Travi e telai elastoplastici

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1 Laoratorio di Costruzione dell rchitettura, a.a. 6-7 Introduzione al comportamento delle strutture in campo elasto-plastico Travi e telai elastoplastici Giorgio Novati Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Politecnico di ilano travi e telai elasto-plast. 1

2 Flessione-elastoplastica p e diagramma momento-rotazione (rotazione relativa tra due sezioni a distanza unitaria); diagramma ricavaile sperimentalmente Sezione con doppio asse di simmetria: diagrammi della deformazione e dello sforzo: y e ε y e ε y e ε ε diagrammi delle deformaz. ε sull altezza della sezione (le sezioni ruotano ma si mantengono piane, anche in fase elastoplastica). y e = semi-altezza del nucleo elastico e σ y e y e σ p σ diagrammi dello sforzo σ sull altezza della sezione [ si assume materiale elastico-perfettamente plastico, con tensione di snervamento σ, (comport. simmetrico a traz. e comp.) ]. σ σ σ σ travi e telai elasto-plast.

3 Flessione elasto-plastica: diagramma omento Curvatura per varie sezioni comportamento sezionale dedotto sulla ase di comportamento elastico-perfettamente plastico del materiale e p α= = e fattore di forma fattore di forma α per varie sezioni Tutte le curve tendono asintoticamente a p / e χ χ e χ e, e = curvatura e momento al limite elastico travi e telai elasto-plast. 3

4 Sezioni doppiamente simmetriche omento plastico: p = σ yd= σ Z con Z = modulo plastico = y d = S zona plasticizzata σ σ S = momento statico di metà sezione zona ancora in campo elastico (nucleo elastico) σ σ σ σ σ σ = σ + σ σ Il momento in fase elasto-plastica può essere espresso come segue: We Z Ze Quindi: p ( Z Z + W ) σ Z W = = 1 Z e e p e e e e p e e p χ e = 1 ( ) φ e χ W e = Z e = modulo di resistenza (del nucleo elastico) modulo plastico (del nucleo elastico) travi e telai elasto-plast. 4

5 Travi inflesse con sezione ad un solo asse di simmetria: comportamento elastoplastico asse aricentrico G σ σ σ σ asse di equisuperficie σ σ (a) () (c) (d) (a): distriuzione degli sforzi al limite elastico (d): distriuzione degli sforzi a completa plasticizzazione () e (c): fasi elastoplastiche intermedie travi e telai elasto-plast. 5

6 Cerniera plastica calcolo plastico di travi inflesse Si assume che in regime elastoplastico la struttura possa essere interpretata come formata da tronchi perfettamente elastici connessi da cerniere plastiche localizzate in alcune sezioni. In ogni sezione lungo la trave è potenzialmente presente una cerniera plastica interpretaile come uno + snodo ad attrito (cerniera arrugginita ) che non ruota finché < <. posizione limite dell asse neutro + tan 1 I χ + φ asse geometrico ltre ipotesi (ragionevoli per travi e telai): - il centro di rotazione relativa di due sezioni adiacenti è sull asse geometrico della trave (non si ha quindi alcuna elongazione dell asse geometrico quando si manifesta una rotaz. plast.); - taglio e azione assiale non influenzano il comportamento flessionale. travi e telai elasto-plast. 6 ϕ

7 cerniera plastica I cost. p = λ p Fase elastica: λ<λ λ : ( λ, e ) = λ p K + = = = cost. = 1 λ = p = p : λ p 4 nalisi evolutiva elasto-plastica di trave doppiamente incastrata con carico uniform. distriuito λ : moltiplicatore dei carichi λp 1 Fase elasto-plastica: λ <λ<λl λl: ( λ,k) +Δ( λl λ,k) = λ p carico ase + situazione di collasso: p = λ L p ( λ λ )p K 16 λ = L p = + + mom. flett. (x) = ( λ,x) + Δ( λ λ,x) spost. trasv. = v( λ,x) +Δv( λ λ,x) ( λ,x) Δ( λ λ,x) travi e telai elasto-plast. 7 ( λ λ )p 8

