Il progetto di travi in c.a.p Iperstatiche Il sistema equivalente alla precompressione

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento Armato Precompresso A/A Il progetto di travi in c.a.p Iperstatiche Il sistema equivalente alla precompressione

2 Il sistema Equivalente alla Precompressione La valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi in c.a.p. può essere condotta, in alternativa all applicazione diretta della formula di Navier per la pressoflessione, utilizzando il concetto di sistema equivalente alla precompressione. Quest ultimo costituisce un sistema di forze staticamente equivalenti alla precompressione che dipende solamente dalla geometria del cavo e dallo sforzo normale N.

3 Il sistema Equivalente alla Precompressione Per capire bene il concetto di sistema equivalente alla precompressione immaginiamo di isolare il cavo e di applicare una forza di pre-trazione al cavo. In assenza di calcestruzzo non ci sarebbe equilibrio. In realtà il cavo risulta in equilibrio con il calcestruzzo e applica quindi a quest ultimo una serie di forze distribuite o concentrate normali e tangenziali in grado di sollecitare il calcestruzzo in maniera da opporsi alle sollecitazioni provocate dai carichi esterni. In figura sono illustrate le forze che il cls applica al cavo Reazioni applicate dal cls al cavo P n N P t N Reazioni che il cavo applica al cls N Pn p n N p t

4 Il sistema Equivalente alla Precompressione Detto R il raggio di curvatura locale del cavo, la presenza di una trazione N in esso genera come noto una pressione p n e una componentetangenziale p t : dove f c il coefficiente d attrito cavo-guaina

5 Il sistema Equivalente alla Precompressione Le reazioni che il cavo applica alla trave in calcestruzzo sono costituite da una coppia di forze orizzontali N n e verticali V nelle testate e un sistema di forze distribuite verticali p y orientate verso l alto e orizzontali p x agenti lungo l asse della trave. P n cosα 0 P t sinα 0 y p n p t P n sinα 0 α 0 P t cosα 0 x

6 Il sistema Equivalente alla Precompressione Normalmente si trascurano le componenti verticali delle forze distribuite in quanto l angolo α 0 considerato piccolo, sicché il sistema di forze equivalenti diviene:

7 Il sistema Equivalente alla Precompressione La legge di variazione di p y dipende dalla legge di variazione del raggio di curvatura locale R e dall andamento dello sforzo normale N. Trascurando le perdite d attrito lungo il cavo si ha che N=cost e conseguentemente p y dipenderebbe solamente dalla forma del cavo. Nel caso generale, N varia con la seguente legge, dove f c il coefficiente d attrito guaina-cavo :

8 Il sistema Equivalente alla Precompressione Normalmente l andamento del cavo viene considerato di forma quadratica e dunque con curvatura R costante; in tal caso p y dipende solamente dall andamento di N. Utilizzando come sistema di riferimento quello con origine nella mezzeria del cavo e con asse x tangente al cavo in quel punto, l equazione del cavo la seguente. Equazione Parabola (cavo) α 0 y L f x α 0

9 Il sistema Equivalente alla Precompressione e

10 Il sistema Equivalente alla Precompressione Nel caso in cui il cavo subisca anche una brusca variazione della tangente in un punto (cuspide), detto α l angolo che le tangenti alla cuspide formano tra loro, per l equilibrio il conglomerato dovrà esercitare sul cavo una forza concentrata F pari a 2N sin (α/2).

11 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1 (Dalle dispense)

12 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1

13 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1 SOLUZIONE 1. FORMULA DI NAVIER

14 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE In alternativa possibile applicare il metodo del sistema equivalente alla precompressione. A tale scopo necessario valutare il sistema di forze equivalenti alla precompressione e le relative caratteristiche della sollecitazione per ogni sezione. Note le caratteristiche della sollecitazione si può determinare la tensione utilizzando di nuovo la formula di Navier.

15 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE Poichè il cavo rettilineo, non presente alcun carico distribuito, mentre sono presenti solo forze di estremità. Nella generica sezione agiranno quindi lo sforzo di precompressione N e il momento di trasporto M=Nxe. Tale risultato del tutto equivalente a quello ottenuto prima con l applicazione diretta dell equazione di Navier. Ciò dimostra come i due approcci siano alternativi.

16 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 1 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE

17 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 2 (Dalle dispense)

18 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 2 SOLUZIONE 1. FORMULA DI NAVIER

19 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 2 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE

20 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 2 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE

21 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 2 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE

22 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 3 SOLUZIONE Si consideri la trave in c.a.p. con cavo rettilineo inclinato indicata il figura. Si calcoli la tensione massima in mezzeria al lembo inferiore e 0 f α e 0 2 L Il sistema equivalente alla precompressione può essere determinato considerando il punto angoloso in mezzeria, con angolo la cui tangente vale Tan α = 2f/L

23 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 3 SOLUZIONE 1. FORMULA DI NAVIER e 0 f e α e 0 L eccentricità in mezzeria vale: e = f e 0 Di conseguenza la tensione al lembo inferiore vale: σ i = N/A + N e/w i =N/A + N f/wi N e 0 /Wi

24 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 3 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE N N e 0 e 0 F La forza concentrata in mezzeria, considerando angoli piccoli vale: F = 2N sin(f/l) 2N f/l Sicché il momento massimo in mezzeria risulta essere pari a : M = F/2 L - N e 0 = N (f - e 0 )

25 Il sistema Equivalente alla Precompressione: Esempio 3 SOLUZIONE 2. SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE N N e 0 e 0 F La tensione massima in mezzeria al lembo inferiore della sezione risulta essere quindi: σ i = N/A N (f - e 0 )/W i che risulta essere identica a quella ricavata con la formula di Navier considerando il momento dato dalla sola eccentricità dello sforzo normale N