za Bozza - Appunti di Scienza delle Costruzioni 1, dalle lezioni del prof. P. Podio-Guidugli, a.a. 2007/8 -

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1 11 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche Consideriamo d ora in avanti travature linearmente termoelastiche dello stesso tipo di quelle per le quali abbiamo risolto il problema di ricerca della linea elastica. Per queste travature, ad ogni sistema congruente di spostamenti e deformazioni virtuali si può associare, tramite le relazioni costitutive che abbiamo stipulato, una distribuzione virtuale di variazioni di temperatura { t, t 1 } e/o di caratteristiche di sollecitazione { N, M, T, M t } nel modo seguente: ε = N EA + α t, γ = χ T GA, ψ = M EJ + α t 1, Mt ψ t = χ t. GJ (11.15) L espressione del lavoro virtuale interno diviene: ( ( N N L V int = α(n t + M t 1 ) + L EA + χ T T GA + M M )) EJ + χ M t Mt t. GJ (11.16) Riprendendo un osservazione già fatta, notiamo che, nell integrando, il primo addendo ha senso indipendentemente dal legame costitutivo meccanico, mentre il secondo è tipico delle travature linearmente elastiche. Quando il lavoro virtuale interno è precisato come in (11.16), si può usa re l equazione dei lavori virtuali per calcolare speditamente spostamenti o rotazioni di singoli punti dell asse o sezioni di una travatura Esempi Esempio 1. Trovare spostamento e rotazione dell estremo libero della mensola in figura, sottoposta ad una variazione termica all estradosso.

2 82 5 Impieghi del Principio dei Lavori virtuali Si assuma che α(z) sia costante, e che la trave sia prismatica, 2 di sezione di simmetria rispetto all asse x. Come sistema di spostamenti e deformazioni, scegliamo, in entrambi i casi il sistema effettivo: { w(z), v(z); ε(z) α t, γ(z) = χ T(z) GA, ψ(z) α t 1 = α t H }, che è certo coerente con le condizioni cinematiche imposte dal vincolo, cioè, w() = = v(), ϕ() =. Per il calcolo dello spostamento verticale per z = l, scegliamo il sistema equilibrato di carichi e caratteristiche di sollecitazione: Valendoci della relazione (11.16), troviamo che ( L V int = (l z) ( α t ) H ) = α t l 2 H 2, quindi, L V est = 1 v(l); v(l) = 1 2 (α t) l H l. (11.17) Per il calcolo della rotazione, come sistema equilibrato di carichi e caratteristiche di sollecitazione scegliamo: Segue da (11.16) che L V int = α t } H l ϕ(l) = (α t) l L V est = 1 ϕ(l) H. (11.18) Osservazione. La deformabilità di una mensola in risposta ad una variazione di temperatura che ne induce l inflessione è proporzionale al parametro adimensionale l H, che ne misura la snellez specifica. Esempio 2. Trovare spostamento e rotazione dell estremo libero della stessa mensola dell Esempio 1, questa volta soggetta ad un carico concentrato situato in corrisponden dell estremo libero: 2 Una trave si dice prismatica se ha sezione trasversale costante.

3 11 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche 83 Di nuovo, scegliamo come sistema congruente di spostamenti e deformazioni quello effettivo, che adesso ha l aspetto { w(z), v(z); ε(z) N T(z), γ(z) = χ EA GA χ P GA, ψ(z) M(z) z) = P(l }, EJ EJ Associamo questo sistema prima all uno e poi all altro dei sistemi equilibrati di carichi e caratteristiche di sollecitazione considerati nell esempio precedente. Troviamo: ( χ P 1 ) P(l z) 1 (l z) + = L V int = L V est = 1 v(l) v(l) = χ Pl GA EJ GA + Pl3 3EJ ; (11.19) P(l z) 1 = L V int = L V est = 1 ϕ(l) ϕ(l) = Pl2 EJ 2EJ. (11.2) Osservazioni. 1. Il segno positivo per v(l), tanto in (11.17) che in (11.19), discende dalla definizione di lavoro virtuale esterno: (for equilibrata = 1e 1 ) (spostamento congruente = v(l)e 2 ) = v(l). Per la stessa ragione, il segno è negativo tanto in (11.18) che in (11.2). Infatti, (coppia equilibrata = 1e 3 ) (rotazione congruente = ϕ(l)e 3 ) = ϕ(l). 2. Nell Esempio 1, visto che il taglio è identicamente nullo, la condizione v (z) + ϕ(z) = vale fino al bordo. In particolare (si veda la Fig. 5.8), v (l) = ϕ(l) = α t l H >. Figura 5.8.

