Sollecitazioni semplici Il Taglio

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1 Sollecitazioni semplici Il Taglio

2 Considerazioni introduttive La trattazione relativa al calcolo delle sollecitazioni flessionali, è stata asata sull ipotesi ce la struttura fosse soggetta unicamente a momento flettente costante. Questo è un caso aastanza particolare percé si caratterizza per l assenza di azione tagliante. Come accennato in precedenza dm T quindi se M costante, T0 dx Tuttavia, ance se il momento varia sezione per sezione, è ancora lecito utilizzare la formula di Navier per il calcolo delle sollecitazioni flessionali percé la presenza del taglio non modifica la distriuzione degli sforzi normali σ La presenza di azioni di taglio aggiunge una ulteriore distriuzione di sforzi ce agiscono tangenzialmente alla sezione, detti appunto di scorrimento o di taglio. La distriuzione degli sforzi di taglio dipende essenzialmente dalla forma della sezione e, in generale, non è di facile determinazione. Per i nostri scopi sarà sufficiente affrontare la trattazione relativamente al caso di sezioni rettangolari e circolari.

3 Considerazioni introduttive Il primo caso ce esamineremo è relativo a sezioni rettangolari sollecitate da taglio allineato con uno degli assi della sezione La derivazione dell espressione degli sforzi può essere ottenuta da semplici considerazioni di equilirio assumendo ce siano soddisfatte le seguenti due condizioni:. la distriuzione degli sforzi di taglio si può ritenere costante lungo qualsiasi corda (m-n) perpendicolare alla direzione di applicazione del carico. ai due ordi laterali della sezione gli sforzi di taglio sono tangenti ai ordi e quindi diretti parallelamente alla direzione del taglio Facendo riferimento alla figura, si vede ce affincè l elementino di materiale di facce parallele a quelle della trave sia in equilirio alla rotazione intorno all asse z, quando sulle facce normali all asse della trave agiscono sforzi di taglio, ance sulle altre facce di normale devono esistere tensioni uguali in modulo e dirette in modo tale ce le punte dei vettori si incontrino (a causa di questa proprietà si parla di sforzi di taglio coniugati)

4 Calcolo delle sollecitazioni τ

5 Calcolo delle sollecitazioni τ Consideriamo la porzione di trave compresa tra due sezioni poste a distanza dx e un piano parallelo alla faccia inferiore posto a distanza dall asse. Per trovare la distriuzione degli sforzi τ è sufficiente imporre l equilirio alla traslazione lungo l asse x di questa porzione di trave (n-n-p-p) ce è soggetta a tre forze F F F 3 Esistono ance forze verticali le cui componenti però non entrano in gioco nell equilirio alla traslazione orizzontale F dovuta agli sforzi di flessione σ x sulla faccia n-p F dovuta agli sforzi di taglio sulla faccia p-p F 3 dovuta agli sforzi di flessione σ x sulla faccia n-p

6 Calcolo delle sollecitazioni τ F F F 3 Gli sforzi σ x sono tipicamente diversi sulle due facce considerate percè sta variando il momento flettente (ce si incrementa di dm da una sezione all altra). Questo succede proprio percè il taglio non è nullo (se il momento fosse costante non ci saree taglio) Calcoliamo le forze F, F e F 3 ed imponiamo l equilirio F σ x d M d F σ x d M d rappresenta l area della parte di sezione sottostante la corda posta a F 3 F 3 ( M + dm ) d Per effetto dell incremento del momento flettente, sulla faccia adiacente di traccia n -p agisce il momento M+dM F F τ dx La risultante degli sforzi di taglio è data semplicemente dal prodotto della tensione tangenziale per l area della superficie. Il termine rappresenta la largezza della sezione

7 Calcolo delle sollecitazioni τ F F F 3 F Per l equilirio deve risultare + F F3 0 F F3 F τ dx ( M + dm ) d M d M d + dm d M d τ dx dm d dm d da cui si ottiene: τ dm dx d Ricordando ce dm/dx T, e ce l integrale rappresenta il momento statico S() rispetto all asse aricentrico z della parte di sezione sottesa dalla corda posta a distanza dall asse z, si a infine: τ T S ( ) Formula di ourawski