8 16 λ = nalisi evolutiva elasto-plastica di trave doppiamente incastrata con carico uniform. distriuito (continuaz.) L p 1 λ = p risorsa plastica: λ L 4 = = 1.33 λ 3 λ λ L λ diagramma carico-freccia (in mezzeria) f deform. elastica D f R L f L deform. plastica contenuta f f f deform. plastica liera momento a collasso incipiente 1 = 3 I L = = 1 8 f 1 I 3 f la freccia residua (in D): R 4 Lp 1 λ = fl = 384 I 4 I 4 3 p = λ p I cost. Scarico elastico lungo LD + = + = = cost. = p = carico ase K 3 = momento residuo (in D) 1 momento elastico per carico λ L p dal asso 3 momento residuo (risulta costante) travi e telai elasto-plast. 8

9 Trave incastrata alle estremita con carico conc. in mezzeria L iperstaticita e condizione necessaria ma non sufficiente affinche possa attuarsi una ridistriuzione dei momenti. In questo caso non avviene alcuna ridistriuzione. ll aumentare del carico si formano contemporaneamente 3 cerniere plastiche. P P + C + = = cost. I = cos t. C P = = C = 8 P L f P 8 = PL = f travi e telai elasto-plast. 9

10 Struttura isostatica: comportamento elasto-plastico Non presenta alcuna risorsa plastica (le uniche risorse plastiche sono quelle che si manifestano a livello sezionale). λ λ P / 1 P 4 + I = cost. ; = = cost. λp C D + G λ Il collasso avviene al raggiungimento del momento limite in una sezione (nodo D): la cerniera plastica che si forma (in D) trasforma la struttura in un meccanismo. Questo comportamento è tipico di tutti i sistemi isostatici. 3 P 4 λ L P/ eccanismo di collasso: λ L P C D ( λ,x) λ: ( λ,d) = 4 λ =λ L = 3P in D G travi e telai elasto-plast. 1

11 La situazione di collasso plastico La situazione limite, per λ=λ L, detta anche di collasso plastico, è così caratterizzata: λ p la struttura è sede di un meccanismo di collasso plastico; meccanismo : spostam. rigido infinitesimo delle aste, compatiile con i vincoli int. ed esterni; plastico : nel meccanismo la rotazione di ciascuna cerniera deve essere concorde con il verso del momento limite ivi presente. per λ = λ L i momenti sono conformi cioè in equilirio con i carichi (amplificati da λ L ) e compatiili con la resistenza locale: + λl (x) (,x) (x) un fattore di carico λ L + δλ di poco superiore al valore limite non è tolleraile dalla struttura: i carichi in eccesso non possono essere equilirati da incrementi di momento compatiili con i limiti di resistenza; se imposti, compiono lavoro positivo che si traduce in energia cinetica. + I = cost. + = = cost. = momento flettente a collasso (per λ=λ L ): meccanismo di collasso: λ p L travi e telai elasto-plast. 11

12 λp C D / / fase elastica: λ<λ 3 λ P 56 9 λ P 1 56 λ P ( λ,x) 7 λ : ( λ,) = in λ =6. 1^ fase el-plast. : λ <λ<λ1 ( λ λ)p C D / / 13 ( λ λ Δ( 1 λ λ,x) ) P 64 3 λ λ ( ) P 3 λ : ( λ,)+ Δ ( λ λ,) = λ 1 =6.769 ( 1 λ 1,x) = ( λ,x) +Δ( 1 λ1 λ,x) + nalisi evolutiva elasto-plastica di trave con incastro e due appoggi, con carico concentrato in ^ fase el-plast. : λ 1<λ<λ =λl ( λ λ1)p C D 1 λ λ ( 1) P risorsa plast.: / / λ: ( λ1,c)+ Δ ( λ λ 1,C) = eccanismo di collasso: λlp λ L 8 = = λ + I = cost. ; = = cost. = cerniera plastica λ =λ L = Δ( λ λ,x) 1 C D P= carico ase ( λ,x) = 1( λ 1,x) +Δ ( λ λ1,x) in C momenti a collasso travi e telai elasto-plast. 1

13 λ P C λ P D Dati: P = 1 I = cost. + = = cost. = 1 nalisi evolutiva elasto-plastica di telaio 3.4 fase elastica: λ<λ λ = 39. formaz. cerniera pl. in 8.9 ^ fase el.-plast.: λ 1<λ<λ λ = formaz. cerniera pl. in D ^ fase el.-plast.: λ <λ<λ1 λ 1 = formaz. cerniera pl. in C ^ fase el.-plast.: λ <λ<λ 3 =λl λ 3 =λ L = 5 formaz. cerniera pl. in λ L = 1.8 λ travi e telai elasto-plast. 13

