Soluzione dei compiti del Corso di Tecnica delle Costruzioni

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1 Corso di Laurea CEA Curricula Ambiente ed Infrastrutture Soluzione dei compiti del Corso di Tecnica delle Costruzioni Maurizio Orlando Lorenzo R. Piscitelli Versione 1.0 aggiornamento 30 OTTOBRE 2017 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 1

2 Versioni e modifiche Versione Modifiche rispetto alla versione precedente 15 gennaio compito Modificato lo schema di carico dell asta 3 5 febbraio ed il diagramma del momento flettente della stessa asta 2. aggiunta soluzione del compito del ottobre corretto refuso nella formula 3N V=l i corretto refuso esercizio del aggiunti due casi di aste con vincoli inclinati 3. aggiunta soluzione di due compiti del segnalazione errori maurizio.orlando@unifi.it lorenzoruggero.piscitelli@unifi.it (indicare versione del documento, numero di pagina, breve descrizione) Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 2

3 Indice PARTE I 1 Soluzione di alcuni schemi elementari di aste Mensola Asta semplicemente appoggiata Studio di un asta semplicemente appoggiata come due mensole Asta doppiamente incastrata Soluzione dell asta doppiamente incastrata con il metodo della congruenza Asta incastro appoggio Soluzione dell asta incastro appoggio con il metodo dei vincoli ausiliari Soluzione dell asta incastro appoggio con il metodo della congruenza Asta incastro bipendolo Studio di un asta incastro bipendolo come metà di asta doppiamente incastrata Soluzione dell asta incastro bipendolo con il metodo dei vincoli ausiliari Soluzione dell asta incastro bipendolo con il metodo della congruenza Rigidezze delle sezioni di estremità di aste elementari Rigidezze alla rotazione Rigidezze alla traslazione Aste con vincoli inclinati Asta bipendolo appoggio inclinato (infinitamente rigida assialmente) Asta bipendolo appoggio inclinato (deformabile assialmente) PARTE II 4 Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito del Compito A del Compito B del Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 3

4 12 Esercizi da svolgere Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 4

5 PARTE I Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 5

6 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 6

7 1 SOLUZIONE DI ALCUNI SCHEMI ELEMENTARI DI ASTE Si riportano di seguito alcuni schemi elementari di aste ricorrenti nella soluzione di sistemi iperstatici di aste snelle. Legenda Tutti gli esempi riportati in questa raccolta sono svolti assumendo le seguenti ipotesi: comportamento elastico lineare dei materiali sezione costante e materiale omogeneo (EJ costante) indeformabilità a taglio (GA ) e a sforzo normale 1 ( ) salvo dove diversamente indicato. 1 Per aste snelle, la deformazione a taglio è trascurabile rispetto alla deformazione flessionale, mentre la deformazione a sforzo normale è trascurabile se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: la curva delle pressioni è molto discosta dall asse della trave ed è poco intrecciata con lo stesso asse della trave. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 7

8 1.1 MENSOLA Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 8

9 1.2 ASTA SEMPLICEMENTE APPOGGIATA Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 9

10 1.2.1 Studio di un asta semplicemente appoggiata come due mensole Un asta semplicemente appoggiata agli estremi di lunghezza L e soggetta ad una condizione di carico simmetrica, può essere studiata come due mensole di lunghezza pari a L/2. Di seguito si considera il caso di un carico concentrato P nella sezione di mezzeria. Per la simmetria della struttura (geometria e condizioni di vincolo) e dello schema di carico, la sezione di mezzeria (che è sezione di simmetria) può solo spostarsi nella direzione dell asse di simmetria, ossia in direzione verticale; è possibile pertanto dividere l asta in corrispondenza della sezione di mezzeria ed inserirvi un bipendolo. Lo studio dell asta si riduce così a quello di due aste appoggio bipendolo di lunghezza L/2, sulle quali il carico concentrato si ripartisce in parti uguali. Peraltro lo schema appoggio bipendolo è a sua volta equivalente a quello di una mensola. Si possono pertanto utilizzare i risultati noti di una mensola soggetta ad un carico concentrato applicato all estremo libero, come indicato nelle figure sottostanti. Lo stesso ragionamento può essere ripetuto per un asta semplicemente appoggiata soggetta ad una qualunque distribuzione simmetrica di carico. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 10

11 1.3 ASTA DOPPIAMENTE INCASTRATA Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 11

12 1.3.1 Soluzione dell asta doppiamente incastrata con il metodo della congruenza L asta doppiamente incastrata è tre volte iperstatica. In assenza di carichi assiali, la reazione orizzontale è nulla agli estremi e lʹasta essa risulta due volte iperstatica. In presenza di una distribuzione simmetrica di carico, le reazioni verticali ad entrambi gli estremi sono note, ciascuna uguale alla metà della risultante del carico applicato. Soggetta ad un carico concentrato P nella sezione di mezzeria, lʹasta è pertanto una volta iperstatica. La soluzione può essere cercata con il metodo della congruenza, presa come struttura principale una trave in semplice appoggio, eliminando i vincoli alla rotazione agli estremi. L incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia dʹincastro in A e B (uguali e contrarie), che si ricava imponendo la congruenza nei nodi, condizione espressa dalla richiesta che le rotazioni in A e in B siano nulle. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema 0 (struttura principale con carichi esterni) e di quella nel sistema X (struttura principale con incognita iperstatica X). La rotazione nel nodo A, sia nel sistema 0 che nel sistema X, può essere ricavata con vari metodi (integrazione dell equazione della linea elastica, Principio dei lavori virtuali, teorema di Clapeyron, ricorrendo a formulari come quelli presentati nel 0). Qui si utilizza il risultato noto per cui la rotazione relativa tra due sezioni e di un asta qualunque è data dall integrale del diagramma delle curvature, il quale è dato dalla somma del diagramma delle curvature del sistema 0 con quello del sistema 1 : Posto e (sezione di mezzeria dell asta), si ha che la rotazione relativa tra queste due sezioni è nulla, perché la sezione A non può ruotare per la presenza dell incastro mentre la sezione di mezzeria non può ruotare per simmetria: 0 con: 0 l integrale della curvatura K(z) tra le sezioni A e M è nullo se i due triangoli simili ACD e DME (il prima di area negativa e il secondo di area positiva) hanno la stessa area, ossia se hanno la stessa altezza: da cui: X PL 4 X Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 12 X PL 8

