Il Problema del De Saint Venant
|
|
- Fabio Blasi
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Il Problema del De Saint Venant Tema 1 Si consideri una trave di acciaio di lunghezza L = m e con sezione retta a corona circolare di raggio esterno R = 30 cm e raggio interno r = 0 cm, che rispetti le ipotesi del De Saint Venant. Si consideri inoltre un riferimento Cartesiano in cui l asse z coincida con la linea d asse della trave e gli assi x e y siano centrati nel baricentro della sezione d estremità per z = 0, cosicché z [0, L]. La trave sia caricata sulle basi d estremià con distribuzioni di forze superficiali tali che sulla base per z = L la risultante ed il momento risultante rispetto al baricentro della sezione retta sono, rispettivamente: R L = (0, 0, 150) N; M L = ( 100, 100, 00) N m. Si determini: a) la risultante ed il momento risultante sulla base per z = 0; b) il campo di tensione soluzione del problema alla De Saint Venant; c) le distribuzioni di carico superficiale sulle basi estremali per le quali la soluzione del problema alla De Saint Venant é ovunque esatta; d) lo stato di tensione nel punto P = (5, 5, 100) cm, discutendo la sua eventuale planarità e determinando il piano delle tensioni; e) un riferimento principale di tensione in P ; f) un riferimento principale di deformazione in P ; g) il lavoro di deformazione per il solido; h) la variazione di volume del solido. a) Per l equilibrio globale del solido a trave in esame deve risultare: R 0 = R L, M 0 = M L essendo R 0 e M 0 la risultante ed il momento risultante, rispetto al baricentro della sezione retta, relativi alla base per z = 0. 67
2 68 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata b) Il campo di tensione soluzione del problema alla De Saint Venant in esame é: T(x, y, z) = 0 0 τ xz 0 0 τ yz τ xz τ yz σ z essendo τ xz = M t I p y = y N/m τ yz = M t I p x = x N/m σ z = N A + M x y M y x = y x N/m dove, avendo indicato con e i (con i = x, y, z) i versori coordinati, si é posto: N = R L e z = 150 N, M y = M L e y = 100; Nm, M x = M L e x = 100 Nm M t = M L e z = 00 Nm A = π(r r ) = 0.16 m, = = π(r4 r 4 ) 4 = I p = m4 c) Le distribuzioni superficiali di carico sulle basi di estremità per le quali la soluzione alla De Saint Venant é ovunque esatta, si ricavano imponendo l equilibrio ai limiti. Pertanto, sulla base per z = 0: p 0 = T( e z ) = ( y, x, y x) T mentre sulla base per z = L: p L = Te z = ( y, x, y x) T d) Lo stato di tensione nel punto P assegnato risulta banalmente: T(P ) = N/m sym Inoltre, com é noto, detto stato di tensione deve risultare piano. Infatti I 3 = det(t ) = 0. Tenuto conto che in P il vettore τ z risulta pari a e che τ z = (τ xz, τ yz, 0) T = ( 1, 1, 0) T
3 Il Problema del De Saint Venant 69 M B z nm (// t z ) t z n 1 e z n z C n (// e z ) A z Fig. 1 Costruzione grafica del cerchio di Mohr relativa al tema 1. e z τ z = ( 1, 1, 0) T allora il piano π delle tensioni in P ha equazione: x y = 0 avendo ricavato il termine noto della precedente imponendo la condizione di appartenenza di P a π. e) In virtù di quanto osservato al punto d), in P la direzione ortogonale a π, cioé e π = 1 ( 1, 1, 0) T, é sicuramente principale di tensione. Per ricavare le altre due direzioni principali di tensione, dovendo queste essere sul piano π trovato, si può fare ricorso alla costruzione grafica di Mohr. In particolare, detto t z = τ z / τ z il versore associato al vettore τ z, nel riferimento (e z, t z, e π ) lo stato di tensione in P si rappresenta come segue: T(P ) = σ z τ z t z τ z t z 0 0 = N/m Conseguentemente, assumendo il piano di rappresentazione del cerchio di Mohr coincidente con π e considerando l asse delle σ n parallelo a e z e l asse delle τ nm parallelo a t z, si ricavano le direzioni principali di tensione n 1 e n che insieme a e π definiscono un riferimento principale di tensione in P (cf. figura 1). f) Poiché il materiale costituente la trave é a comportamento elastico lineare isotropo, allora il riferimento principale di deformazione in P coincide con il riferimento principale di tensione. g) Il lavoro di deformazione risulta:
4 70 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata a a/4 C a a/4 a/4 Fig. Sezione retta relativa al tema. a E = 1 ( L σz A E + τ ) xz + τyz da G ( = 1 L N EA + M x + M ) y + M t E E GI p = J avendo assunto per l acciaio E = MPa, ν = 0.3 e quindi risultando G = MPa. h) Infine, poiché la variazione di volume di una trave alla De Saint Venant é causata dal solo sforzo normale N, si ricava: Ω = Ω I 1 NL dω = = 0.6 mm3 K K essendo K = E/(1 ν) = MP a. Tema Assegnata per un solido alla De Saint Venant la sezione riportata in figura con a = 10 cm, si determini la distribuzione delle tensioni normali σ z nel caso di sollecitazione di sforzo normale eccentrico applicato in C, indicandone i valori massimo e minimo. Si utilizzi il metodo dei momenti di nocciolo considerando per lo sforzo normale il valore N = 100 N. Si verifichino i risultati tramite le formule monomia e trinomia. Si valuti inoltre il luogo delle posizioni del centro di pressione sull asse congiungente il punto C assegnato al baricentro della sezione, relativamente alle quali é assicurato uno stato di sollecitazione di sola trazione.
