Travi Staticamente Indeterminate

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1 Travi Staticamente Indeterminate SI esamina ora il caso in i vincoli sono in numero superiore rispetto alle equazioni disponibili Non si può quindi risolvere il problema con le semplici equazioni rese disponibili dalla statica Nelle strutture a vincoli sovrabbondanti si deve far ricorso a condizioni di congruenza, che utilizzano le equazioni costitutive del materiale Nel caso in esame si hanno reazioni vincolari e equazioni di equilibrio. La loro differenza, se positiva, indica il Grado di Indeterminazione statica (nell Es. 1) P Stabilito il Grado di Indeterminazione n, si possono sopprimere n condizioni vincolari e rendere la struttura Staticamente Determinata Struttura Primaria 6 reazioni vincolari equazioni di equilibrio Grado di Indeterminazione = Struttura primaria ottenuta ad es. eliminando incastro in E uguale al precedente ma mancano forze orizzontali: GdI =

2 SOLUZIONE EDINTE EQUZIONE DIFFERENZILE DELL LINE ELSTI La soluzione può essere ricavata risolvendo una delle seguenti equazioni differenziali: dvx ( ) dv( x) ( ) = E I T( x) = E I q( x) x dx dx = E I ( ) dvx Il metodo è analogo alla risoluzione della deformata già discussa, si integra e poi si impongono le condizioni vincolari. Le incognite sono le costanti di integrazione e le reazioni vincolari Il metodo si dimostra assai laborioso nella risoluzione analitica e si rivela utile sono in casi molto semplici Esempio Risolvere in termini di reazioni vincolari, frecce e assetto angolare Soluzione: Il problema risulta simmetrico sia per nella geometria che nei vincoli, pertanto R = R = R = R = Data la simmetria, si risolve il problema solo per la I metà della trave dv 0 EI dx = P dx

3 Integrando la precedente volte si ha EI dv 1 dx = dv EI x dx = + 1 dv x EI x x x 6 1 dx = + + EI v = x + omplessivamente si hanno 5 incognite, 1,,, = 1) Taglio pari a R in x=0 1 ) omento pari a in x=0 P = quindi occorrono 5 condizioni ) ngolo nullo in x=0 = 0 ) ngolo nullo in x=l/ PL 8 L= 0 = = PL 8 5) Freccia nulla in x=0 = 0 1 P PL Px EI 8 8EI ( x) = x x = ( L x)

4 P x PL x 6 8 Px 8EI EI v = v( x) = ( L x) v( L ) PL = 19EI In situazioni più complesse risulta necessario risolvere l equazione differenziale in più regioni, come fatto in precedenza, utilizzando equilibrio e congruenza al contorno. In tali situazioni la soluzione risulta molto più lunga e elaborata da svolgere analiticamente ETODO DI SOVRPPOSIZIONE (etodo delle forze) Il metodo è già stato introdotto nelle strutture sottoposte a trazione-compressione e torsione Vengono eliminati dei gdl di vincolo, fino a rendere la struttura staticamente determinata La soluzione nasce dalla sovrapposizione della Struttura Primaria senza reazioni vincolari soppresse e la struttura primaria ove agiscano una alla volta le reazioni vincolari soppresse Il valore dei carichi vincolari incogniti si determina imponendo che i vincoli prima soppressi siano ora rispettati δ Sol 1 + δ Sol = 0 Soluzione eliminando i vincoli sovrabbondanti Soluzione con la sola reazione vincolare eliminata

5 Esempio Risolvere in termini di reazioni vincolari, frecce e assetto angolare R = R = ql Soluzione: R Si scrivono le reazioni vincolari in funzione di quelli soppressi Siamo in presenza di un vincolo sovrabbondante, ad esempio 1 5 q L 5 ql δ = = 8 E I E I 1) () ( ) ) ( ) ( ) R L RL δ = = 8 E I 6 E I ( 1) ( ) δ +δ = 0 5 ql RL 0 E I + 6 E I = 5 ql R = R = R = ql 8

