La situazione è rappresentabile così:

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1 Forze Equivalenti Quando viene applicata una forza ad un corpo rigido è importante definire il punto di applicazione La stessa forza applicata a punti diversi del corpo può produrre effetti diversi! Con semplici operazioni è possibile passare da sistemi complicati di forze a sistemi più semplici che producono lo stesso effetto E sempre possibile aggiungere o eliminare due forze uguali applicate sul medesimo punto o aventi la medesima retta d azione senza modificare F ext e M ext E sempre possibile spostare il punto di applicazione di una forza lungo la retta d azione Più forze applicate ad un punto sono sostituibili con la risultante applicata al medesimo punto

2 Esempio il piano d appoggio Un carico di tegole pesa P Newton. Esso è appoggiato su di un asse sostenuta da due mattoni messi di taglio in verticale che fungono da gambe. La distanza tra le due gambe è di L metri. Il carico di tegole si trova alla distanza di x metri da una delle gambe. Trovare i carichi sulle due gambe. La situazione è rappresentabile così: Identifichiamo nell asse il corpo rigido su cui applicare le condizioni di equilibrio. L asse interagisce con le tegole su di essa appoggiati: sostituiamole con la loro forza peso complessiva, P. Dal momento che il peso è diretto verticalmente verso il basso, avrà la sola componente Y, che indichiamo con P. L asse interagisce anche con due vincoli: le gambe costituite dai mattoni messi di taglio. Li sostituiremo anch essi con due forze, N 1 e N 2, dirette verticalmente. Sappiamo che le due forze N 1 ed N 2 sono dirette verticalmente perché i due mattoni su cui è appoggiata l asse non possono reggere uno sforzo laterale. Lo schema diventa quindi il seguente: In questo schema le componenti verticali N 1 ed N 2 sono incognite. Conviene scrivere dapprima l equilibrio dei momenti rispetto ad una gamba: così non comparirà una delle incognite. Calcolando i momenti rispetto alla gamba sinistra abbiamo: 0-xP+LN 2 =0 Otteniamo subito la reazione della seconda gamba: N 2 =P (x/l)

3 Scriviamo l equazione di equilibrio delle forze: Sostituendo il valore ottenuto per N 2 : N 1 +N 2 -P=0 N 1 =P-N 2 N 1 = P (L-x)/L Il sostegno più caricato è quello più vicino al peso P. L andamento delle reazioni vincolari delle due gambe al variare della posizione x del peso è il seguente: P N 1 N 2 0 L/2 L x Cosa sarebbe successo se le tegole si fossero trovate al di là della seconda gamba (x>l)? P N 1 N 2 A questo punto poiché x>l allora N 2 =P (x/l) è maggiore di P. Ne consegue che N 1 =P-N 2 è minore di zero. Quindi la reazione è negativa! Questo vuol dire che la gamba 1 tira la trave verso il basso, invece di spingerla verso l alto. Ma questo è possibile solo se la trave fosse inchiodata al vincolo. Essendo solo appoggiata il vincolo non è in grado di esercitare una reazione diretta verso il basso: NON E QUINDI POSSIBILE ASSICURARE LA CONDIZIONE DI EQUILIBRIO. Il risultato finale è che la trave si ribalta (come facilmente intuibile). Questo è un risultato molto generale. Infatti: Se un corpo si appoggia su sostegni (o gambe), rimane in equilibrio solo se la forza peso cade internamente alla base definita dal poligono convesso delimitato dai sostegni. Se ciò non accadesse, almeno una gamba dovrebbe tirare il corpo (forza vincolare negativa) per contrastare il momento del peso. Ma questo non è possibile se il corpo è semplicemente appoggiato sulle gambe.

4 Il tavolo ha perso una gamba. Il tavolo non si ribalta se appoggiamo il vaso in modo che il peso del vaso cada all interno del triangolo definito dalle tre gambe (disegno di sinistra). anche misurando oltre ad N 1 ed N 2, un momento torcente M. Queste pedane possono essere utilizzate per valutare il funzionamento del controllo posturale in un soggetto.

5 Baricentro. Abbiamo indicato il peso di un corpo puntiforme di massa m con il vettore P =mg applicato nel punto dove si trova il corpo. Nei problemi precedenti abbiamo descritto la forza peso di un corpo esteso, NON puntiforme, nello stesso modo, e cioè semplicemente con un vettore peso P =mg, applicato in un certo punto del corpo. In effetti questo è possibile perché possiamo scomporre un corpo esteso di massa m in tanti piccoli corpuscoli sufficientemente minuscoli da ritenerli puntiformi. La massa di questi N corpuscoli sarà rispettivamente m 1, m 2,, m N. Ognuno di questi corpuscoli puntiformi peserà p i = m i g, ed essendo i vettori p i tutti paralleli tra loro, la somma di tutti i pesi è proprio il vettore P= m 1 g+ m 2 g+ m N g= =g( m 1 + m 2 + m N )= =mg. Questo vettore risultante sarà applicato in un punto ben determinato: questo punto è detto baricentro o centro di gravità del corpo. Determinare la posizione del baricentro è semplice se il corpo ha una forma simmetrica (sfera, cubo, cilindro ) ed è di massa omogenea: in tal caso il baricentro è il centro geometrico del corpo. Per ottenere il baricentro di un corpo disomogeneo e di forma qualsiasi possiamo avvalerci di questa proprietà: il momento rispetto ad un punto P qualsiasi del peso di un corpo esteso (non puntiforme) è uguale al momento di un corpo puntiforme di uguale peso posto nel baricentro. P P =

6 Leva di Primo Tipo Xc F C Xa F A Se la leva è in equilibrio, la somma dei momenti rispetto al fulcro è nulla: M R =F C X C -F A X A =0 F C /F A =X A /X C Quindi G = X A /X C Il guadagno sarà > o < 1 a seconda della lunghezza dei bracci X A e X C. Leva di Secondo Tipo Xc F C Xa F A Uguagliando a 0 la somma dei momenti rispetto al fulcro otteniamo ancora che: G=X A /X C In questo caso G è sempre >1 Leva di Terzo Tipo Xa F A Xc F C G=X A /X C In questo caso G è sempre <1. Questo tipo di leva è utile per regolare con precisione la forza applicata.

7 Forze Parallele (Stesso Verso) Sono equivalenti ad una unica forza opportunamente posizionata Considero un corpo su cui agiscono 2 forze F 1 ed F 2 Per le considerazioni precedenti posso aggiungere 2 forze +f e f senza alterare il sistema R 1 Posso quindi spostare lungo le rispettive rette di azione R 1 e R 2 in modo da applicarle allo stesso punto e calcolarne la risultante Il sistema è equivalente! Se la forza applicata ai vari punti del corpo è la forza peso si possono sommare tutte queste forze. Alla fine il sistema è equivalente ad una forza applicata ad un unico punto detto Baricentro. Se g è costante nella regione di spazio che stiamo studiando è facile dimostrare che il Baricentro coincide con il CdM del corpo

8 Forze Parallelo (verso opposto) Se le forze hanno modulo diverso si può vedere che l effetto è ancora quello di una unica forza opportunamente applicata al corpo (geometricamente è facile trovare il punto e la retta di applicazione esattamente come fatto nel caso precedente ) Se le forza hanno modulo uguale il discorso cambia completamente e si parla quindi di Coppia di Forza e l effetto è completamente diverso

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