5 Il Problema del De Saint Venant 71 n 1 P 1 C P d n* P d n* P n * m y o x E e m en* G E 1 n O x o y s P Fig. 3 Notazione e convenzioni relative al tema. Rispetto ad un riferimento di comodo (O, x o, y o ) scelto come indicato in figura 3, le coordinate del baricentro per la sezione assegnata risultano: x G = 10 cm, y G = 5.94 cm Vista la simmetria della sezione, il riferimento (G, x, y) riportato in figura 3 é principale di inerzia ed in particolare, utilizzando il teorema del trasporto, risulta: = cm 4 ρ x = 5.4 cm = cm 4 ρ y = 4.35 cm essendo A = 100 cm l area della sezione retta proposta. Riferendosi d ora in poi al riferimento principale di inerzia introdotto, il centro delle pressioni C ha coordinate(e x, e y ) T = (5, 6.56) T cm, cosicché l eccentricità risulta e = e x + e y = 8.5 cm. Il coefficiente angolare dell asse di sollecitazione s si ricava come: tan α = e y e x = 1.31 Conseguentemente, l equazione dell asse dei momenti m é: m) y = tan γ x = 1 tan α x = 0.76 x mentre l equazione dell asse n, coniugato baricentrico di s, risulta:
6 7 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata n ) y = tan β x = tan γ x = 1.18 x essendo β = o l angolo che l asse n forma con l asse delle x. Le direzioni degli assi m e n possono caratterizzarsi tramite i versori e m e e n (cf. figura 3), rispettivamente definiti come: { } { } e m = = 1 + tan γ tan γ 0.61 { } { } e n = = 1 + tan β tan β 0.76 Conseguentemente, l angolo δ fra l asse m e n é tale che: cos δ = e m e n = 0.98 Inoltre, il momento di figura del secondo ordine per la sezione retta assegnata, rispetto all asse n e valutato considerando le distanze ortogonali, può valutarsi come: I n = + + cos β = 33.5 cm 4 D altra parte, detta d r P la distanza del generico punto P dalla generica retta r, valutata ortogonalmente a quest ultima e, detta d rp la distanza di P da r valutata parallelamente ad s (cioé considerando distanze oblique), é noto che risulta d r P = d rp cos δ. Pertanto, il momento di figura del secondo ordine rispetto all asse n ed in distanze oblique é: I n = I n cos = cm4 δ Si considerino ora le rette n 1, n parallele ad n e tangenti estreme alla figura rispettivamente in P 1, P. Dalla figura 3 é immediato ricavare che P 1 = (x P1, y P1 ) T = (5, 9.06) T cm, P = (x P, y P ) T = ( 10, 5.94) T cm e pertanto le rette n 1, n hanno equazione: n 1 ) y = tan β (x x P1 ) + y P1 y = 1.18 x n ) y = tan β (x x P ) + y P y = 1.18 x Ne consegue che i moduli delle distanze oblique del baricentro G della sezione da n 1 e n risultano pari a: d n 1 G = d n 1 G cos δ = 1 tan βx P1 + y P1 = 9.90 cm cos δ 1 + tan β d n G = d n G cos δ = 1 tan βx P + y P = cm cos δ 1 + tan β
7 Il Problema del De Saint Venant 73 z P 1 n * n 1 C n x G n y s P Fig. 4 Diagramma delle tensioni σ z relativo al tema. e quindi i raggi di nocciolo distesi su s, cioé le misure dei segmenti E 1 G e E G, risultano: E 1 G = E G = ρ n d =.46 cm n 1 G ρ n d =.07 cm n G essendo ρ n = I n /A. In definitiva, i valori massimo e minimo per σ z si registrano in corrispondenza dei punti P 1 e P rispettivamente e, sfruttando il metodo dei momenti di nocciolo, risultano: σ z (P 1) = N ( 1 + e ) = 4.35 N/cm A E 1 G σ z (P ) = N ( 1 e ) =.98 N/cm A E G Corrispondentemente, é possibile tracciare il diagramma delle σ z per tutti i punti della sezione retta, come riportato in figura 4. Per ciò che concerne la verifica dei risultati appena ottenuti tramite la formula monomia, si osservi che allo sforzo normale eccentrico assegnato corrisponde il momento flettente M = Ne = 85.0 N cm. Inoltre, l equazione dell asse neutro n, antipolare per C, risulta: n) e x x ρ y + e y y ρ x + 1 = x 0. y + 1 = 0