13 1.4 ASTA INCASTRO APPOGGIO Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 13

14 1.4.1 Soluzione dell asta incastro-appoggio con il metodo dei vincoli ausiliari Nella prima fase si inserisce un morsetto che blocca la rotazione della sezione di appoggio B, trasformando così l asta in un asta doppiamente incastrata; nella seconda fase si elimina il morsetto, riapplicando la sua reazione vincolare con il verso cambiato. La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti della prima e della seconda fase. La rotazione della sezione B, essendo essa bloccata nella fase I, si ottiene dalla sola fase II (proprietà dell equivalenza 2 ). 2 cfr. Pozzati, vol. I pag. 253 Proprietà dell equivalenza: il valore dei movimenti dei nodi bloccati dai vincoli ausiliari è dato dalla sola fase II, essendo evidentemente nullo quello che compete alla fase I. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 14

15 1.4.2 Soluzione dell asta incastro-appoggio con il metodo della congruenza L asta incastro appoggio è una volta iperstatica. La soluzione può essere ricercata con il metodo della congruenza considerando come struttura principale un asta semplicemente appoggiata, ottenuta sopprimendo il vincolo alla rotazione nel nodo A. L incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia di incastro in A; il suo valore si ricava imponendo la congruenza nel nodo, condizione espressa dalla richiesta che la rotazione sia nulla. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema 0 (struttura principale, soggetta ai carichi esterni) e di quella nel sistema X (struttura principale soggetta alla sola incognita iperstatica X). Sistema 0 Sistema X La rotazione nel nodo A, sia nel sistema 0 che nel sistema X, può essere ricavata con vari metodi (integrazione dell equazione della linea elastica, Principio dei lavori virtuali, teorema di Clapeyron, ricorrendo a formulari come quelli presentati nel 0). Qui si utilizzano i risultati degli schemi noti della mensola riportati nel 1.1; assumendo le rotazioni orarie positive, nel presente caso si ha:, 16 ;, 3 La condizione di congruenza è espressa dalla relazione:,, 0 Sostituendo le espressioni delle due rotazioni si ottiene: Il fatto che X abbia segno positivo significa che la coppia iperstatica ha il verso prefissato all inizio in figura, ossi antiorario. Le reazioni verticali si ricavano imponendo l equilibrio alla rotazione. Sommando la soluzione del sistema 0 e del sistema X, si ottengono le reazioni vincolari cercate. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 15

16 L andamento qualitativo del diagramma del momento flettente è noto dalla distribuzione dei carichi applicati (forze o coppie concentrate, carichi distribuiti uniformi o variabili, ecc.). In questo caso, per la presenza di un solo carico concentrato in mezzeria, sappiamo che il diagramma del momento flettente è di tipo bilineare; il momento flettente è nullo in B, per la presenza della cerniera, e vale 3 /16 in A. Per tracciare il diagramma è sufficiente calcolare il momento in mezzeria, che può essere ottenuto moltiplicando la reazione verticale in B, unica azione a destra della sezione, per il braccio /2. Il momento è positivo per le convenzioni utilizzate. / Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 16

17 1.5 ASTA INCASTRO BIPENDOLO Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 17

18 1.5.1 Studio di un asta incastro - bipendolo come metà di asta doppiamente incastrata Un asta AB incastro bipendolo di lunghezza L può essere vista come la metà di un asta doppiamente incastrata AC, lunga 2L, caricata simmetricamente. Per la simmetria dell asta AC (geometria e condizioni di vincolo) e dello schema di carico, la sezione B, può solo spostarsi nella direzione dell asse di simmetria, ossia in direzione verticale. Si può pertanto dividere l asta AC in due parti (AB e BC) di lunghezza L in corrispondenza della sezione B, inserendovi un bipendolo. Il caso di un carico concentrato applicato nella sezione di mezzeria B e quello di un carico uniformemente distribuito sono rappresentati nelle figure sottostanti. I risultati relativi alla trave doppiamente incastrata sono quelli riportati nel 1.3. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 18

19 1.5.2 Soluzione dell asta incastro - bipendolo con il metodo dei vincoli ausiliari Si considera un asta incastro appoggio AB soggetta ad una distribuzione di carico simmetrica. La soluzione viene sviluppata applicando il metodo dei incoli ausiliari. Nella prima fase si inserisce un appoggio ausiliario che blocca la traslazione verticale della sezione B, trasformando così l asta in un asta doppiamente incastrata; nella seconda fase si elimina l appoggio, riapplicando la sua reazione vincolare cambiata di segno. La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti della prima e della seconda fase. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 19

20 1.5.3 Soluzione dell asta incastro - bipendolo con il metodo della congruenza L asta incastro bipendolo AB è due volte iperstatica, ma in assenza di carichi assiali essa risulta una volta iperstatica, essendo identicamente nulla la reazione orizzontale ad entrambi gli estremi. La soluzione può essere ricercata con il metodo della congruenza considerando come struttura principale una mensola, ottenuta sopprimendo il vincolo alla rotazione nell estremo B. L incognita iperstatica è rappresentata dalla coppia di incastro X in B; il suo valore si ricava imponendo la congruenza nel nodo, condizione espressa dalla richiesta che la rotazione sia nulla. Gli effetti sono dati dalla somma del sistema 0 (struttura principale, soggetta ai carichi esterni) e di quella nel sistema X (struttura principale soggetta alla sola incognita iperstatica X), La rotazione nel nodo B, sia nel sistema 0 che nel sistema X, può essere ricavata con vari metodi (integrazione dell equazione della linea elastica, Principio dei lavori virtuali, teorema di Clapeyron, ricorrendo a formulari come quelli presentati nel 0). Qui si utilizzano i risultati degli schemi noti della mensola riportati nel 1.1; assumendo le rotazioni orarie positive, nel presente caso si ha:, 6 ;, La condizione di congruenza è espressa dalla relazione:,, 0 Sostituendo le espressioni delle due rotazioni si ottiene: q In fatto che X abbia segno positivo significa che la coppia iperstatica ha il verso prefissato all inizio in figura, ossi antiorario. La coppia di incastro in A si ricava scrivendo l equazione di equilibrio alla rotazione, essendo già nota la reazione vincolare in A dall equilibrio alla traslazione (VA = ql). Si ottiene: MA = ql 2 /3. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 20

