Lezione 29 - La teoria approssimata

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1 Lezione 9 - La teoria approssimata ü [.a : ultima revisione 7 agosto 011] Nella Lezione precedente si e illustrata la trattazione del quinto e sesto caso di sollecitazione semplice di De Saint-Venant, giungendo a definire uno stato tensionale caratterizzato da una tensione normale variaile linearmente lungo lasse della trave e da un campo vettoriale piano di tensioni tangenziali. Tuttavia, la determinazione effettiva di tale campo vettoriale riciede la conoscenza della funzione di taglio FHx 1, x L, soluzione di un prolema di Dini-Neumann definito sulla sezione retta, e tale strada risulta poco agevole, conducendo a formule troppo complesse da poter essere utilizzate nella pratica tecnica. Si illustra pertanto in questa Lezione una trattazione approssimata per la ricerca delle tensioni tangenziali, ce rinunzia a soddisfare la condizione di congruenza, sulla terza componente del rotore, limitandosi a soddisfare le condizioni di equilirio. Tale teoria, precedente la soluzione esatta di De Saint-Venant e dovuta allingegnere russo D.J. Jourawski, ed e ance talvolta attriuita al francese redt.[jourawsky] Figura 1. Dmitrij Ivanovič Žuravskij La trattazione di Jourawski Si consideri un solido del tipo trave, soggetto a momento flettente e taglio, e si isoli un elemento di trave dv, identificato da due sezioni rette qualsiasi a distanza x 3 ed x 3 + dx 3 dalla ase di sinistra. Poi si identifici la porzione dv di dv, ottenuta segando dv con un piano CD parallelo al piano X 3 ce divide la sezione retta S mediante una corda, come illustrato in Figura.

2 60 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n Π Σ 1 Σ Σ X 3 D C X x 3 dx 3 ê ê X Figura - Il volume dv, e la corrispondente sezione S Come illustrato in Figura 3, lelemento di volume dv e soggetto alle tensioni normali s 33, positive se di trazione, agenti sulle due facce verticali del volume, ad una distriuzione di tensioni tangenziali s 3 agenti sul piano CD, positive se dirette in senso contrario allasse della trave (atteso ce la normale uscente dal piano e orientata in senso contrario allasse X ), e ad una distriuzione di tensioni tangenziali s 3 agenti sui piani verticali e dirette - secondo la convenzione sui segni - verso lalto sulla sezione a distanza x 3 dalla ase, e verso lalto sulla sezione a distanza x 3 + dx 3 dalla ase di sinistra. Imponendo lequilirio del volume dv alla traslazione lungo lasse x 3 della trave si a: σ 33 Hx 3 L d+ σ 33 Hx 3 + dx 3 L d σ 3 d = 0 CD dove S e larea della sezione retta sottostante la corda. Si potra poi sfruttare laritrarieta di dx 3 per scrivere: (1) σ 33 Hx 3 + dx 3 L = σ 33 Hx 3 L+ σ 33 Hx 3 L x 3 dx 3 ()

3 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 61 trascurando i contriuti di ordine superiore. Ne segue ce la (1) potra scriversi: σ 33 dx 3 d σ 3 d = 0 x 3 CD (3) C σ 3 σ 3 D V dx 3 σ 3 σ 3 D σ 3 σ 33 σ 33 +dσ 33 dx3 Figura 3 - Lelemento di trave da equilirare alla Jourawski e le tensioni su di esso agenti e sfruttando la (69) della Lezione precedente:

4 6 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n si a: σ 33 = T I 11 x Hl x 3 L (4) T dx 3 x d I 11 CD σ 3 d = 0 (5) Indicando con il momento statico della parte di sezione retta S rispetto allasse x 1 aricentrico si a poi: T S 1 dx 3 σ 3 d = 0 I 11 CD Infine, si utilizza la fondamentale: (6) Ipotesi di Jourawsky - La tensione tangenziale s 3 si puo supporre costante sul piano CD In questa ipotesi, lintegrale e facilmente risolviile, ottenendo: T I 11 dx 3 σ 3 dx 3 = 0 Data laritrarieta di dx 3 si giunge infine alla formula di Jourawski: (7) σ 3 = T I 11 ce permette il calcolo approssimato della componente tangenziale di tensione s 3 senza conoscere la funzione di taglio F. Laltra componente di tensione, s 13, puo calcolarsi in ase alla terza equazione indefinita dellequilirio: (8) σ 13 x 1 + σ 3 x + σ 33 x 3 = 0 e derivando rispetto ad x 1 : (9) σ 13 + x 1 σ 3 x 1 x + σ 33 x 1 x 3 = 0 (10) Utilizzando la (8) e la (4), si vede ce sia il secondo ce il terzo termine si annullano, e quindi si puo dedurre ce s 13 e lineare in x 1. Conoscendo due valori di s 13 lungo la corda, di conseguenza, si puo ricavare la s 13 in qualsiasi altro punto. Ma nei punti estremi e della corda, (cfr. Figura 4) occorre ce sia verificata la condizione di equilirio: σ 13 n 1 + σ 3 n = 0 (11) e quindi la tensione s t risultante di s 13 e s 3 dovra essere tangente al contorno, come gia noto dalla teoria generale di De Saint-Venant. Questo risultato permette di ricavare landamento di s 13. Se infatti le tangenti al contorno in ed in si incontrano nel punto Q, la s 13 in un qualsiasi altro punto R di puo esser determinata dalla conoscenza della direzione del vettore s t, e del valore della sua componente verticale s 3. Se a e langolo formato tra RQ e lasse x, si a: σ 13 = σ 3 tan α (1)