8 Osservazioni τ T S ( ) lle estremità inferiore e superiore della sezione, essendo nullo il momento statico, saranno nulle ance le tensioni di taglio. Le superficie laterali del solido sono scarice, quindi sarà nulla qualunque sollecitazione, in particolare le τ parallele all asse del solido Per l uguaglianza delle τ coniugate, ance gli sforzi dovuti al taglio agenti in direzione z, devono essere nulli alle estremità nel piano di sezione Quindi la variazione delle τ lungo dipende soltanto dall andamento del momento statico S() essendo tutti gli altri termini costanti

9 Osservazioni ( ) S T τ Il momento statico S() può essere determinato semplicemente moltiplicando l area della sezione sottesa dalla corda di lungezza per la distanza del suo aricentro dal aricentro della sezione totale ( ) S ce, inserita nella formula ( ) S T τ T τ Fornisce infine: 8

10 Osservazioni τ T Quindi l andamento delle τ è paraolico con massimo in corrispondenza dell asse aricentrico e sollecitazioni nulle agli estremi dove ±/ Il valore massimo (ottenuto per 0) è dato da: τ max T 8 e ricordando ce: τ max 3T nella quale, area della sezione rettangolare 3 Da questa relazione si può osservare come, nel caso della sezione rettangolare, esista una differenza rilevante tra il valore massimo degli sforzi e quello medio dato da T/ (50%)

11 Sforzi di taglio in sezioni non rettangolari Quando si analizzano sezioni aventi geometria differente da quella rettangolare, emerge la difficoltà legata al fatto ce gli sforzi non sempre sono tangenti al ordo della sezione Infatti per le proprietà di uguaglianza degli sforzi di taglio coniugati, e poicé le facce esterne del solido sono scarice, sulle facce laterali della trave non possono esistere componenti di τ perpendicolari al ordo. Gli sforzi di taglio devono quindi sempre essere tangenti al ordo Per esempio, in una sezione circolare questa proprietà è garantita solo in corrispondenza del diametro da una distriuzione costante e diretta come il taglio. Qualunque altra corda non rispetta questa condizione. Tuttavia la formula di ourawski riesce ancora a fornire con sufficiente precisione il valore dello sforzo di taglio laddove è massimo, ossia sul diametro perpendicolare alla forza di taglio dove è lecito considerare una distriuzione di sforzi costante e allineata con il taglio T τ max T S T 3π r T 3 essendo πr πr r r S 3π r 3 3

12 Deformazioni nel taglio Poicé gli sforzi tangenziali τ variano lungo la sezione (con legge paraolica nel caso della geometria rettangolare) ance le deformazioni non saranno costanti Nel caso delle sollecitazioni di taglio le deformazioni (dette di scorrimento o scorrimenti si indicano con la lettera greca γ Il modo in cui si deforma un elementino di materiale sottoposto a sforzi di taglio prevede ce camino gli angoli (inizialmente retti) formati dalle facce Per i materiali a comportamento lineare elastico la legge di Hooke per il taglio esprime una proporzionalità tra τ e γ per mezzo della costante G detta modulo di elasticità tangenziale τ G γ G è legato al modulo di elasticità E attraverso la relazione G E + ν Queste relazioni mostrano come per un materiale lineare omogeneo e isotropo i valori delle costanti E, G e ν non sono indipendenti tra loro

13 Deformazioni nel taglio In una sezione rettangolare di un solido soggetto a taglio, quindi, le deformazioni γ seguono l andamento delle τ, dovendo valere: τ G γ Non essendo questi angoli γ uguali in tutti i punti, la sezione, in origine piana, dopo la deformazione presenta un ingoamento caratterizzato dalla presenza di un punto di flesso in corrispondenza dello sforzo di taglio massimo, mentre alle estremità, essendo γ0, il profilo della deformata resta perpendicolare alle superfici superiore ed inferiore del solido Lo spostamento relativo dη tra due sezioni adiacenti può essere valutato per mezzo della deformazione media γ med come segue: dη γ med dx La deformazione media si può esprimere in generale come: γ med χ T G γ τ G Dove χ è una costante detta fattore di taglio ce dipende dalla forma della sezione

14 Taella fattori di Taglio γ med V χ G Dove χ è una costante detta fattore di taglio ce dipende dalla forma della sezione

15 Esempio Una arra di acciaio di lungezza 3 m deve sostenere i carici concentrati mostrati in figura. Sapendo ce le sollecitazioni ammissiili sono σ.6 MPa τ 0.8 MPa Si determini il diametro minimo della arra 000 N 000 N 500 N B 3 m