21 2 RIGIDEZZE DELLE SEZIONI DI ESTREMITÀ DI ASTE ELEMENTARI Aste a sezione costante, di materiale omogeneo elastico lineare, posto che sia /, dove è il modulo elastico del materiale (Modulo di Young), è il momento di inerzia della sezione e la lunghezza dell asta. 2.1 RIGIDEZZE ALLA ROTAZIONE Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 21

22 1.1 RIGIDEZZE ALLA TRASLAZIONE NOTA. La rigidezza alla rotazione è inversamente proporzionale alla lunghezza, mentre quella alla traslazione è inversamente proporzionale al cubo della lunghezza. Pertanto, a parità di condizioni di vincolo, di sezione e di materiale, raddoppiando la lunghezza dell asta (da L a 2L), le rigidezze alla rotazione di cui agli schemi sopra si dimezzano, mentre quelle alla traslazione divengono otto volte più piccole. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 22

23 3 ASTE CON VINCOLI INCLINATI Si riportano di seguito alcuni schemi elementari di aste con vincoli inclinati ricorrenti nella soluzione di sistemi iperstatici di aste snelle. 3.1 ASTA BIPENDOLO APPOGGIO INCLINATO (INFINITAMENTE RIGIDA ASSIALMENTE) Sia data l asta di lunghezza L rappresentata in figura, vincolata con un bipendolo nell estremo sinistro e un appoggio scorrevole inclinato dell angolo rispetto alla verticale. Si voglia calcolare la rigidezza alla traslazione del nodo 1 nella direzione dell asta. Come già visto per gli altri casi, la rigidezza può essere calcolata valutando lo spostamento orizzontale w in funzione della forza F e ponendo poi questo spostamento pari a 1. La forza produce uno spostamento orizzontale w del nodo 1 ed uno spostamento d del nodo 2 sul piano inclinato dell angolo rispetto all orizzontale. Per l ipotesi di indeformabilità assiale dell asta, la componente orizzontale dello spostamento inclinato d del nodo 2 coincide con lo spostamento orizzontale w del nodo 1. Per quanto riguarda le reazioni vincolari che fanno equilibrio alla forza F si hanno: una reazione inclinata R dell appoggio in 2, una reazione verticale V e una coppia di incastro del bipendolo in 1. Si può osservare come, a meno del moto di traslazione orizzontale, l asta è assimilabile ad una mensola caricata all estremo libero da un azione inclinata R, la cui componente assiale N non produce deformazioni per l ipotesi di indeformabilità assiale dell asta ( ) e la cui componente tagliante V produce la deformata rappresentata in figura. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 23

24 Da semplici considerazioni trigonometriche risulta: ; tan tan e sostituendo le espressioni di V e di v nella relazione 3 (cfr. schemi noti), si ricava la relazione cercata tra la forza e lo spostamento orizzontale : 3 3 tan 3 tan 3 cotg Posto infine 1 si ricava la rigidezza alla traslazione cercata, che risulta funzione di : 3 tan Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 24

25 Come si evince dalla formula, la rigidezza è nulla se l angolo è pari a zero, condizione per la quale l asta è labile in direzione orizzontale, mentre la rigidezza tende all infinito per pari a 90 gradi, sempre per l ipotesi di indeformabilità assiale. 3.2 ASTA BIPENDOLO APPOGGIO INCLINATO (DEFORMABILE ASSIALMENTE) Si considera la stessa asta del problema precedente, rimuovendo l ipotesi di indeformabilità assiale. Oltre al contributo flessionale, lo spostamento orizzontale del nodo 1 risente in questo caso anche di una quota relativa alla deformazione assiale per effetto dello sforzo normale costante N=. Siano e i due contributi allo spostamento orizzontale del nodo 1, dovuti rispettivamente alla flessione e allo sforzo normale, si ha: 3 cot dove l espressione di wf è ripresa dall esempio precedente. Posto 1 ed esplicitando si ricava la rigidezza: tan 3 tan Nel grafico seguente viene rappresentata la rigidezza alla traslazione calcolata nei due casi sopra riportati. Il calcolo è fatto per il caso di un asta particolarmente tozza, scelta appositamente per evidenziare l effetto della deformabilità per sforzo normale che per aste snelle è generalmente trascurabile. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 25

26 5000 K w [knmm] indeformabile assialmente deformabile assialmente asta HEA200 L = 500 mm A = 7808 mm 2 J = 5.696E+07 mm Per angoli modesti, la deformabilità assiale produce una variazione di rigidezza trascurabile. Per 0, come si evince dalla formula sopra, la rigidezza dell asta è nulla, perché l asta è labile in direzione orizzontale, mentre al tendere dell angolo a 90 gradi, ossia al tendere ad infinito della tan, la rigidezza tende al valore della rigidezza assiale dell asta (EA/L): come è lecito aspettarsi. lim lim tan 3 tan Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 26

27 PARTE II Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 27

28 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 28

29 4 COMPITO DEL Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa del sistema di aste rappresentato in figura; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale. CONVENZIONI SUI SEGNI segno positivo delle reazioni vincolari e delle azioni agli estremi delle aste: segno positivo delle caratteristiche della sollecitazione delle aste: IPOTESI A) indeformabilità delle aste a sforzo normale ( ) B) indeformabilità delle aste a taglio ( ) Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 29

30 GRADO DI LABILITÀ/IPERSTATICITÀ Struttura 3 volte iperstatica: dove N è il numero di aste di cui è composta la struttura, V il numero di vincoli interni ed esterni, l il grado di labilità della struttura ed i il grado di iperstaticità. MOVIMENTI POSSIBILI Per la presenza dell asta 2 3 infinitamente rigida e per l ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 1 2 e 3 5, le rotazioni delle sezioni connesse ai nodi 2 e 3 risultano nulle e quindi non indipendenti: 0. Sempre per l ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali e. Ancora per l ipotesi A), risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali. Rotazioni:, Traslazioni: MOVIMENTI INDIPENDENTI Per la identificazione dei movimenti indipendenti si prescinde dai carichi applicati e si immagina la struttura priva di carichi. La conoscenza del momento flettente in 1 e in 4, per la presenza delle rispettive cerniere, permette di stabilire che i movimenti correlativi e possono essere determinati in funzione degli altri movimenti della struttura; tali movimenti risultano quindi dipendenti. Rotazioni:, Traslazioni: FASE I : BLOCCO DEL MOVIMENTO INDIPENDENTE Si blocca il movimento indipendente inserendo un vincolo ausiliario alla traslazione orizzontale nel nodo 2. Si studiano quindi separatamente gli effetti dei carichi applicati sulle aste 1 2, 3 4 e 3 5. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 30