8 74 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata e quindi d np 1 = d np 1 cos δ = 1 e x x P1 ρ y cos δ ( ex ρ y d np = d np cos δ = 1 e x x P ρ y cos δ ( ex ρ y + ey y P 1 ρ x ) + ( ey ρ x + e y y P ρ x ) + ( ey ρ x + 1 ) = 1.86 cm + 1 ) = 8.79 cm Conseguentemente, utilizzando la formula monomia, si ricavano gli stessi valori ricavati in precedenza: σ z (P 1 ) = M I n d np 1 = 4.35 N/cm σ z (P ) = M I n d np =.98 N/cm Analogamente, considerando le componenti del momento flettente lungo gli assi coordinati, cioé M x = Ne y = N cm e M y = Ne x = 500 N cm, anche attraverso la formula trinomia si ottengono ancora i valori massimo e minimo di σ z già trovati: σ z (P 1 ) = N A + M x y P1 M y x P1 = 4.35 N/cm σ z (P ) = N A + M x y P M y x P =.98 N/cm Infine, il luogo dei centri di pressione su s che assicura uno stato di trazione per tutti i punti della sezione retta é definito dal segmento E 1 E, intersezione del nocciolo centrale della sezione con l asse s. In questo caso, infatti, l asse neutro non tagli ala sezione e quindi, essendo N positivo, tutti i punti della sezione sono soggetti a trazione. Tema 3 Si consideri un solido alla De Saint Venant in acciaio di lunghezza L = 3 m, la cui sezione retta é indicata in figura 5, con a = 15 cm. La trave sia caricata sulle basi d estremià con distribuzioni di forze superficiali tali che sulla base per z = L la risultante sia nulla ed il momento risultante rispetto al baricentro della sezione retta sia M L = (500, 50, 0) KN cm, avendo espresso il vettore M L nel riferimento di comodo (O, x o, y o ) indicato in figura
9 Il Problema del De Saint Venant 75 a a x o O y o a a a Fig. 5 Sezione retta relativa al tema Si determini: a) il diagramma delle σ z, l asse neutro e l asse di flessione; b) le componenti di spostamento per punti sulla linea d asse della trave; c) l energia elastica immagazzinata dal solido e la sua variazione di volume; d) il valore dello sforzo normale supplementare da applicare nel baricentro della sezione retta affinché non siano presenti punti soggetti a trazione. a) Rispetto al riferimento di comodo (O, x o, y o ) assegnato, le coordinate del baricentro per la sezione proposta risultano: x G =.5 cm, y G = 11.5 cm Vista la simmetria della sezione, il riferimento (G, x, y) riportato in figura 6 é principale di inerzia ed in particolare, utilizzando il teorema del trasporto, risulta: = cm 4 = cm 4 essendo A = 900 cm l area della sezione retta proposta. Riferendosi d ora in poi al riferimento principale di inerzia introdotto, le tensioni normali σ z sono descritte dalla funzione: σ z = M x y M y x = 9.1y +.1x e quindi l equazione dell asse neutro n risulta: n) M x y M y x = 0 y = 0.3 x Conseguentemente, l equazione dell asse di flessione f, ortogonale all asse n, risulta:
10 76 G. Vairo - Università di Roma Tor Vergata P 1 n G z x P f y Fig. 6 Diagramma delle tensioni σ z relativo al tema 3. f) y = M x M y x y = 4.35 x In figura 6 é riportato il diagramma delle σ z, costruito valutando le distanze dall asse neutro in modo ad esso ortogonale. Si noti che i valori minimo e massimo di σ z si attingono rispettivamente nei punti P 1 e P indicati. In particolare, risultando P 1 = (x P1, y P1 ) T = ( 7.50, 18.75) T cm e P = (x P, y P ) T = (.5, 11.5) T cm, si ricava: σ (min) z = σ z (P 1 ) = N/cm σ (max) z = σ z (P ) = N/cm b) Sovrapponendo gli effetti relativi alle flessioni rette lungo x e y presenti, si ottiene, a meno di moti rigidi, il seguente campo di spostamento: u = ν M x E xy + M y E [z + ν(x y )] v = M x E [z ν(x y )] + ν M y E xy w = M x E yz M y E xz Pertanto, per i punti sulla linea d asse (cioé per x = 0, y = 0) si ottiene: u = ( )z cm v = ( )z cm w = 0 avendo assunto per l acciaio E = N/cm e ν = 0.3.
