18 - I coefficienti fondamentali

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1 8 - I coefficienti fondamentali ü [.a : ultima revisione 2 aprile 203] Sia nel calcolo di spostamenti attraverso il metodo di composizione, sia nella scrittura diretta delle equazioni di congruenza, si fa frequentemente uso di rotazioni e spostamenti relativi a semplici schemi isostatici: disponendo quindi di una opportuna "libreria" di risultati, il compito risultera' facilitato e sveltito. In questo notebook si vogliono fornire i cosiddetti "risultati fondamentali", relativi agli schemi di trave a mensola e di trave semplicemente appoggiata, soggette alle piu' comuni condizioni di carico. Si tenga preliminarmente conto che banali considerazioni dimensionali portano ad esprimere le rotazioni come: φ = α M φ = α 2 F 2 q 3 φ = α 3 rispettivamente in presenza di coppie applicate, di forze applicate, o di carichi distribuiti. nalogamente, gli spostamenti si scriveranno come: u 2 = β M 2 u 2 = β 2 F 3 q 4 u 2 = β 3 I coefficienti nondimensionali a i e b i dipenderanno dalle condizioni di vincolo. I casi di fondamentale interesse sono:. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad una coppia concentrata nell'estremo libero 2. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad una forza concentrata nell'estremo libero 3. - Trave a mensola: rotazione ed abbassamento all'estremo libero dovuti ad un carico distribuito su tutta la luce 4. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad una coppia applicata in un estremo 5. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad una forza concentrata in mezzeria 6. - Trave appoggiata: rotazioni agli estremi dovute ad un carico distribuito su tutta la luce Questi dodici coefficienti possono dedursi utilizzando il metodo della doppia integrazione, oppure - piu' semplicemente - il metodo delle analogie di Mohr. () (2)

2 I coefficienti fondamentali.nb a trave a mensola à Caso. - a mensola soggetta a coppia concentrata Il primo caso e' illustrato in Figura. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' costante, e pari alla coppia applicata. M Figura - o schema : trave a mensola con coppia all'estremo a trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in. e reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 2: M Figura 2 - a trave ausiliaria per lo schema R + M = 0 2 M + M 2 = 0 da cui taglio e momento fittizio: (3) T H = R = M M H = M = M 2 2 e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento fittizio, puo' concludersi: (4)

3 8 - I coefficienti fondamentali.nb 353 φ H = M u 2 H = M 2 2 (5) à Caso 2. a mensola soggetta a forza concentrata Il secondo caso e' illustrato in Figura 3. Il diagramma del momento e' lineare, si annulla in corrispondenza della forza, e puo' esprimersi come: M Hx 3 = F H x 3 (6) F Figura 3 - o schema 2: trave a mensola con forza all'estremo a trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in. e reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 4: F Figura 4 - a trave ausiliaria per lo schema 2 R F 2 = 0 M F = 0 da cui taglio e momento fittizio: (7)

4 I coefficienti fondamentali.nb T H = R = F2 2 M H = M = F3 3 e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento fittizio, puo' concludersi: (8) φ H = F2 2 u 2 H = F3 3 (9) à Caso 3. a mensola soggetta a carico distribuito Il terzo caso e' illustrato in Figura 5. Il diagramma del momento e' quadratico, si annulla - insieme alla sua derivata - in corrispondenza dell'estremo, e puo' esprimersi come: M Hx 3 = q 2 H x 3 2 (0) q Figura 5 - o schema 3: trave a mensola con forza all'estremo a trave ausiliaria e' costituita da una mensola libera a sinistra ed incastrata a destra, e per essa bisogna calcolare il momento (fittizio) ed il taglio (fittizio) in dovuto al carico fittizio: q Hx 3 = q 2 H x 3 2 e due equazioni di equilibrio permettono di scrivere, sullo schema di Figura 6: ()