31 È possibile studiare l asta 1 2 con il metodo dei vincoli ausiliari (sfruttando la proprietà dell equivalenza) e ricorrendo a schemi elementari. Si calcola il momento agli estremi dell asta doppiamente incastrata, ottenuto bloccando la rotazione del nodo 1 (aggiungendo un morsetto ad una cerniera, si realizza un vincolo di incastro perfetto); si sblocca quindi la rotazione del nodo 1 e si applica la reazione fornita dal morsetto cambiata di segno. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 31

32 Risolvendo separatamente le due aste e sommando gli effetti si ottiene la soluzione dell asta originale. L asta 3 5 presenta uno schema di più immediata soluzione. Nello studio dell asta 3 4, per l ipotesi di indeformabilità assiale è possibile, senza modificare la soluzione del problema, sostituire al vincolo di appoggio una cerniera. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 32

33 Anche questa volta, è possibile studiare l asta con il metodo dei vincoli ausiliari come somma degli schemi a* e b* illustrati di seguito. Il momento nell estremo destro nello schema b* deve essere opposto a quello ricavato nello schema a*, in modo che la somma sia nulla e sia garantito l equilibrio del nodo. Sfruttando la simmetria dell asta a* e l antisimmetria del carico, si ha: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 33

34 L asta b* rappresenta uno schema noto (vedi soluzione al 1.4). La somma delle azioni sulle aste a* e b* fornisce la soluzione cercata: Si riportano in una tabella i momenti agli estremi delle aste in fase I. M 3/16 M 3/16 M 1/3 M 1/4 M 1/12 M 1/12 Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII unità ql 2 I momenti M e M sono stati ricavati dall equilibrio alla rotazione dei nodi 2 e 3. La reazione del vincolo ausiliario vale: H Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 34

35 FASE 2 : ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI La reazione orizzontale fornita in fase I dal vincolo ausiliario, viene ora cambiata di segno e ripartita sulle aste della struttura. H Le sole aste che si oppongono alla traslazione orizzontale del traverso sono le aste 1 2 e 3 5; queste si ripartiscono la forza applicata 19 /16 in proporzione alla rigidezza alla traslazione orizzontale delle sezioni 2 e 3. Si studiano quindi gli schemi: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 35

36 La rigidezza alla traslazione totale del traverso vale: U R L Per cui la forza H si ripartisce in base ai coefficienti di ripartizione : ovvero: L 3R L 15R R L L 27R 4 5 H H ; H H Noto il taglio nelle sezioni 2 1 e 3 5, l equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione delle singole aste forniscono i valori delle azioni agli estremi di entrambe le aste. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 36

37 La tabella riassuntiva può essere quindi completata e, sommando i risultati delle due fasi, può essere ricavato il valore dei momenti finali agli estremi di ogni asta. Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII M 3/16 19/80 1/ M 3/16 19/80 1/ M 1/3 19/40 17/ M 1/4 0 1/ M 1/12 19/40 47/ M 1/12 19/40 67/ unità ql 2 I momenti M e M in fase II presenti agli estremi del traverso infinitamente rigido sono stati ricavati imponendo l equilibrio alla rotazione dei nodi 2 e 3, rispettivamente. Noti i momenti agli estremi di ogni asta, i tagli agli estremi delle aste si ricavano scrivendo l equilibrio alla rotazione delle stesse aste, tenendo conto degli eventuali carichi interni, mentre gli sforzi normali si ottengono dall equilibrio alla traslazione dei nodi. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 37

38 DIAGRAMMI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE Note le azioni agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere calcolate le caratteristiche della sollecitazione in tutte le sezioni delle aste. Un analisi preliminare, allo scopo di tracciare i diagrammi qualitativi di sforzo normale, taglio e momento flettente, può essere fatta anche senza passare per la ricerca delle equazioni rigorose che governano le caratteristiche della sollecitazione delle aste. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 38

39 e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Per la presenza del carico concentrato al centro dell asta, il momento avrà andamento bilineare. Essendo noto il momento flettente agli estremi dalla soluzione precedentemente discussa, il diagramma può essere tracciato una volta noto il momento flettente in mezzeria; il momento flettente vale: e.g. 2) Momento flettente asta 3 5 Il momento è noto agli estremi, e sarebbe lineare in assenza di carichi applicati lungo l asse (linea tratteggiata nera). Per effetto del carico distribuito orizzontale, il diagramma sarà di tipo parabolico. La posizione esatta del punto di momento flettente nullo richiede la soluzione rigorosa dell equazione del momento flettente. e.g. 3) Momento flettente asta 3 4 Il momento è noto agli estremi ed avrà una discontinuità di prima specie pari a 2 in mezzeria, per effetto del momento concentrato. I valori prima e dopo il salto possono essere ricavati analizzando il lato destro e sinistro della trave dalla sezione di mezzeria:, ;, Si procede in modo analogo per le altre aste della struttura. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 39

40 FUNZIONI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Percorrendo lʹasta da 1 a 2, il momento iniziale nella sezione 1 è nullo per la presenza della cerniera e la mancanza di coppie concentrate. Per la presenza delle azioni trasversali in testa e a metà dellʹasta, il diagramma avrà andamento bilineare. Posto che sia z un asse orientato da 1 a 2 con origine in 1 si ha: Da cui in mezzeria si trova: e.g. 2) Taglio nellʹasta , Il taglio ha andamento lineare per la presenza dl carico distribuito. Percorrendo lʹasta da 5 a 3 e posto che zia z un asse orientato nella stessa direzione con origine in 5 si ha: da cui in 3 si ha: 9 20 Si fa osservare che l asta 3 4 non riceve azioni in fase II, pertanto le sollecitazioni finali coincidono con quelle ricavate in fase I. e.g. 3) Momento flettente asta 3 5 Partendo dal nodo 5 con un sistema di riferimento orientato verso l alto in direzione verticale, il momento flettente si valuta considerando il momento d incastro, il taglio all incastro e il carico distribuito agente fino alla generica sezione : da cui imponendo 0 si ricava l ascissa della sezione dove si annulla il momento flettente: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 40

