra che fra i risultati ottenuti dai due modelli non corre molta differenza (entrambi comunque si discostano notevolmente dal valore reale). In effetti essendo quello studiato un problema piano, si deduce che a parità di numero di elementi è praticamente la stessa cosa utilizzare il modello piano o quello tridimensionale, tenendo però presente che l utilizzo di elementi tridimensionali ed il conseguente aumento del numero di nodi presenti nel modello, comportano sempre un aumento di complessità del calcolo e quindi un maggiore onere computazionale. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 34

36 Figura 41 - Diagramma delle tensioni principali di compressione e di trazione. Figura 42 - Diagramma degli spostamenti verticali. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 36

37 09- ESEMPIO 03b Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con 640 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 43 - Mesh e condizioni al contorno. L ultimo modello della trave incastrata, composto da 640 elementi tridimensionali, fornisce risultati praticamente esatti, ma comporta un notevole aumento della complessità del calcolo. Ulteriori raffittimenti della mesh risultano controproducenti in quanto comporterebbero moli di calcolo eccessive e potrebbero addirittura portare a risultati errati; è questo il problema della convergenza, che dice che in un modello agli elementi finiti aumentando la densità della mesh ci si avvicina alla soluzione esatta fino ad un certo punto, oltre il quale, procedendo con ulteriori raffittimenti, ci si allontana da essa. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 37

40 10- ESEMPIO 04 Trave parete verticale piana incernierata agli spigoli inferiori e soggetta a carico uniformemente distribuito verticale applicato al lato superiore, modellata con 240 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 46 - Mesh e condizioni al contorno. Il presente modello, composto da 240 elementi piani, riproduce il caso di una parete verticale caricata soggetta ad un cedimento di fondazione nella sua parte centrale. Fra le condizioni al contorno si considera anche il peso proprio. Dai diagrammi dei risultati riportati di seguito si può facilmente individuare il meccanismo reagente che si forma nella parete, in pratica un arco di materiale compresso sotteso fra i due appoggi. L esempio studiato è un problema piano, per cui è inutile utilizzare elementi tridimensionali. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 40

42 Figura 47 - Diagramma delle tensioni principali di compressione. Figura 48 - Diagramma delle tensioni principali di compressione, visualizzazione dei vettori relativi al tensore di stress. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 42

43 11- ESEMPIO 05 Parete verticale piana con aperture (porta efi nestra), incernierata alla base e soggetta a carico orizzontale, modellata con 88 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 49 - Mesh e condizioni al contorno. Modello composto da 88 elementi piani, riproducente una parete muraria soggetta ad una spinta orizzontale in prossimità della parte superiore di un lato (esempio: spinta dovuta alla presenza di una volta). Come condizioni al contorno si considerano i vincoli (carrelli) alla base, le forze nodali orizzontali ed il peso proprio. Dai diagrammi dei risultati riportati di seguito si può facilmente individuare il meccanismo reagente che si forma nella parete, in pratica un arco rampante di materiale compresso; nel caso di materiale non reagente a trazione un meccanismo analogo permette alla parete muraria di contenere azioni statiche orizzontali. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 43

46 Figura 52 - Diagramma delle tensioni principali di compressione, visualizzazione dei vettori relativi al tensore di stress. Figura 53 - Diagramma delle tensioni principali di trazione, visualizzazione dei vettori relativi al tensore di stress. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 46

47 12- ESEMPIO 06 Piastra orizzontale piana incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul quarto, modellata con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). Figura 54 - Mesh e condizioni al contorno. La piastra è soggetta ad azioni fuori dal proprio piano medio, per cui non essendo un probrema piano, come evidente dai diagrammi, il calcolo non porta a risultati attendibili nel senso che non mostra la reale distribuzione di tensioni e deformazioni nello spessore dell elemento. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 47

50 13- ESEMPIO 06a Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul quarto, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 57 - Mesh e condizioni al contorno. La piastra modellata con elementi tridimensionali, come evidente nel confronto con l esempio precedente, mostra gli effetti dovuti alle azioni ad essa ortogonali, ben visibili nei diagrammi di tensioni e deformazioni di seguito riportati. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 50

53 14- ESEMPIO 07 Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a distribuzione verticale uniforme di carico sulla sua superfi cie, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 60 - Mesh e condizioni al contorno. La piastra modellata con elementi tridimensionali mostra, nella distribuzione di tensioni e deformazioni nello spessore, gli effetti dovuti alle azioni ortogonali al suo piano medio. I diagrammi di trazione e compressione ricordano l andamento delle linee di flusso delle tensioni. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 53