5 8 - I coefficienti fondamentali.nb 355 q 2 Figura 6 - a trave ausiliaria per lo schema 3 R + q Hx 3 dx 3 = 0 0 M + q Hx 3 H x 3 dx 3 = 0 0 Gli integrali non presentano problemi, e quindi puo' scriversi: (2) T H = R = q3 6 M H = M = q4 8 (3) e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, mentre l'abbassamento e' pari al momento fittizio, puo' concludersi: φ H = q3 6 u 2 H = q4 8 In definitiva, i coefficienti fondamentali per la trave a mensola sono sintetizzabili come in Tabella : Rotazioni Spostamenti Coppia concentrata 2 Forza concentrata 2 Carico distribuito 6 Tabella - I coefficienti fondamentali per la trave a mensola 3 8 (4)

6 I coefficienti fondamentali.nb a trave appoggiata à Caso 4. - a trave appoggiata soggetta a coppia concentrata in un estremo Il quarto caso e' illustrato in Figura 7. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' lineare, e pari alla coppia applicata a destra, annullandosi a sinistra. M Figura 7 - o schema 4: trave appoggiata con coppia all'estremo a trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i tagli (fittizio) agli estremi. e reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 8: M Figura 8 - a trave ausiliaria per lo schema 4 da cui subito: R + R + M 2 = 0 R + M 2 3 = 0 T H0 = R = M 6 T H = R = M 3 e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi: (5) (6)

7 8 - I coefficienti fondamentali.nb 357 φ H0 = M 6 φ H = M 3 Il caso gemello, in cui la coppia agisce sull' estremo di sinistra, puo' essere trattato identicamente, e porta alle rotazioni: φ H0 = M 3 φ H = M 6 (8) à Caso 5. - a trave appoggiata soggetta a forza in mezzeria Il quinto caso e' illustrato in Figura 9. Il diagramma del momento e' immediato, in quanto e' lineare a tratti, si annulla agli estremi, e vale F in mezzeria: 4 F Figura 9 - o schema 5: trave appoggiata con forza in mezzeria a trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i tagli (fittizio) agli estremi. e reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 0: F 4 Figura 0 - a trave ausiliaria per lo schema 5 R + R R + 2 F 4 F 4 = F = 0 (9)

8 I coefficienti fondamentali.nb da cui subito: T H0 = R = F 2 6 T H = R = F 2 6 e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi: (20) φ H0 = F 2 6 φ H = F 2 6 (2) à Caso 6. - a trave appoggiata soggetta a carico distribuito Il sesto ed ultimo caso e' illustrato in Figura. Il diagramma del momento e' parabolico, si annulla agli estremi, e vale q2 8 in mezzeria, dove presenta tangente orizzontale: M Hx 3 = q 2 x 3 H x 3 (22) q Figura - o schema 6: trave appoggiata con carico distribuito a trave ausiliaria e' costituita ancora da una trave appoggiata agli estremi, e per essa bisogna calcolare i tagli (fittizio) agli estremi. e reazioni (fittizie) possono calcolarsi con due equazioni di equilibrio, sullo schema di Figura 2: q 2 8 Figura 2 - a trave ausiliaria per lo schema 6

9 8 - I coefficienti fondamentali.nb 359 R + R + q Hx 3 dx 3 = 0 0 R + q Hx 3 H x 3 dx 3 = 0 0 e svolgendo gli integrali : R + R + q3 2 = 0 R + q4 24 = 0 Puo' quindi scriversi: (24) T H0 = R = q3 24 T H = R = q3 24 e poiche' la rotazione e' pari al taglio fittizio cambiato di segno, puo' concludersi: (25) φ H0 = q3 24 φ H = q3 24 In definitiva, i coefficienti fondamentali per la trave appoggiata sono sintetizzabili come in Tabella 2: Rotazioni a sinistra Rotazioni a destra Coppia concentrata 6 Forza concentrata 6 Carico distribuito 24 Tabella - I coefficienti fondamentali per la trave appoggiata (26) Figure Vincoli