41 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 41

42 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 42

43 5 COMPITO DEL Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa del sistema di aste rappresentato in figura; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale. CONVENZIONI SUI SEGNI segno positivo delle reazioni vincolari e delle azioni agli estremi delle aste: segno positivo delle caratteristiche della sollecitazione delle aste: IPOTESI A) indeformabilità delle aste a sforzo normale ( ) B) indeformabilità delle aste a taglio ( ) Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 43

44 GRADO DI LABILITÀ/IPERSTATICITÀ Struttura 4 volte iperstatica: dove N è il numero di aste di cui è composta la struttura, V il numero di vincoli interni ed esterni, l il grado di labilità della struttura ed i il grado di iperstaticità. MOVIMENTI POSSIBILI Essendo l asta 3 4 infinitamente rigida a flessione, le rotazioni dei nodi 3 e 4 del traverso 3 4 devono essere uguali. Unendo a questa prima considerazione l ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 3 6 e 4 5, si deduce che le rotazioni,, e sono tutte nulle. Sempre per l ipotesi A) sono nulle anche le traslazioni verticali, e, mentre per lo stesso motivo le traslazioni orizzontali. sono tra loro identiche e verranno indicate semplicemente con il simbolo. Rimangono come movimenti possibili della struttura: Rotazioni:,,, Traslazioni: MOVIMENTI INDIPENDENTI Per la identificazione dei movimenti indipendenti si prescinde dai carichi applicati e si immagina la struttura priva di carichi. Per la presenza delle cerniere, è noto il valore del momento flettente nei nodi 2 e 3, pertanto le rotazioni,, sono movimenti dipendenti dagli altri 3. In definitiva, dall analisi dei movimenti della struttura, si ricava che l unico movimento indipendente della è la traslazione orizzontale dei traversi: Rotazioni:,,, Traslazioni: 3 Se è nota una caratteristica della sollecitazione in una sezione di un asta, il movimento correlativo (il movimento che compie lavoro con la caratteristica della sollecitazione considerata) può essere calcolato in funzione degli altri movimenti della struttura. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 44

45 FASE I: BLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI CON VINCOLI AUSILIARI Viene bloccato il movimento indipendente con un vincolo ausiliario alla traslazione orizzontale nel nodo 4. ASTE 1 2, 2 3, 4 5 Si calcolano le reazioni vincolari per i carichi presenti sulle aste 1 2, 2 3 e 4 5. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 45

46 Si fa osservare che i momenti di incastro M36 e M45, nel nodo 3 dell asta 3 6 e nel nodo 4 dell asta 4 5, entrambi di valore pari a /8, non sono forniti da vincoli ausiliari o da vincoli esterni, ma dall asta 3 4 infinitamente rigida a flessione ed impedita di ruotare dalla indeformabilità assiale delle aste 3 6 e 4 5. Agli estremi dell asta 3 4 si registrano pertanto momenti uguali e contrari, come indicato in tabella. M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 La reazione del vincolo ausiliario vale: Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII H unità ql 2 FASE II: ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI Si applica la reazione del vincolo ausiliario cambiata di segno, essa viene assorbita dalle aste verticali 2 1, 3 6 e 4 5 sulle quali si ripartisce in proporzione alle rigidezze alla traslazione delle sezioni 2, 3 e 4 di sommità. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 46

47 RIPARTIZIONE DELLA REAZIONE DEL VINCOLO AUSILIARIO La rigidezza alla traslazione orizzontale totale del traverso è data dalla somma della rigidezza alla traslazione rispettivamente delle sezioni 2 1, 3 6, 4 5: La rigidezza alla traslazione totale del traverso vale: U R L Per cui la forza H si ripartisce in base ai coefficienti di ripartizione : ovvero: 3R L L 12R L 27R 1 9 L 27R H H ; H H ; H H Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 47

48 H 11 per l asta H H 11 per le aste 3 6 e Noto il valore del taglio in sommità e alla base delle aste verticali, il valore dei momenti agli estremi delle aste si ricava imponendo l equilibrio alla rotazione delle stesse aste. Le azioni agli estremi del traverso infinitamente rigido si deducono imponendo l equilibrio alla traslazione e alla rotazione dei nodi 3 e 4. RISULTATI DELLA FASE II E CALCOLO DELLA SOLUZIONE FINALE Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII M 1/8 11/72 5/ M 1/8 11/36 13/ M 1/8 11/36 13/ M 1/8 11/36 13/ M 1/8 11/36 13/ M 1/8 11/36 31/ M 1/8 11/36 31/ unità ql 2 Noti i momenti agli estremi di ogni asta, i tagli agli estremi delle aste si ricavano scrivendo l equilibrio alla rotazione delle stesse aste, tenendo conto degli eventuali carichi interni, mentre gli sforzi normali si ottengono dall equilibrio alla traslazione dei nodi. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 48

49 DIAGRAMMI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE Note le azioni agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere calcolate le caratteristiche della sollecitazione delle aste. Un analisi preliminare, allo scopo di tracciare i diagrammi qualitativi di sforzo normale, taglio e momento flettente, può essere fatta anche senza passare per la ricerca delle equazioni rigorose che governano le caratteristiche della sollecitazione delle aste. e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Analizzando l asta verticale 1 2, sappiamo che il momento è nullo in 2 e che il taglio sempre nel nodo 2 produce un momento positivo procedendo da 2 verso 1, ciò significa che il diagramma del momento flettente parte con tangente positiva. Il diagramma ha in seguito un andamento parabolico per effetto del carico distribuito, passando prima da valori positivi, poi a valori negativi, fino al valore minimo di 5 /18 nel nodo 1. La ricerca del punto esatto in cui si annulla il momento flettente richiede tuttavia la soluzione rigorosa dell equazione 0 (vedi seguito). e.g. 2) Momento flettente asta 3 4 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 49