11 Il Problema del De Saint Venant 77 c) L energia elastica immagazzinata dalla trave risulta: E = 1 MxL + 1 My L = J E E mentre, non essendo presente sollecitazione di sforzo normale, la variazione di volume del solido é identicamente nulla. d) Detto N lo sforzo normale supplementare da applicare nel baricentro G, la tensione σ z complessiva risulta, per sovrapposizione degli effetti, pari a: σ z = M x y M y x + N A = 9.1y +.1x + N( ) N/cm Poiché la sovrapposizione di N in G non varia l inclinazione dell asse neutro rispetto al caso precedente, i punti più distanti dal nuovo asse neutro risultano ancora P 1 e P. Affinché non vi siano punti della sezione retta soggetti a trazione deve risultare che in P, dove in precedenza si attingeva la massima σ z, si registri ora un valore al più nullo di σ z : σ z (P ) = 9.1y P +.1x P + N( ) 0 Pertanto, i valori di N che assicurano la condizione richiesta sono: N KN
12
Dimensionamento delle strutture
Dimensionamento delle strutture Prof. Fabio Fossati Department of Mechanics Politecnico di Milano Lo stato di tensione o di sforzo Allo scopo di caratterizzare in maniera puntuale la distribuzione delle
DettagliNOTA 3. VETTORI LIBERI e VETTORI APPLICATI. Negli esempi visti sono stati considerati due tipi di vettori :
NOTA 1 VETTOI LIBEI e VETTOI APPLICATI Negli esempi visti sono stati considerati due tipi di vettori : 1) Vettori liberi, quando non è specificato il punto di applicazione. Di conseguenza ad uno stesso
DettagliMOMENTI DI INERZIA. m i. i=1
MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema
DettagliLa modellazione delle strutture
La modellazione delle strutture 1 Programma 31-1-2012 Introduzione e brevi richiami al metodo degli elementi finiti 7-2-2012 La modellazione della geometria 14-2-2012 21-2-2012 28-2-2012 6-3-2012 13-32012
DettagliUniversità degli Studi della Basilicata Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi della Basilicata Facoltà di Ingegneria Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI Docente: Collaboratori: Prof. Ing. Angelo MASI Dr. Ing. Giuseppe Santarsiero Ing. Vincenzo Manfredi RICHIAMI
DettagliRETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliSESSIONE ORDINARIA 2007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE
SESSIONE ORDINARIA 007 CORSO DI ORDINAMENTO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO - AMERICHE PROBLEMA Si consideri la funzione f definita da f ( x) x, il cui grafico è la parabola.. Si trovi il luogo geometrico dei
DettagliMURI DI SOSTEGNO. a cura del professore. Francesco Occhicone
MURI DI SOSTEGNO a cura del professore Francesco Occhicone anno 2014 MURI DI SOSTEGNO Per muro di sostegno si intende un opera d arte con la funzione principale di sostenere o contenere fronti di terreno
DettagliCONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA Facoltà di Ingegneria A.A. 2009/10
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PDOV Facoltà di Ingegneria Corso di Disegno Tecnico Industriale per i Corsi di Laurea triennale in Ingegneria Meccanica e in Ingegneria dell Energia Costruzioni geometriche in
DettagliDefinizione Dati due insiemi A e B, contenuti nel campo reale R, si definisce funzione reale di variabile reale una legge f : A
Scopo centrale, sia della teoria statistica che della economica, è proprio quello di esprimere ed analizzare le relazioni, esistenti tra le variabili statistiche ed economiche, che, in linguaggio matematico,
Dettaglia.a. 2012/2013 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE
TIPOLOGIE DI SOLAIO a.a. 2012/2013 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE FRANCESCO MICELLI TIPOLOGIE Gettati in opera Parzialmente prefabbricati Completamente prefabbricati Monodirezionali Bidirezionali
DettagliSOLUZIONE ESERCIZIO 1.1
SOLUZIONE ESERCIZIO 1.1 La temperatura di fusione ed il coefficiente di espansione termica di alcuni metalli sono riportati nella tabella e nel diagramma sottostante: Metallo Temperatura di fusione [ C]
DettagliMINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO
Sessione Ordinaria in America 4 MINISTERO DELL'ISTRUZIONE, DELL'UNIVERSITÀ, DELLA RICERCA SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (Americhe) ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 4 SECONDA PROVA SCRITTA