56 15- ESEMPIO 08 Edifi cio su porzione cilindrica di terreno modello soggetto a carichi verticali e peso proprio; edifi cio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 612elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 63 - Mesh e condizioni al contorno. Il modello è composto da una serie di elementi quadrilateri a quattro nodi, che rappresentano l edificio, ed un cilindro composto da elementi esaedrici a otto nodi più o meno regolari che rappresentano una porzione sufficientemente estesa del terreno sottostante all edificio stesso. I nodi di base del cilindro sono stati vincolati in ogni spostamento. Il materiale è stato considerato isotropo con comportamento elastico lineare, sia per la muratura che per il terreno, con differenti caratteristiche meccaniche. Sono state assegnate due differenti geometrie, shell e solid rispettivamente agli elementi dell edificio e del terreno, ed è stata condotta un analisi tridimensionale. E stato considerato il peso proprio di tutti gli elementi. I vari carichi, (peso proprio, carichi verticali) sono stati assegnati in sequenza e per incrementi per mezzo di funzioni di applicazione temporali, in modo da vedere separatamente nei vari incrementi gli effetti dovuti alle varie sollecitazioni. Il cedimento del terreno, come visibile nei diagrammi dei risultati, produce distorsioni nelle strutture dell edificio e conseguenti stati tenso-deformativi. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 56

58 Figura 64 - Diagramma delle tensioni principali di compressione. Figura 65 - Diagramma degli spostamenti verticali. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 58

59 16- ESEMPIO 08a Edifi cio su porzione cilindrica di terreno; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze verticali riproducenti l azione di compressione sul terreno di un campanile; edifi cio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 66 - Mesh e condizioni al contorno. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 59

62 17- ESEMPIO 08b Edifi cio su porzione cilindrica di terreno composto di due corpi di fabbrica a diversa altezza; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze verticali riproducenti l azione di compressione sul terreno di un campanile; edifi cio modellato con 96 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Figura 69 - Mesh e condizioni al contorno. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 62

64 Figura 70 - Diagramma delle tensioni principali di compressione al quarto incremento di carico, prima che venga applicato il carico del campanile. Figura 71 - Diagramma delle tensioni principali di trazione. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 64

65 Figura 72 - Tabelle utilizzate per l applicazione dei carichi. Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 65

66 INDICE INTRODUZIONE ESEMPIO Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento lineare a due nodi (LINE 2). 02- ESEMPIO 01a... 8 Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento lineare a tre nodi (LINE 3). 03- ESEMPIO Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con un elemento quadrilatero a quattro nodi (QUAD 4). 04- ESEMPIO 02a Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con quattro elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 05- ESEMPIO 02b Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con dieci elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 06- ESEMPIO 02c Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con quaranta elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 07- ESEMPIO Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con dieci elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 08- ESEMPIO 03a Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con ottanta elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 09- ESEMPIO 03b Trave orizzontale incastrata ad un estremità soggetta a carico concentrato verticale applicato all estremità libera, modellata con 640 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 66

67 10- ESEMPIO Trave parete verticale piana incernierata agli spigoli inferiori e soggetta a carico uniformemente distribuito verticale applicato al lato superiore, modellata con 240 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 11- ESEMPIO Parete verticale piana con aperture (porta efi nestra), incernierata alla base e soggetta a carico orizzontale, modellata con 88 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 12- ESEMPIO Piastra orizzontale piana incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul quarto, modellata con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4). 13- ESEMPIO 06a Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a carico verticale uniforme sul quarto, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 14- ESEMPIO Piastra orizzontale incastrata su tre lati e soggetta a distribuzione verticale uniforme di carico sulla sua superfi cie, modellata con 100 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 15- ESEMPIO Edifi cio su porzione cilindrica di terreno modello soggetto a carichi verticali e peso proprio; edifi cio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 612elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 16- ESEMPIO 08a Edifi cio su porzione cilindrica di terreno; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze verticali riproducenti l azione di compressione sul terreno di un campanile; edifi cio modellato con 100 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). 17- ESEMPIO 08b Edifi cio su porzione cilindrica di terreno composto di due corpi di fabbrica a diversa altezza; modello soggetto a carichi verticali, peso proprio e forze verticali riproducenti l azione di compressione sul terreno di un campanile; edifi - cio modellato con 96 elementi quadrilateri a quattro nodi (QUAD 4), terreno modellato con 720 elementi esaedrici a otto nodi (HEX 8). INDICE Arch. Riccardo Cami MSC. Marc - Software di Calcolo agli Elementi Finiti - Esercitazioni ed esempi 67