50 Il taglio è costante e il diagramma del momento flettente ha dunque andamento lineare. Noti i valori ed i versi dei momenti agli estremi dell asta, il tracciamento del diagramma è immediato. e.g. 3) Momento flettente asta 4 5 Il diagramma del momento è bilineare per la presenza del carico concentrato. Noto il momento agli estremi, il momento al centro dell asta può essere calcolato se è anche noto il taglio nel nodo 4 o nel nodo 5. Considerando ad esempio il taglio in 4, il momento al centro vale: Si procede in modo analogo per le altre aste della struttura. FUNZIONI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Momento iniziale nel nodo 1: 5 /18 negativo, andamento parabolico dovuto al carico distribuito. Lʹespressione analitica può essere ricavata immaginando un sistema di riferimento dal punto 1 al punto 2 e ponendosi in una sezione generica: 5 18 e.g. 2) Momento flettente asta Momento iniziale nel nodo 5: 31 /72 negativo, andamento lineare a tratti per la presenza di sole azioni concentrate. Lʹespressione analitica può essere ricavate per tratti immaginando un sistema di riferimento dal punto 5 al punto 4 e ponendosi in una sezione generica: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 50

51 /2 2 e.g. 3) Taglio nellʹasta 1 2 Taglio iniziale nel nodo 1 7 /9 positivo perché crea un differenziale positivo del momento sullʹasta 1 2. Lʹandamento è lineare per la presenza di un carico uniforme agente in direzione orizzontale, il taglio nell estremo 2 vale: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 51

52 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 52

53 6 COMPITO DEL Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa del sistema di aste rappresentato in figura; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale. CONVENZIONI SUI SEGNI segno positivo delle reazioni vincolari e delle azioni agli estremi delle aste: segno positivo delle caratteristiche della sollecitazione delle aste: IPOTESI A) indeformabilità delle aste a sforzo normale ( ) B) indeformabilità delle aste a taglio ( ) Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 53

54 GRADO DI LABILITÀ/IPERSTATICITÀ Struttura 3 volte iperstatica: dove N è il numero di aste di cui è composta la struttura, V il numero di vincoli interni ed esterni, l il grado di labilità della struttura ed i il grado di iperstaticità. MOVIMENTI POSSIBILI Per la presenza dell asta 2 3 infinitamente rigida e per l ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 1 2 e 6 3, le rotazioni dei nodi 2 e 3 sono entrambe nulle e quindi non indipendenti: 0. Per l ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali,, ; per la stessa ipotesi, risultano tra loro identiche le traslazioni orizzontali Rotazioni:,, Traslazioni:, MOVIMENTI INDIPENDENTI Per la identificazione dei movimenti indipendenti si prescinde dai carichi applicati e si immagina la struttura priva di carichi. Il taglio sull asta 4 5 è noto, pertanto il movimento correlativo è un movimento dipendente. Come è noto il taglio nell asta 4 5, è noto anche il momento nel nodo 4, per cui il movimento correlativo, la rotazione, è un movimento dipendente. Il momento flettente è noto nei nodi 5 e 6 per la presenza delle cerniere, quindi le rotazioni correlative e sono dipendenti. I movimenti indipendenti della struttura sono quindi: Rotazioni:,, Traslazioni:, NOTA: Il sistema di aste può essere studiato preliminarmente al resto della struttura. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 54

55 STUDIO PRELIMINARE DELLE ASTE Senza modificare le condizioni di vincolo, noto il taglio sull asta verticale 4 5, il sistema di aste può essere studiato separatamente dal resto della struttura: M 2 2 Nello schema semplificato rappresentato sotto, le aste sono state divise nel nodo 4, e sono state indicate le forze che le aste ivi si scambiano. I moduli della forza orizzontale (ql) e della coppia (ql 2 /2) si ricavano immediatamente dall equilibrio alla traslazione orizzontale e alla rotazione dell asta 4 5. Il modulo della forza verticale si ricava invece dall equilibrio alla rotazione dell asta 3 4, considerata la presenza nel nodo 4 di un appoggio verticale, dovuto alla indeformabilità assiale dell asta 4 5 ed al vincolo di appoggio presente in 5. Le reazioni nel nodo 3, in verde, sono fornite dalla struttura a sinistra del nodo 3, formata da un portale con il traverso infinitamente rigido; di queste, la reazione verticale va sull asta 3 6, mentre l azione orizzontale viene assorbita dal vincolo ausiliario. La soluzione del problema iniziale può così essere ridotta alla soluzione di un problema più semplice come mostrato nella figura seguente, dove le suddette azioni sono applicate alla struttura di destra con il verso cambiato. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 55

56 FASE I: BLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI CON VINCOLI AUSILIARI Viene bloccato il movimento indipendente inserendo un vincolo ausiliario nel nodo 3. Si osserva che: 1. in virtù dell infinita rigidezza flessionale del traverso 2 3, la coppia applicata in 3 non si trasferisce nell asta 3 6 ma rimane nell asta orizzontale, 2. l azione verticale in 3 dà solo sforzo normale in 3 6, 3. l azione orizzontale applicata in 3 dalla sottostruttura vincolo finisce direttamente nel vincolo ausiliario appena inserito e non viene trasmessa in questa fase alle aste struttura del portale (ma lo sarà necessariamente in fase II). Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 56

57 M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 M 1/8 La reazione del vincolo ausiliario vale: Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII unità ql 2 H FASE II: ELIMINAZIONE DEI VINCOLI AUSILIARI Per l indeformabilità assiale del traverso 2 3 4, la reazione del vincolo ausiliario in 3 cambiata di segno viene ripartita sulle tre aste 2 1 e 3 6 in proporzione alle rigidezze alla traslazione delle loro sezioni di sommità. La forza da ripartire è (di segno opposto alla reazione in rosso della figura precedente): H 17 8 Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 57

58 RIPARTIZIONE DELLA REAZIONE DEL VINCOLO AUSILIARIO La rigidezza alla traslazione orizzontale totale del traverso 2 3 vale: U L Per cui la forza H si ripartisce in base ai coefficienti di ripartizione : da cui: 12R L L ; 3R L L H H ; H H Noto il valore del taglio nelle sezioni di sommità delle aste verticali, le coppie agli estremi di tali aste si ricavano dal loro equilibrio alla rotazione, mente l equilibrio alla traslazione e Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 58