DettagliProiezioni Grafica 3d
Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente
DettagliVerifiche di sicurezza di una costruzione 1/2
Verifiche di sicurezza di una costruzione 1/2 Le costruzioni devono soddisfare opportuni requisiti di sicurezza nei confronti della loro capacità portante Capacità portante Attitudine di una struttura
DettagliTecnologia dei Materiali e Chimica Applicata
Franco Medici Giorgio Tosato Tecnologia dei Materiali e Chimica Applicata Complementi ed esercizi Copright MMIX ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo,
DettagliCorso di Geologia Applicata
Tecnologie per i Beni Culturali Corso di Geologia Applicata Dott. Maria Chiara Turrini Applicando uno sforzo (stress carico - pressione) crescente al mattone questo, superata una certa soglia di carico
DettagliInformatica Grafica. Un introduzione
Informatica Grafica Un introduzione Rappresentare la Geometria Operabile da metodi di calcolo automatici Grafica Vettoriale Partiamo dalla rappresentazione di un punto... Spazi Vettoriale SPAZI VETTORIALI
DettagliDOMINIO = R INTERSEZIONI CON ASSI
STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA a cura di Maria Teresa Bianchi La funzione è razionale intera ed è espressa in forma normale da: #1: y = a x + b x + c x + d I coefficienti del polinomio di grado a secondo
Dettagli(7) Nel calcolo della resistenza di un collegamento ad attrito il coefficiente di attrito µ dipende: (punti 3)
Domande su: taglio, flessione composta e collegamenti. Indica se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa (per ciascuna domanda punti 2) (1) L adozione di un gioco foro-bullone elevato semplifica
DettagliCRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI
CRITERI DI RESISTENZA DEI MATERIALI Tutti i materiali da costruzione rimangono in campo elastico sino ad una certa entità delle sollecitazioni su di essi agenti. Successivamente, all incrementare dei carichi,
DettagliPROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione
prof. Guida PROBLEMI DI SCELTA dipendenti da due variabili d azione in un problema di programmazione lineare, si ricorda che la funzione obiettivo z=f(x,y)=ax+by+c assume il suo valore massimo (o minimo)
Dettagli4. Proiezioni del piano e dello spazio
4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,
DettagliIl potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare V sx dovuto alla carica a sinistra:
1. Esercizio Calcolare il potenziale elettrico nel punto A sull asse di simmetria della distribuzione di cariche in figura. Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 µc dall infinito al
DettagliGIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω
GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,
Dettaglibensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo
Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.
Dettagli5 DERIVATA. 5.1 Continuità
5 DERIVATA 5. Continuità Definizione 5. Sia < a < b < +, f : (a, b) R e c (a, b). Diciamo che f è continua in c se sono verificate le ue conizioni: (i) c esiste (ii) = f(c) c Si osservi che nella efinizione
DettagliLezione. Tecnica delle Costruzioni
Lezione Tecnica delle Costruzioni 1 Flessione composta tensoflessione Risposta della sezione Campo elastico σ + A I Risposta della sezione Al limite elastico el, Per calcolare el, : σ A + el, I f f + el,
DettagliLo studio del campo di tensione e di deformazione esistente in una qualsiasi struttura, in conseguenza dell applicazione di sollecitazioni esterne, è
Lo studio del campo di tensione e di deformazione esistente in una qualsiasi struttura, in conseguenza dell applicazione di sollecitazioni esterne, è di fondamentale importanza per poterne definire il
DettagliDispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Meccanica dei solidi e delle travi. Prof. Daniele Zaccaria
Dispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Prof. Daniele Zaccaria Dipartimento di Ingegneria Civile e Architettura Università di Trieste Piazzale Europa 1, Trieste Meccanica dei solidi e delle travi
DettagliGeneralità e note di teoria
Capitolo 1 Generalità e note di teoria In questo capitolo sono riportate alcune note delle teorie utilizzate, riguardanti: Verifiche di resistenza. Dati del problema e convenzioni. Ipotesi fondamentali.
