Trave isostatica Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA

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1 Trave isostatica Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA Trave a mensola, di rigidezza flessionale costante pari a EI, soggetta a forza verticale agente all estremo liero. Determinare la deformata e in particolare lo spostamento verticale dell estremo liero. Diagramma (lineare) del momemto flettente (riportato dalla parte delle fire tese, cioè al di sopra dell asse della trave) x M>0 v( x) χ >0 v( x )= spostamento trasversale della trave. Convenzione relativa a segno positivo di momento e curvatura Espressione del momento flettente: M( x) = ( x ) per 0 < x <. d v( x) Con il sistema di riferimento x, vx ( ) di figura si ha: χ ( x) =. Equazione della linea elastica: d E I v( x) = M( x ) Tenendo conto dell effettiva espressione del momento flettente, l equazione diventa: d EI v( x) = ( x ) Integrazione della precedente equazione: d E I v( x) = ( x x) + A E Ivx ( ) = ( x x ) + Ax+ B Le due costanti di integrazione A e B si determinano imponendo le seguenti due condizioni cinematiche (relative all estremo incastrato della trave): dv (0) = 0 A = 0 v(0) = 0 B= 0 Dunque la linea d asse deformata è rappresentata dall equazione: v( x) = ( x x ) ; si ha quindi che v() = ( ) = EI E I EI

2 Trave isostatica con salzo Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA Trave di rigidezza flessionale costante pari a EI, soggetta a forza verticale agente all estremo liero. Determinare lo spostamento verticale dell estremo liero caricato dalla forza. Diagramma (lineare a tratti) del momemto flettente (riportato dalla parte delle fire tese, cioè al di sopra dell asse della trave) Nella figura sottostante si evidenziano le ascisse x e x sui due tratti di trave, gli spostamenti trasversali v( x) e v( x), i momenti e le curvature positive: x x M>0 v ( x ) v ( x ) χ >0 Le espressioni del momento flettente sui due campi e sono le seguenti: M( x) = x per 0 < x < M ( x) = ( x ) per 0 < x <. Equazione della L.E. sul campo : EI v ( x) = M( x) = x (apice indica derivata) EI v ( x) = x + A EI v( x) = x + Ax+ B Equazione della L.E. sul campo : EI v ( x) = M( x) = ( x ) E Iv ( x) = x + x + C E Iv( x) = x + x + Cx + D Le 4 costanti di integrazione A, B, C e D si determinano imponendo le seguenti 4 condizioni cinematiche: v (0) = 0 B = 0 () v( ) = 0 A= () v (0) = 0 D = 0 () v ( ) = v (0) C = (4) Lo spost. verticale del punto di applicazione del carico risulta: v( ) =. EI

3 Trave isostatica vincolata con pattino e carrello e caricata da forza in mezzeria. Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA. Rigidezza flessionale (costante) pari a EI. Determinare lo spostamento verticale del pattino a terra e del punto di applicazione della forza. Diagramma del momemto flettente (riportato dalla parte delle fire tese, cioè al di sotto dell asse della trave) Nella figura sottostante si evidenziano le ascisse x e x sui due tratti di trave, gli spostamenti trasversali v( x) e v( x), i momenti e le curvature positive: x x M>0 v ( x ) v ( x ) χ >0 Le espressioni del momento flettente sui due campi e sono le seguenti: M( x) = per 0 < x < M ( x) = ( x) per 0 < x <. Equazione della L.E. sul campo : EI v ( x) = M( x) = (utilizzando l apice per indicare la derivata) EI v ( x) = x+ A E Iv( x) = x + Ax+ B Equazione della L.E. sul campo : EI v ( x) = M( x) = ( x ) E Iv ( x) = x x + C E Iv( x) = x x + Cx + D Le 4 costanti di integrazione A, B, C e D si determinano imponendo le seguenti 4 condizioni cinematiche: v (0) = 0 A = 0 () 4 v( ) = 0 D = () v ( ) = v (0) C = () v( ) = v(0) B = D+ (4)

4 Dalle () e (4) risulta B =. EI Le equazioni della deformata sui due campi sono quindi le seguenti: v( x) = ( x + ) ; EI 4 v( x) = ( x x x + ). EI Dunque lo spostamento verticale del pattino vale v(0) = ; EI lo spostamento verticale del punto di applicazione della forza vale 4 v( ) = v(0) =. EI Disegno della configurazione deformata: 4