59 quello alla rotazione dei nodi forniscono, rispettivamente, gli sforzi normali e le coppie agli estremi del traverso 2 3. Si omette di riportare il calcolo esteso dei tagli e degli sforzi normali di tutte le aste in fase II, rimandando questo calcolo una volta determinati i momenti finali agli estremi di tutte le aste dalla somma delle due fasi. Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII M 1/8 17/20 39/ M 1/8 17/20 29/ M 1/8 17/20 29/ M 1/8 17/40 11/ M 1/8 17/40 3/ unità ql 2 Come riprova, si verifica l equilibrio alla rotazione del nodo 3, controllando che la somma dei momenti M3 2, M3 6 e M34 sia identicamente nulla: Noti i momenti agli estremi di tutte le aste, è possibile ricavare i tagli ai loro estremi dall equilibrio alla rotazione delle stesse aste; successivamente imponendo l equilibrio alla traslazione dei nodi si ricavano gli sforzi normali. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 59

60 DIAGRAMMI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE Note le azioni agli estremi di tutte le aste ed i carichi applicati, possono essere calcolate le caratteristiche della sollecitazione delle aste. Un analisi preliminare, allo scopo di tracciare i diagrammi qualitativi di sforzo normale, taglio e momento flettente, può essere fatta anche senza passare per la ricerca delle equazioni rigorose che governano le caratteristiche della sollecitazione delle aste. e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Il diagramma del momento sarà bilineare per la presenza del carico concentrato in mezzeria. Noto il momento agli estremi così come il taglio, il momento al centro dell asta può essere calcolato partendo ad esempio dal nodo 2 come: oppure partendo dal nodo 1 come: A testimonianza di come il risultato non dipenda dal lato scelto. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 60

61 e.g. 2) Momento flettente asta 3 6 Il momento vale zero nel nodo 6 ed è noto nel nodo di sommità. Lungo l asta, il diagramma sarà di tipo parabolico per la presenza del carico distribuito. Il diagramma rigoroso richiede la definizione della funzione che definisce l andamento del momento flettente lungo l asse dell asta. e.g. 3) Momento flettente asta 4 5 Il momento è noto nei nodi di estremità, per l assenza di azioni applicate lungo l asta il diagramma è necessariamente lineare. Si procede in modo analogo per le altre aste della struttura. FUNZIONI DELLE CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE e.g. 1) Momento flettente asta 1 2 Momento iniziale nel nodo 1 negativo, andamento bilineare per la presenza del carico concentrato a metà dellʹasta. Posto che zia un sistema di riferimento orientato con origine in 1 e verso positivo da 1 a 2, si ha: /2 2 Da questa equazione è possibile ricavare anche il valore del momento in mezzeria e nel nodo 2: / Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 61

62 e.g. 2) Taglio nellʹasta 4 5 Lʹasta fa parte della sottostruttura studiata allʹinizio del problema. Il taglio è nullo nel tratto compreso tra il nodo 5 e la mezzeria, dove per la presenza del carico concentrato di intensità assume un valore diverso da zero per poi rimanere costante (negativo) fino al nodo 4. e.g. 3) Sforzo normale nellʹasta In 2 lo sforzo normale sullʹasta 2 3 equivale al taglio nellʹasta 2 1. Nel nodo 3 si somma il contributo del taglio trasmesso dalla sezione 3 6, lo sforzo normale rimane quindi costante fino al nodo 4. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 62

63 7 COMPITO DEL Tracciare il diagramma del momento flettente e la deformata qualitativa del sistema di aste rappresentato in figura; trascurare la deformazione a taglio e a sforzo normale. CONVENZIONI SUI SEGNI segno positivo delle reazioni vincolari e delle azioni agli estremi delle aste: segno positivo delle caratteristiche della sollecitazione delle aste: IPOTESI A) indeformabilità delle aste a sforzo normale ( ) B) indeformabilità delle aste a taglio ( ) Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 63

64 GRADO DI LABILITÀ/IPERSTATICITÀ Struttura 4 volte iperstatica: dove N è il numero di aste di cui è composta la struttura, V il numero di vincoli interni ed esterni, l il grado di labilità della struttura ed i il grado di iperstaticità. MOVIMENTI POSSIBILI Per la presenza dell asta 4 3 infinitamente rigida e per l ipotesi A) di indeformabilità assiale delle aste 3 6 e 4 5, le rotazioni delle sezioni connesse ai nodi 3 e 4 risultano nulle e quindi non indipendenti: 0. Per l ipotesi A) risultano nulle, quindi non indipendenti, le traslazioni verticali,, e per la stessa ipotesi, sono tra loro identiche le traslazioni orizzontali. Rotazioni:, Traslazioni:, MOVIMENTI INDIPENDENTI Per la identificazione dei movimenti indipendenti si prescinde dai carichi applicati e si immagina la struttura priva di carichi. La rotazione in 5 e la traslazione orizzontale in 6 possono essere ricavate essendo note le condizioni statiche corrispondenti: momento noto in 5 e taglio noto in 6. I movimenti correlativi e sono quindi dipendenti. Rotazioni:, Traslazioni:, CONSIDERAZIONI PRELIMINARI La struttura ha 2 movimenti indipendenti, si sceglie di studiarla tramite lo studio della matrice delle rigidezze definita per i movimenti indipendenti e individuati. Mentre la rotazione deve essere necessariamente bloccata nel nodo 2, per l ipotesi di indeformabilità assiale del traverso 2 3 4, la traslazione orizzontale potrebbe essere bloccata in qualunque punto del traverso. Si sceglie arbitrariamente di bloccare il movimento in corrispondenza del punto 4. L arbitrarietà di questa scelta non ha influenza sulla soluzione finale della struttura. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 64

65 FASE I: BLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI CON VINCOLI AUSILIARI Vengono bloccati i movimenti indipendenti inserendo vincoli ausiliari nei nodi 2 e 4: un morsetto nel nodo 2 e un vincolo alla traslazione orizzontale nel nodo 4. Si procede con lo studio delle aste soggette a carichi interni. I momenti agli estremi delle aste vengono raccolti in una tabella riassuntiva. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 65

