Calcolo delle sollecitazioni di una struttura

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1 alcolo delle sollecitazioni di una struttura o scopo di questa esercitazione è il calcolo delle sollecitazioni agenti su una struttura ed il tracciamento dei relativi grafici; in pratica bisogna tracciare i diagrammi di sforzo normale (N), taglio (T) e momento flettente (Mf) di una semi-ala con asta di controvento (schematizzata nella figura sottostante); bisogna inoltre individuare i punti in cui le sollecitazioni sono massime.,54,98 q56 N/m q78 N/m B Osservando lo schema, si puó notare che l intera struttura è sottoposta ad un carico uniformemente distribuito e questo, a primo avviso, non sembra essere un problema poiché esiste un teorema in meccanica che afferma che un carico distribuito su una lunghezza è pari ad un carico concentrato applicato peró nel baricentro della stessa figura. Si ottiene pertanto quanto segue:,54,98 B a difficoltà risiede peró nel fatto che nel tratto il carico assume la geometria di un trapezio e quindi il relativo baricentro non si trova nella metà di (come avviene nel tratto essendo esso un rettangolo) ma sarà spostato dalla parte in cui il carico sarà piú elevato. E` necessario pertanto determinare il valore della distanza del baricentro sulla

2 lunghezza ; per fare ció bisogna scomodare la meccanica e prendere in considerazione la teoria dei momenti statici, secondo la quale è necessario scomporre il trapezio in aree elementari; si ha: Si ottiene un rettangolo ed un triangolo; applicando la seguente formula (tratta sempre dai momenti statici) si ricava la coordinata del baricentro della figura totale, che non è altro che la distanza del baricentro su. Sostituendo i valori si ottiene: b h h 78,98,98 b h ( B b) 78,98 ( 56 78) g,48 48 h,98 b h ( B b) 78,98 ( 56 78) g Sy t i Per quanto riguarda la distanza del baricentro su non è altro che diviso due, ovvero,54/,7. Determino ora il valore dei carichi concentrati applicati come abbiamo già detto nei due baricentri; essi sono definiti nel seguente modo: e per quanto riguarda : n i i n q 56,54 94, 4 i i [ N ] q q 56 78,98 45, 6 [ N ] [ m] [ mm] Procedo adesso al calcolo delle reazioni vincolari agenti sulla nostra struttura (vedasi schema sottostante).

3 ,54,98 B α pplicando le tre equazioni della statica è possibile ricavare Ra, Ray, Rb, Rby. Tali equazioni sono: F i Fy i M i omincio facendo l equilibrio dei momenti attorno al punto, immaginati in senso orario: Rb ( g ) Rb 56,54, ,98,778 (,48,54) 5,8 ( N ) Ora equilibro le forze orizzontali, immaginate positive quelle da destra verso sinistra: Ra Rb Ra Rb 5,8 ( N ) Usando la trigonometria è possibile calcolare il valore di Ray: B B Ray Ray tagα Ra B B Ra,778,54 ( 5,8) 765,974( N ) Infine calcolo Rby equilibrando le forze verticali, assumendo positivi i vettori con direzione basso-alto: Rby Ray Rby ( 765,974) 56,54,98 47,49( N )

4 Riassumo il tutto per comodità nella seguente tabella: Ra -5,8 Ray -765,97 Rb 5,8 Rby -47,49 Per determinare i valori di taglio, sforzo normale e momento flettente per la determinazione dei grafici è necessario immaginare di dividere la struttura in tratti presi prima e dopo il punto. Vien da chiedersi peró perché proprio nel punto. Rispondendo a tale quesito si puó dire che in quel punto se viene tolta l asta di controvento si ha una tensione interna che si libera e per questo le sezioni sono effettuate prima e dopo tale punto. Inoltre tale tensione sarà visibile come un salto di forze nei vari diagrammi. hiamiamo pertanto le due sezioni con S e S: B onsideriamo per prima la sezione che va da B a S: Indico con una lunghezza arbitraria che va puó variare da un minimo di ad un massimo di,54 m; inoltre indico con il carico concentrato applicato nella mezzaria del tratto interessato, che nel nostro caso equivale a dire 56. Equilibro quindi le forze verticali, orizzontali e faccio un momento positivo in senso orario nel punto P; si ricava quanto segue: 4

5 Rby T T Rby Rb N N Rb P Mf Rby Mf Rby desso basta far variare il valore della tra il campo di variazione consentito (che ricordiamo va da a,54m) ed otteniamo i valori delle varie sollecitazioni; per comodità non vengono riportati qui di seguito i calcoli poiché si diventerebbe ripetitivi, ed al loro posto è stata inserita una tabella riassuntiva dei conti svolti: Mf T N (m) (N) (Nm) (N) (N) -47,49-5,8, ,49-5,8, ,4-79,49-5, ,49-567,49-5,8, 47-89, 44,5-5,8, ,4 568,5-5, ,5-5,8, ,5-5,8,54 94,4, 494,9-5,8 Fatto ció non resta che calcolare i valori che si hanno nella sezione che va da B a S, ovvero nella struttura completa. Si ricava: Osservando la figura si nota che avendo tolto l asta di controvento sono nate (come già premesso nelle precedenti pagine) le forze Rc e Rcy che prima erano interne; inoltre si possono notare i carichi e. Essi sono nati dall utilizzo del principio di sovrapposizione degli effetti ed equivalgono ad un unico carico concentrato nel baricentro del trapezio originale ( q (- ) e (((q -q )(- ))/)). a Xg per tali carichi è: per si ha g /(- ), e per si ha g /(- ). 5

6 6 Prima di procedere al calcolo delle sollecitazioni in questa sezione, devo determinare il carico agente su e lo faccio tramite un interpolazione lineare; in essa si nota il parametro f che è la distanza in cui vogliamo tagliare la semi-ala dopo il punto : gendo come già fatto per la sezione S determino le sollecitazioni equilibrando le forze verticali (positive verso l alto), orizzontali (positive verso destra) e facendo un momento attorno al punto P (positivo in senso orario). desso basta far variare il valore della tra il campo di variazione consentito (che ricordiamo va da,54 a,458m) ed otteniamo i valori delle varie sollecitazioni; per comodità non vengono riportati qui di seguito i calcoli poiché si diventerebbe ripetitivi, ed al loro posto è stata inserita una tabella riassuntiva dei conti svolti: f q Mf T N (m) (m) (N/m) (N) (N) (N) (Nm) (N) (N), ,4, -54,84, 978, 94,4 87,6 89,49 46,8-47,4,5 59,5 94,4 4,5 95,5 79, -9,44,4,7,7 94,4 475,55 54,89 45,6-44,,458, ,4 87, 64,4 Ora, avendo tutti i dati a disposizione è possibile tracciare i diagrammi di taglio, sforzo normale e momento flettente; si ricava quanto segue: ( ) f f y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rby Rcy Mf Rby Rcy Mf P Rc Rb N Rc Rb N Rby Rcy T Rby Rcy T

7 DIGRMM DI TGIO Taglio (N) unghezza (m) DIGRMM DI SFORZO NORME Sforzo normale (N) unghezz (m) 7

8 DIGRMMI DE MOMENTO FETTENTE Momento flettente (N*m) unghezza (m) 4 8