14 nalisi evolutiva di travature elastoplastiche sotto carichi crescenti proporz. (calcolo passo-passo) una successione di analisi elastiche ognuna riguardante una nuova struttura meno iperstatica di quella del passo precedente*, fino alla formazione di un meccanismo. Se il sistema e caricato da forze concentrate, il momento flettente ha dei massimi in corrispondenza dei punti di applicazione dei carichi e delle sezioni di estremita delle travi; sono queste le sezioni critiche dove potranno attivarsi le cerniere plastiche. Oltre a fornire il carico di collasso, l analisi passo-passo fornisce informazioni sulle azioni interne e sul regime deformativo (spostamenti e rotaz. plastiche) lungo tutto il processo di carico [azioni interne e deformazioni sono influenzate da eventuali distorsioni (cedim. vincolari, difetti di assemlaggio, variazioni di temperatura) ] lternativa al calcolo passo-passo: e possiile determinare il carico di collasso e il meccanismo di collasso con metodi diretti ( analisi limite ) che non richiedono alcuna informazione sull evoluzione della riposta strutturale. * a meno di scarichi locali travi e telai elasto-plast. 14

15 eccanismi di collasso plastico completi ( o totali ) e incompleti (o parziali ) D C D C struttura 3 volte iperst. G meccanismo incompleto (3 cerniere plastiche) G C D C D meccanismo completo (4 cerniere plastiche) G meccanismo completo (4 cerniere plastiche) G Le azioni interne presenti a collasso in una struttura che sviluppi un meccanismo completo sono staticamente determinate (cioè possono essere calcolate con consideraz. di equilirio in ase ai momenti plastici e al moltiplicatore di collasso. Cosi non è per i meccanismi incompleti (iperstatiche residue). travi e telai elasto-plast. 15

16 Duttilità di travi inflesse in c.a. Figure tratte dal testo Progetto ntisismico di difici in Cemento rmato,. Cosenza et al., IUSS Press, 4 travi e telai elasto-plast. 16

17 Requisiti a cui devono soddisfare le connessioni in una strutt. in acciaio per l analisi in campo elasto-plastico = momento trasmesso con incrudimento Requisiti: 1. adeguata resistenza;. adeguata capacita di rotazione plastica (ad ); 3. adeguata rigidezza in campo elastico otivazioni: capacita di rotazione richiesta 1. in modo da poter trasmettere il mom. plastico (il più piccolo dei due relativi ai due elementi da connettere);. così da permettere che avvenga una redistriuzione dei momenti con successiva formazione di cerniere plastiche in altre posizioni; 3. in modo da non indurre (in campo elastico) un allontanamento progressivo della configurazione deformata rispetto all indeformata. D Solo la connessione è adeguata. C θ comport. ideale di riferimento = rotaz. relativa travi e telai elasto-plast. 17

18 sperienze comparative su nodi saldati in acciaio Fe36 e Fe51 tratto da liro assonet, Save (198) Per il nodo tipo il momento plastico teorico non viene raggiunto (l anima del nodo entra prematuramente in regime plastico). travi e telai elasto-plast. 18

19 m h Prolema di impatto su trave elasto-plastica L/ L/ t 1 = istante in cui la massa m viene lasciata cadere da altezza h [ v(t 1 ) =, con v = velocità della massa] m w max θ θ L/ L/ h (h + w max ) θ= w max L/ t = istante del contatto con la trave t 3 = istante in cui si realizza lo spostamento massimo w max secondo il meccanismo di trave di figura con cerniera plastica in mezzeria [ v(t 3 ) =, con v = velocità della massa] Forme di energia predominanti nel fenomeno: energia potenziale (P), energia cinetica (C), energia dissipata nella cerniera plastica (D). ilancio energetico tra istanti t 1 e t 3 : P(t 1) P(t 3) = D (trascurando energia elastica) 4w mg(h + w max ) = p ϕ max con ϕ= θ= L p φ (rotaz. plast.) energia dissipata Progetto trave: dati m, h, L, w max, si determina p richiesto. p mgl(h+ w max ) = 4w max travi e telai elasto-plast. 19