6 SO DELLE TRVI ONTINUE È questo un caso abbastanza comune nella progettazione di alberi con appoggi multipli (e.g. assi navali), ponti, edifici od anche pipelines osì sono indicate le travi che presentano elementi adiacenti lungo tutta la loro lunghezza Naturalmente si possono risolvere con il precedente metodo di sovrapposizione degli effetti, tuttavia ve n è uno più semplice, noto come il metodo dei tre momenti La soluzione prevede l assenza di vincoli che agiscano sull assetto angolare e l assenza di carichi orizzontali. Uno solo dei supporti vincolerà gli spostamenti orizzontali, per rendere la struttura non labile d ogni cerniera di collegamento viene rilasciato il vincolo di continuità di rotazione della trave Per ogni elemento agiscono i carichi esterni ad esso relativi, i momenti di reazione con gli altri elementi di connessione

7 La congruenza si esprime imponendo ugual angolo di rotazione agli estremi degli elementi in connessione Per ogni elemento compaiono al massimo momenti incogniti (da cui il nome) Riferiamoci ad una porzione di una trave continua Nei tre supporti agiscono i momenti incogniti,, Il rilascio dei vicoli di rotazione porta alle strutture iascuna struttura risulta sollecitata dalle forze esterne e dai due momenti estremali, in ogni caso dovrà risultare, per la compatibilità dei due elementi, che = Ora si può applicare la sovrapposizione degli effetti ai due conci identificati, considerando soluzioni di cui la prima con i soli carichi esterni, la seconda con i momenti di collegamento

8 Soluzione 1 di Soluzione 1 di Soluzione di Soluzione di Il secondo problema è analogo per i due elementi, presentando le soluzioni ( ) L L = + 6 E I E I ( ) L L = + E I 6 E I Sovrapponendo le soluzioni per entrambi gli elementi () 1 ( ) () 1 L L = + = E I E I () 1 ( ) () 1 L L = + = + + E I 6 E I

9 Queste due ultime relazioni, momento rotazione, possono essere sostituite nella relazione di congruenza tra i due elementi = () 1 () 1 ( ) L L L L = 6E I I I I Equazione dei tre momenti Se stesso momento di inerzia ( ) () 1 () 1 ( ) L + L + L + L = 6EI Se anche ugual lunghezza 6 () 1 () = EI ( ) Si osserva che le due soluzioni marcate con (1) si riferiscono a travi semplicemente appoggiate e sono facilmente reperibili in tabella o ricavabili a mano Si possono scrivere tante equazioni quante sono le cerniere interne, ossia le incognite ridondanti i poi ogni singolo elemento può essere risolto a parte L Se invece in uno dei due estremi finali è presente un incastro, il modo più semplice per trattare il problema è quello di aggiungere un ulteriore elemento in corrispondenza dell incastro di rigidezza flessionale infinita -, aggiungendo così due nuovi momenti ridondanti

10 Soluzione: Esempio Determinare la freccia al centro della struttura I momenti e sono i momenti ridondanti Supporto () 1 ql 1 = E I ( 1) = 0 6EI ql ql + = = L EI Supporto ( 1) = 0 6EI 5qL 15qL + = = L 18EI 6 P = ql () 1 Pab( L + b) P( L )( L )( 5L ) 5PL 5qL = = = = 6EI 6EI 18EI 18EI Le due equazioni, risolte, forniscono i momenti ridondanti = ql = 11 0 ql

11 questo punto si può risolvere l elemento - ad esempio sovrapponendo gli effetti dei due momenti applicati separatamente La trave appoggiata-appoggiata con momento estremale fornisce la soluzione ( ) R ( ) R x v x L Lx x 6EIL ( ) 0 ( ) = + al centro v( L ) = 0L EIL Sovrapponendo quindi i due momenti, destro e sinistro abbiamo la soluzione cercata ( ) v L 9 11 ql ql L 9 = = = EIL EIL 180 EI ( ) L ql Il segno è consistente quindi al centro si ha un sollevamento