66 M 0 M 0 M 1/12 M 1/12 M 5/12 M 1/3 M 3/16 M 3/16 M 1/6 Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII unità ql 2 Si fa osservare che i momenti agli estremi del traverso infinitamente rigido sono stati ricavati dall equilibrio alla rotazione dei nodi 3 e 4. Le reazioni dei vincoli ausiliari si ricavano considerando le corrispondenti reazioni agli estremi delle varie aste. La reazione del morsetto coincide con la coppia di incastro nel nodo 2 dell asta 2 3, mentre la reazione del vincolo alla traslazione in 4 è data dalla somma delle reazioni orizzontali in testa alle aste 3 6 e 4 5: 12 H Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 66

67 FASE II: MATRICE DELLE RIGIDEZZE E SBLOCCO DEI MOVIMENTI INDIPENDENTI Si applicano le reazioni dei vincoli cambiate di segno: 12 H 5 16 Posto che sia la rotazione in 2 il primo movimento indipendente e la traslazione orizzontale del traverso il secondo, si definiscono il vettore delle forze applicate ed il vettore degli spostamenti incogniti : Si procede quindi alla costruzione della matrice delle rigidezze della struttura. La matrice delle rigidezze si costruisce per colonne: la colonna j esima si ricava facendo avvenire il j esimo movimento indipendente con valore unitario, essendo tutti gli altri movimenti indipendenti nulli (bloccati da vincoli ausiliari). 1 a Colonna della matrice delle rigidezze ( 1 =1; 2 = 0) Il coefficiente diagonale è dato dalla reazione del morsetto correlativo al 1 movimento indipendente (rotazione del nodo 2) corrispondente ad una rotazione imposta del nodo 2 di valore unitario, essendo nullo l altro movimento indipendente. Questa reazione è data dalla somma delle due coppie necessarie per far ruotare di un angolo unitario le sezioni 2 delle aste 2 1 e 2 3, ossia dalle rigidezze alla rotazione K21 e K23. Il coefficiente è dato dalla reazione del vincolo ausiliario correlativo al 2 movimento indipendente, necessaria per mantenere nullo lo spostamento orizzontale del traverso 2 3 4, mentre si fa avvenire la rotazione unitaria del nodo 2. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 67

68 4 4 / momento da applicare in 2 per far avvenire la rotazione unitaria 1=1 di 2, essendo 2 = 0 reazione del vincolo di appoggio orizzontale che tiene bloccato e uguale a zero lo spostamento orizzontale 2, mentre si fa avvenire la rotazione 1=1 2 a Colonna della matrice delle rigidezze ( 1 =0; 2 = 1) La seconda colonna della matrice delle rigidezze si costruisce in modo analogo, imponendo questa volta uno spostamento unitario del traverso e tenendo bloccata la rotazione del nodo 2. Il coefficiente K22 è dato dalla reazione del vincolo di appoggio correlativa ad uno spostamento orizzontale imposto del traverso di valore unitario, mentre si tiene bloccato e uguale a zero l altro movimento indipendente. Questa reazione è data dalla somma delle tre forze necessarie per far traslare di uno spostamento orizzontale unitario la sezione 2 dell asta 2 1, la sezione 3 dell asta 3 6 e la sezione 4 dell asta 4 5, ossia dalle rigidezze alla Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 68

69 traslazione K21, K36 e K45. La rigidezza K36 è evidentemente nulla per la presenza del bipendolo nel nodo 6. Il coefficiente è dato dalla reazione del vincolo ausiliario (morsetto) correlativo al 1 movimento indipendente, necessaria per mantenere nulla la rotazione del nodo 2, mentre si fa avvenire lo spostamento orizzontale unitario del traverso / 12 / / / forza orizzontale da applicare al traverso per far avvenire la traslazione unitaria 2=1 di 2 3 4, essendo 1 = 0 reazione del morsetto che tiene bloccata e uguale a zero la rotazione 1, mentre si fa avvenire lo spostamento 2=1 La matrice delle rigidezze è la seguente: Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 69

70 / Nota la matrice ed i vettori e, è possibile risolvere il sistema lineare associato alla fase 2 nelle incognite e : Ovvero: ; 1 28 Noti gli spostamenti in fase II, le caratteristiche della sollecitazione possono essere ricavate sfruttando la sovrapposizione degli effetti (ossia considerando prima soltanto il movimento con w=0, poi soltanto il movimento con 0. Vengono ora calcolati i soli momenti agli estremi delle aste, visto che i tagli e gli sforzi normali agli estremi delle aste possono essere calcolati alla fine del procedimento, dopo avere calcolato i momenti finali come somma di quelli della fase I e di quelli della fase II. La soluzione della fase II si ricava facendo avvenire uno alla volta i due movimenti indipendenti. Dapprima si fa avvenire la sola rotazione del nodo 2 tenendo bloccata la traslazione w e si ottengono i seguenti momenti M21 e M23 agli estremi delle aste 2 1 e 2 3: , Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 70

71 successivamente si fa avvenire la traslazione w tenendo bloccata la rotazione del nodo 2 e si ottengono i seguenti tagli T21 e T45 in testa alle aste 2 1 e 4 5: , Anche questa volta, dopo avere equilibrato le aste alla traslazione orizzontale, vengono calcolate le coppie agli estremi imponendo l equilibrio alla rotazione delle stesse aste. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 71

72 Sovrapponendo gli effetti, si completa la fase II della struttura e quindi i valori finali come somma dei risultati delle due fasi. Fase I Fase II Soluzione FaseI + FaseII M 0 25/336 3/14 47/ M 0 25/168 3/14 11/ M 1/12 25/168 11/ M 1/12 25/336 53/ M 5/12 25/336 55/ M 1/3 0 1/ M 3/16 3/28 33/ M 3/16 3/28 33/ M 1/6 0 1/ unità ql 2 Noti i momenti agli estremi di ogni asta, i tagli agli estremi delle aste si ricavano scrivendo l equilibrio alla rotazione delle stesse aste, tenendo conto degli eventuali carichi interni, mentre gli sforzi normali si ottengono dall equilibrio alla traslazione dei nodi. Ultima revisione 30 ottobre 2017 Pagina 72