5 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 63 σ 13 R σ 13 σ 3 σ t σ t σ t σ 3 α Q X Figura 4. - Il calcolo della componentes 13 di tensione à Il caso generale La teoria fin qui discussa e caratterizzata dallaver scelto la corda = parallelamente allasse neutro, e quindi un piano CD parallelo al piano coordinato - X 3. Tuttavia lipotesi di Jourawski puo ritenersi valida su qualunque piano (Figura 5), come si illustrera in questo paragrafo. Π Σ 1 Σ Σ X 3 C D X x 3 dx 3

6 64 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n l ê ê m X Figura 5 - Il caso della corda generica Scelta allora una corda generica, atta ad identificare il volume di trave dv, si fissi un sistema di riferimento locale HO, l, m, x 3 L, con asse l lungo la corda, e lasse m ad esso ortogonale, ed in modo ce la terna Hl, m, x 3 L sia levogira. Ne segue ce le componenti di tensione ce ora entreranno in gioco per lequilirio del volume dv lungo lasse X 3 sono la tensione normale s 33 e la componente tangenziale s m3, come illustrato in Figura 6: σ m3 = T x I 11 (13) Le componenti tangenziali s l3 lungo la corda possono calcolarsi, a somiglianza di quanto detto nel caso particolare, partendo dalla terza equazione indefinita dellequilirio, ce ora si scrive: σ l3 l + σ m3 m + σ 33 x 3 = 0 Si dovra ora derivare due volte rispetto ad l, ottenendo: (14) 3 σ l3 l σ m3 l m + 3 σ 33 l x 3 = 0 (15) Il secondo termine e nullo, in quanto s m3 e per ipotesi costante lungo la corda, mentre il terzo termine e nullo perce s 33 varia linearmente lungo la corda stessa. Ne segue ce dovra essere: 3 σ l3 l 3 = 0 e quindi landamento di s l3 lungo la corda sara paraolico: σ l3 = al + l+c (16) (17)

7 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 65 C σ m3 σ 3 m m D l V dx 3 Figura 6 -Le tensioni tangenziali nel caso della corda non parallela allasse neutro Come gia discusso, e possiile conoscere i due valori della s l3 agli estremi della corda, sfruttando la conoscenza della direzione del vettore t. Occorre ora un terzo valore, ce potra essere fornito dalla pendenza del diagramma in un punto qualsiasi. Tale pendenza si calcola, a partire dalla (14), come: σ l3 l T I 11 = σ m3 m σ 33 x 3 = m x = T 1 I 11 m m x (18) Il fattore di taglio Lenergia di deformazione tagliante si scrivera ora, adottando le espressioni approssimate di Jourawski: L t = 1 VH σ 13 e 13 + σ 3 e 3 L V = 1 V Iσ 13 +σ 3 M V = T l I 11 Σ Volendo scrivere lenergia di deformazione tagliante nella forma: L t = κ T l occorrera introdurre un fattore di taglio, fornito da: I1+tg αm (19) (0)

8 66 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n κ = I 11 Σ I1+tg αm (1) La sezione rettangolare Si consideri la trave a sezione rettangolare di luce l, e sia essa soggetta ad uno sforzo di taglio diretto secondo una delle direzioni centrali di inerzia, ad esempio la verticale, come illustrato in Figura 7. Ne segue ce la flessione ce sempre si accompagna allo sforzo di taglio sara una flessione retta con asse di sollecitazione verticale, s = X ed asse neutro. Identificata la generica corda parallela allasse neutro, a distanza x da esso, il momento statico dellarea omreggiata rispetto allasse e fornito da: S 1 = x 1 x + x = 4 x e poice il momento di inerzia aricentrico I 11 dellintera sezione rispetto allasse e pari a: () I 11 = 3 1 si a suito, per la formula di Jourawski: (3) σ 3 = T I 11 = 6 T 3 4 x (4) x 4 + x T x ê ê X Figura 7 - La sezione rettangolare soggetta a taglio

9 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n 67 La componente di tensione s 3 varia quindi linearmente lungo laltezza, si annulla agli estremi, dove x = ± /, e raggiunge il valore massimo in mezzeria, ossia in corrispondenza dellasse neutro, dove x = 0 (cfr, Figura 8): σ 3 max = 3 T (5) T 3 T X Figura 8 - Il diagramma delle tensioni per la sezione rettangolare La risultante delle tensioni s 3 e una forza T r pari allo sforzo T, aricentrale e diretta verso il asso: T r = êσ 3 x 1 x = 6 T ê 0 ê 3 0 ê 4 x x 1 x = T (6) La componente s 13 e ovunque nulla, poice e ovunque a = 0, mentre il fattore di taglio puo calcolarsi come: κ = I 11 Σ I1+tg αm = Σ 4 e svolgendo lintegrale si a, in definitiva: 4 x = ê ê 4 x x (7) κ = 6 5 (8)

10 68 Lezione 9 - Taglio secondo Jourawsky.n Note [Jourawsky] - Traggo queste notizie da S.P. Timosenko, "History of Strengt of Materials", Mcraw-Hill ook Company 1953, pagg : Jourawsky [ ] si diplomo nel 184 presso listituto di Ingegneria delle Comunicazioni di S.Pietrourgo, dove ee per professori M.V. Ostrogradsky (matematica) e.t. Kupffer (resistenza dei materiali). Sviluppo la teoria degli sforzi da taglio nelle sezioni rettangolari durante la progettazione dei ponti in legno per la ferrovia Mosca-S.Pietrourgo, negli anni , presentandola allccademia russa delle scienze nel Per essa, ottenne il premio Demidoff. [Torna al testo] rafici