5 Struttura isostatica in presenza di carico uniformemente distriuito. Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA. Rigidezza flessionale (costante) pari a EI. Il simolo p indica il valore del carico per unità di lunghezza. p Determinare la deformata della struttura e, in particolare, lo spostamento verticale dell estremo di sinistra dell asta caricata. Nella figura sottostante si evidenziano le ascisse x e x sui due tratti di trave, gli spostamenti trasversali v( x) e v( x), i momenti assunti come positivi (quelli che tendono le fire dalla parte del tratteggio) e le curvature positive; sono inoltre evidenziate anche le reazioni vincolari esterne. p p x M>0 x v( x) v( x) p χ >0 Le espressioni del momento flettente sulle due aste sono le seguenti: p M( x ) = per 0 < x < px p M( x ) = + per 0 < x < Equazione della L.E. per l asta : (utilizzando l apice per indicare la derivata). EI v ( x ) = M ( x ) = p Integrandola (due volte) si ha: p EI v ( x) = x+ A Equazione della L.E. per l asta : Integrandola (due volte) si ha: px p EI v ( x) = x + C p ( ) EI v x = x + Ax + B 4 p px EI v ( x) = M( x) = 4 px p ( ) EI v x = x + Cx + D 4 4 5

6 Le 4 costanti di integrazione A, B, C e D si determinano imponendo le seguenti 4 condizioni cinematiche: v (0) = 0 B = 0 () v (0) = 0 A= 0 () p v ( ) = v (0) = C () 5 4 v( ) = 0 p + C+ D = 0 (4) 4 Dalla () dalla (4) si ha: 7 D = p 4 4 Le equazioni della deformata delle due aste sono quindi le seguenti: p ( ) v x = x ; 4 EI p 4 4 v( x) = ( x x x + 7 ) 4 EI. Dunque lo spostamento verticale dell estremo di sinistra dell asta caricata vale: 4 7 p v(0) = ; 4 EI Disegno della configurazione deformata della struttura:

7 Telaio isostatico soggetto a carico concentrato. Studio della deformata con il metodo della LINEA ELASTICA. Rigidezza flessionale (costante) pari a EI. Analizzare il telaio assumendo che le aste siano assialmente indeformaili. Determinare lo spostamento orizzontale del nodo caricato dalla forza. EI= costante Diagramma del momemto flettente (riportato dalla parte delle fire tese): Nella figura sottostante si evidenziano le ascisse x e x sui due tratti di trave, gli spostamenti trasversali v( x) e v( x), i momenti assunti come positivi (quelli che tendono le fire dalla parte del tratteggio) e le curvature positive: x v ( x ) M>0 Le espressioni del momento flettente sulle due aste sono le seguenti: M( x) = x per 0 < x < x v ( x ) χ >0 M ( x) = ( x) per 0 < x < Equazione della L.E. per l asta : EI v ( x) = M( x) = x (utilizzando l apice per indicare la derivata) E Iv ( x) = x + A E Iv( x) = x + Ax+ B Equazione della L.E. per l asta : EI v ( x) = M( x) = ( x ) E Iv ( x) = x x + C E Iv( x) = x x + Cx + D 7

8 Le 4 costanti di integrazione A, B, C e D si determinano imponendo le seguenti 4 condizioni cinematiche: v (0) = 0 B = 0 () v ( ) = v (0) + A= C () v (0) = 0 D = 0 () v( ) = 0 C = (4) La condizione () consegue dall ipotesi di inestensiilità assiale dell asta (e dalla presenza della cerniera a terra alla ase dell asta ). Si noti che l inestensiilità assiale dell asta non viene sfruttata ai fini della determinazione delle 4 costanti d integrazione; da essa pero consegue che entrami gli estremi dell asta suiscono lo stesso spostamento orizzontale. 5 Dalla () e dalla (4) risulta A=. Le equazioni della deformata delle due aste sono quindi le seguenti: 5 v( x) = ( x + x) ; EI v( x) = ( x x + x). EI Dunque lo spostamento orizzontale del nodo caricato è dato da v( ) = ; EI Disegno della configurazione deformata: 8