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliL EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare
L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio
DettagliProprietà elastiche dei corpi
Proprietà elastiche dei corpi I corpi solidi di norma hanno una forma ed un volume non facilmente modificabili, da qui deriva la nozioni di corpo rigido come corpo ideale non deformabile. In realtà tutti
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
DettagliDinamica del corpo rigido: Appunti.
Dinamica del corpo rigido: Appunti. I corpi rigidi sono sistemi di punti materiali, discreti o continui, che hanno come proprietà peculiare quella di conservare la loro forma, oltre che il loro volume,
DettagliMATERIA Meccanica, Macchine ed Energia. DIPARTIMENTO DI Meccanica
Anno scolastico: 2014-2015 Classe: 4^BMM MATERIA Meccanica, Macchine ed Energia Insegnante: Gaspare Di Como Insegnante Compresente: Francesco Porco DIPARTIMENTO DI Meccanica PROGRAMMAZIONE SVOLTA MODULO
DettagliMaturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente
DettagliPROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA
Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella
DettagliESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO
ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un
DettagliCapitolo 1. Integrali multipli. 1.1 Integrali doppi su domini normali. Definizione 1.1.1 Si definisce dominio normale rispetto all asse
Contenuti 1 Integrali multipli 2 1.1 Integralidoppisudomininormali... 2 1.2 Cambiamento di variabili in un integrale doppio. 6 1.3 Formula di Gauss-Green nel piano e conseguenze. 7 1.4 Integralitripli...
DettagliAgostinetti Piero (425902/IM)
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PADOVA FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica LABORATORIO DI ANALISI STRUTTURALE CON ANSYS 5.6: VERIFICHE STRUTTURALI PER IL BILANCERE DELLA PIATTAFORMA
DettagliDIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO
DIMENSIONAMENTO DI UN PILASTRO Si dimensioni un pilastro nelle tre diverse tecnologie: legno, acciaio e cemento armato. Osservando una generica pianta di carpenteria, il pilastro centrale sarà quello maggiormente
DettagliESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare
Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare Si immagini un individuo che ha a disosizione un budget di 500 euro e deve decidere come allocare tale budget tra un bene, che ha un
DettagliProva intercorso di Fisica 2 dott. Esposito 27/11/2009
Prova intercorso di Fisica 2 dott. Esposito 27/11/2009 Anno di corso: 1) Una carica puntiforme q=-8.5 10-6 C è posta a distanza R=12 cm da un piano uniformemente carico condensità di carica superficiale
Dettagli2. Giovedì 5/03/2015, 11 13. ore: 2(4) Spazi vettoriali euclidei. Vettori nello spazio fisico: Prodotto scalare e prodotto
Registro delle lezioni di MECCANICA 1 Corso di Laurea in Matematica 8 CFU - A.A. 2014/2015 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 21 maggio 2015 1. Lunedì 2/03/2015, 11 13. ore: 2(2) Presentazione
DettagliIntroduzione a GeoGebra
Introduzione a GeoGebra Nicola Sansonetto Istituto Sanmicheli di Verona 31 Marzo 2016 Nicola Sansonetto (Sanmicheli) Introduzione a GeoGebra 31 Marzo 2016 1 / 14 Piano dell incontro 1 Introduzione 2 Costruzioni
Dettagli13. Campi vettoriali
13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello
DettagliIntegrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
DettagliCapitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi
Capitolo 6 sercizi sugli integrali doppi Brevi richiami di teoria Sia f : [a, b] [c, d] B IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] [c, d]. Dividiamo l intervallo [a,
DettagliFigura 1: Azioni generalizzate sul concio infinitesimo di piastra. dx dy = 0 (1)
Equazione risolvente delle piastre sottili Al fine di determinare l equazione della superficie elastica, cioè l unica incognita del problema, dato che tutte le altre grandezze sono scritte in funzione
DettagliEsempio prova di esonero Fisica Generale I C.d.L. ed.u. Informatica
Esempio prova di esonero Fisica Generale I C.d.L. ed.u. Informatica Nome: N.M.: 1. Se il caffè costa 4000 /kg (lire al chilogrammo), quanto costa all incirca alla libbra? (a) 1800 ; (b) 8700 ; (c) 18000
Dettaglib) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:
Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere
Dettagli09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
DettagliCALCOLO DELLE UNIONI BULLONATE: VERIFICHE AL TAGLIO
UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI BERGAMO Facoltà di Ingegneria PROGETTAZIONE DEI SISTEMI MECCANICI Prof. Sergio Baragetti CALCOLO DELLE UNIONI BULLONATE: VERIFICHE AL TAGLIO RIFERIMENTI NORMATIVI E BIBLIOGRAFIA:
DettagliI.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA NAPOLI ANNO SCOLASTICO 2014/2015. CLASSE III SEZ. Ae INDIRIZZO LICEO ECONOMICO PROGRAMMA DI FISICA
I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA NAPOLI ANNO SCOLASTICO 2014/2015 CLASSE III SEZ. Ae INDIRIZZO LICEO ECONOMICO PROGRAMMA DI FISICA PROFESSORESSA: REGALBUTO PAOLA LE GRANDEZZE: LE GRANDEZZE FONDAMENTALI E DERIVATE,
DettagliIl Principio dei lavori virtuali
Il Principio dei lavori virtuali Il P..V. rientra nella classe di quei principi energetici che indicano che i sistemi evolvono nel senso di minimizzare l energia associata ad ogni stato di possibile configurazione.
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliProva scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012
Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100
DettagliCalcolo integrale in più variabili
ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra
DettagliCorso di ordinamento Sessione straordinaria - a.s. 2009-2010 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA
Sessione straordinaria - a.s. 9- ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO SESSIONE STRAORDINARIA Tema di: MATEMATICA a.s. 9- Svolgimento a cura di Nicola De Rosa Il candidato risolva uno
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze
DettagliTAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO
TAVOLE E FORMULARI DI MATEMATICA PER LE SCUOLE MEDIE E SUPERIORI DI OGNI ORDINE E GRADO Carlo Sintini www.matematicamente.it INDICE TAVOLE NUMERICHE Potenze e radici quadre e cube dei numeri fino a 200
DettagliQuesito 1 Piano cartesiano. Quesito 2 Equazioni. Quesito 3 Geometria solida. Quesito 4 Leggi di Ohm. x x x
Esame di stato scuola media Esempio di tema d esame 002 UbiMath - 1 Quesito 1 Piano cartesiano Fissando come unità di misura il metro (1 cm = 1 m = unità di misura) rappresenta in un piano cartesiano ortogonale
DettagliHorae. Horae Software per la Progettazione Architettonica e Strutturale
1 IL MATERIALE X-LAM Nel programma CDSWin il materiale X-LAM pu ò essere utilizzato solo come elemento parete verticale. Quindi, dal punto di vista strutturale, il suo comportamento è prevalentemente a
DettagliSforzo normale e flessione
Capitolo 4 Sforzo normale e flessione La condizione di sollecitazione più generale che produce tensioni normali è la combinazione di sforzo normale e flessione. La flessione semplice, esaminata nel capitolo
DettagliE 0 = E 1 2 + E 0. 2 = E h. = 3.2kV / m. 2 1 x. κ 1. κ 2 κ 1 E 1 = κ 2 E 2. = κ 1 E 1 x ε 0 = 8
Solo Ingegneria dell Informazione e Ingegneria dell Energia (Canale 2 e DM 59) Problema Due condensatori piani C e C, uguali ad armature quadrate separate dalla distanza, sono connessi in parallelo. Lo
DettagliSoluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso
DettagliLiceo Scientifico Statale. Leonardo da Vinci. Fisica. Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B. DOCENTE Elda Chirico
Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Fisica Programma svolto durante l anno scolastico 2012/13 CLASSE I B DOCENTE Elda Chirico Le Grandezze. Introduzione alla fisica. Metodo sperimentale. Grandezze
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliIntegrali di superficie: esercizi svolti
Integrali di superficie: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali superficiali sulle superfici
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliCAMPI E LORO PROPRIETÀ
CMPI E LORO PROPRIETÀ 1.1 Introduzione ia una regione nello spazio in cui, in ogni suo punto, sia definita una grandezza g. La regione si dice allora soggetta ad un campo. Un campo può essere scalare,
DettagliA3.4 Le travature reticolari
A3.4 Le travature reticolari poliglotta Travatura reticolare GB: Truss F: Poutre à croisillons D: Fachwerkträger richiamo Alcuni esempi di travature reticolari: i tralicci utilizzati per il trasporto dell
DettagliProtocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale
Protocollo dei saperi imprescindibili Ordine di scuola: professionale DISCIPLINA: MATEMATICA RESPONSABILE: CAGNESCHI F. IMPERATORE D. CLASSE: prima servizi commerciali Utilizzare le tecniche e le procedure
DettagliDurata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3
Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A
LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula
DettagliTorsione Prova di torsione su un cilindro cavo
Torsione e taglio Torsione Prova di torsione su un cilindro circolare cavo Sforzi tangenziali al variare del sistema di riferimento Barre di sezione circolare Sezione circolare cava Sezioni di forma qualunque
DettagliProgramma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)
1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo
DettagliIllustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
DettagliVertici opposti. Fig. C6.1 Definizioni relative ai quadrilateri.