4 84 5 Impieghi del Principio dei Lavori virtuali 3. Nell Esempio 2, valgono le relazioni differenziali { v (z) + ϕ(z) = χ T(z) GA = χ P GA ϕ (z) = M(z) z) = P(l EJ EJ e le condizioni al bordo per z (, l] (11.21) v() =, ϕ() =. (11.22) Perciò, integrando (11.21) 2 con la condizione (11.22) 2, si trova ϕ(z) = P ( l z ) z (11.23) EJ 2 (ciò che conferma, in particolare, il risultato espresso da (11.2)); questa relazione rende( evidente la sovrapposizione di effetti deformativi associati allo sforzo di taglio v s (z) = Pl ) ( z e al momento flettente (v F (z) = Pl3 1 1 ) ) z z 2 r s l 2r F 3 l l 2. Esempio 3. Si cerchino spostamento e rotazione della sezione generica z (, l) della mensola considerata nell Esempio 2. Al sistema di spostamenti e deformazioni effettivo, dobbiamo adesso associare i sistemi equilibrati: Si controlli che il campo di spostamento v( z), z [, l] così ottenuto coincide con la soluzione dell equazione della linea elastica. Osservazione. L equazione dei lavori virtuali si può servire a controllare che, nell ambito della teoria delle travi linearmente elastiche ad asse rettilineo, gli spostamenti assiali dei punti dell asse di una trave inflessa sono di ordine superiore rispetto agli spostamenti flessionali. Per convincersene, si consideri la mensola studiata nell Esempio 2. Volendo calcolare lo spostamento assiale del punto di ascissa z (, l] dell asse, scelto il sistema di carichi e caratteristiche di sollecitazione equilibrato dato da N(z) = 1 per z (, z ) e N(z) = per z (z+, l):

5 11 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche 85 l equazione dei lavori virtuali porge 1 w(z) = NN dz =. EA Esempio 4. Trovare spostamento e rotazione dell estremo libero della mensola in Fig. 5.9, soggetta ad un carico distribuito costante. Figura 5.9. Il sistema di spostamenti e deformazioni effettivo, dove adesso T(z) = p(l z), M(z) = 1 2 p(l z)2, va associato all uno e all altro dei sistemi equilibrati di carichi e caratteristiche di sollecitazione introdotti nell Esempio 1 e reimpiegati nell Esempio 2. Si trova: ( p l z + 1 ) z)3 p(l = L V int = L V est = 1 v(l) (11.24) r S 2 r F v(l) = p l2 + p l4 ; 2r S 8r F 1 z)2 p(l = L V int = L V est = 1 ϕ(l) ϕ(l) = p l3. (11.25) r F r F Questi risultati si possono controllare integrando le equazioni differenziali { rs (v + ϕ) = p, con le condizioni al bordo r F ϕ = p(l z) v() =, ϕ() = ; T(l) = v (l) + ϕ(l) =, M(l) = ϕ (l) =. Esempio 5. Trovare il vettore spostamento del punto di applicazione del carico sulla travatura di Fig. 5.1.

6 86 5 Impieghi del Principio dei Lavori virtuali Figura 5.1. Questo esempio ci fornisce l occasione per determinare l aspetto dell equazione dei lavori virtuali nelle travature reticolari. Queste travature sono modellate come sistemi di travi prismatiche ad asse rettilineo (le aste), collegate tra loro agli estremi (i nodi) da cerniere prive di attrito; i carichi sono concentrati, applicati solo in corrisponden dei nodi. Segue da queste specificazioni che, in ciascuna asta, l unica caratteristica di sollecitazione aventualmente non nulla è lo sforzo normale, costante lungo l asta. Allora, l espressione del lavoro virtuale interno diviene: a L V int = (N εl) i, ε = N + α t, i = 1, 2,...,a = numero delle aste. i=1 Segue anche che il lavoro virtuale esterno ha l espressione n L V est = (P v) j, j = 1, 2,..., n = numero dei nodi; j=1 qui P j e v j sono, rispettivamente, il vettore del carico concentrato nel j-esimo nodo e il vettore spostamento di quel nodo. Combinando le due espressioni, otteniamo: a ( ) N N n l + Nα tl = (P v) j. i=1 Per risolvere l esercizio proposto, associamo al sistema di spostamenti (dei nodi) e deformazioni (delle aste) effettivo: ( ) N { v i, i = 1, 2,...,5; ε j =, k = 1, 2,...,7} i j=1 due sistemi di carichi e sollecitazioni equilibrati: j

7 11 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche 87 in modo da trovare le componenti orizzontale e verticale dello spostamento del nodo A. Per procedere con ordine, conviene predisporre e completare progressivamente una tavola riassuntiva del tipo mostrato qui sotto, in base alla quale è facile ottenere che v H (A) = 2 Pl, v V (A) = 3 Pl. Osservazione. Nella figure H e V immediatamente precedenti, le aste scariche sono indicate con un //, quelle compresse con un tratto rafforto. L asta (5) è supposta scarica, immaginando che sia stata montata tra le due cerniere fisse sen necessità di formento. Questa ipotesi è indispensabile, perché le equazioni di equilibrio per la struttura (si veda la figura sottostante) determinano in modo unico le reazioni vincolari a e c (a = P + 2Q, c = 2Q), ma non b e d, per le quali si sa solo che b+d = Q; mentre l equilibrio del nodo B:

8 88 5 Impieghi del Principio dei Lavori virtuali è possibile per qualunque valore di N 5. Esercizi Si determini lo sforzo nell asta (5) nei due sistemi reticolari in Fig Figura 5.11.