6. Quadrilateri 6.1 efinizioni Un poligono di 4 lati è detto quadrilatero. I lati di un quadrilatero che hanno un vertice in comune sono detti consecutivi. I lati di un quadrilatero non consecutivi tra
Dettagli7 Applicazioni ulteriori
7 Applicazioni ulteriori 7 Applicazioni ulteriori 7.1 Strutture con maglie chiuse 7.1.1 Analisi cinematica Si consideri la struttura in figura 7.1: i gradi di libertà sono pari a l =3n c v =3 0 3 = 0,
Dettagli2 R = mgr + 1 2 mv2 0 = E f
Esercizio 1 Un corpo puntiforme di massa m scivola lungo la pista liscia di raggio R partendo da fermo da un altezza h rispetto al fondo della pista come rappresentato in figura. Calcolare: a) Il valore
DettagliDERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia
DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti
DettagliDispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Sistemi di travi. Prof. Daniele Zaccaria
Dispense del Corso di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Prof. Daniele Zaccaria Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università di Trieste Piazzale Europa 1, Trieste Sistemi di travi Corsi di Laurea in
DettagliI ESERCITAZIONE. Soluzione
I ESERCITAZIONE 1. Moto rettilineo uniforme Un bagnino B è sulla spiaggia a distanza d B = 50 m dalla riva e deve soccorrere un bagnante H che è in acqua a d H = 100 m dalla riva. La distanza tra il punto
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva
ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliDalle tensioni ammissibili agli stati limite
Dalle tensioni ammissibili agli stati limite Flessione composta Spoleto, 21 maggio 2004 Aurelio Ghersi Verifica di sezioni soggette flessione composta 1 Verifica tensioni ammissibili h d c n A s x σ c
DettagliDalle tensioni ammissibili agli stati limite
Dalle tensioni ammissibili agli stati limite Flessione composta Spoleto, 21 maggio 2004 Aurelio Ghersi Verifica di sezioni soggette flessione composta Verifica tensioni ammissibili c A s σ c max σ s /
DettagliEsercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x
FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1
DettagliINTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA
INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré
DettagliIl metodo delle coordinate: vantaggi e pericoli. (schema della lezione)
Il metodo delle coordinate: vantaggi e pericoli. (schema della lezione) Riferimenti: V. Villani, Cominciamo dal punto, 13. Quali sono i pregi di una trattazione della geometria per via analitica? E quali
DettagliRichiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.
PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza
DettagliITCS Erasmo da Rotterdam. Anno Scolastico 2014/2015. CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio
ITCS Erasmo da Rotterdam Anno Scolastico 014/015 CLASSE 4^ M Costruzioni, ambiente e territorio INDICAZIONI PER IL LAVORO ESTIVO DI MATEMATICA e COMPLEMENTI di MATEMATICA GLI STUDENTI CON IL DEBITO FORMATIVO
DettagliFondazioni con grande eccentricità (al di fuori del terzo medio)
Fondazioni con grande eccentricità (al di fuori del terzo medio) Generalità Poco si trova in letteratura (eccezion fatta per Bowles, Fondazioni, ed. McGraw-Hill) riguardo le fondazioni con carico fortemente
Dettagli