Linea elastica, scalata per la rappresentazione grafica

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1 Esercizio N.1 a trave a mensola ha sezione trasversale costante e porta un carico F nella sua estremità libera. Determinare l euazione della linea elastica, lo spostamento e la rotazione in. Ricordiamo l euazione della linea elastica: dove l asse coincide con l asse della trave, lo spostamento v è orientato come l asse verso il basso e l asse z è orizzontale e passa per il baricentro della sezione trasversale della trave. euazione del momento flettente è la seguente: Integrando una prima volta l euazione della linea elastica otteniamo: 6 e condizioni al contorno sono le seguenti: a) Per = b) Per = Di conseguenza, l euazione della linea elastica è la seguente: 6 Nel punto lo spostamento e la rotazione valgono: F inea elastica, scalata per la rappresentazione grafica J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 1

2 Esercizio N. a trave prismatica semplicemente appoggiata porta un carico uniformemente distribuito per unità di lunghezza. Determinare l euazione della linea elastica e lo spostamento massimo della trave. Ricordiamo l euazione della linea elastica: dove l asse coincide con l asse della trave, lo spostamento v è orientato come l asse verso il basso e l asse z è orizzontale e passa per il baricentro della sezione trasversale della trave. a reazione verticale nel punto vale l/ e l euazione del momento flettente è la seguente: Integrando una prima volta l euazione della linea elastica otteniamo: e condizioni al contorno sono le seguenti: da cui: a) Per = b) Per = 0 0 Di conseguenza, l euazione della linea elastica è la seguente: o spostamento massimo della trave si ha nel punto in cui la tangente alla curva elastica è nulla: 3 1 E necessario trovare gli zeri del polinomio: 4 6 Uno degli zeri si trova in = /, gli altri sono fuori dalla trave e uindi non hanno alcun significato fisico. Di conseguenza lo spostamento massimo della trave vale: J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag.

3 Esercizio N.3 a trave prismatica semplicemente appoggiata mostrata in figura, determinare lo spostamento e la rotazione nel punto di applicazione del carico. a F b pplicando le euazioni cardiali della statica possiamo calcolare le reazioni verticali negli appoggi e : Nel tratto: 0 l euazione del momento flettente è la seguente: Poniamo in l origine di un sistema di riferimento orientato verso sinistra, di coordinate t-. Nel tratto: 0 l euazione del momento flettente è la seguente: Integrando una prima volta l euazione della linea elastica nel tratto 0 otteniamo: 6 Integrando una prima volta l euazione della linea elastica nel tratto 0 otteniamo: 6 e condizioni al contorno sono le seguenti: a) Per b) Per t c) Per a e t b da cui d) Per a e t b da cui Semplificando, possiamo scrivere: In forma matriciale: ; J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 3

4 Da cui risulta: Università degli Studi di Cagliari - Facoltà di Ingegneria e rchitettura euazione della linea elastica risulta uindi la seguente: a) per 0 b) per ; ; In = a la freccia e la rotazione valgono: ; Se a = b = / allora: ; inea elastica, scalata per la rappresentazione grafica J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 4

5 Esercizio N.4 Determinare le reazioni nei vincoli per la trave prismatica di figura. a trave è una volta iperstatica: per calcolare le reazioni a terra non possiamo considerarla indeformabile. Possiamo immaginare di eliminare i vincoli sovrabbondanti (in uesto caso uno solo) rendendo la struttura isostatica: eseguendo uesta operazione è necessario evitare di renderla labile. Dove sono stati eliminati i vincoli è necessario aggiungere le corrispondenti reazioni incognite X i. Non esiste una sola procedura: per esempio in uesto esercizio possiamo eliminare il carrello nel punto, oppure possiamo consentire la rotazione in sostituendo all incastro una cerniera a terra. Chiaramente la soluzione finale sarà identica. Vediamo la prima procedura. Calcoliamo le reazioni a terra utilizzando le euazioni cardinali della statica: 0 0 X 1 da cui ricaviamo: diretta verso l alto 0, (con M antioraria) da cui ricaviamo: Calcoliamo l euazione dei momenti flettenti: 0 da cui: In = 0 il momento flettente vale : 0 In = il momento flettente vale : euazione della linea elastica è la seguente: Integrando una prima volta otteniamo: e condizioni al contorno sono le seguenti: a) Per = b) Per = J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 5

6 c) Per = 0 Grazie a l ultima euazione possiamo calcolare l iperstatica X 1 : 3 8 Di conseguenza, l euazione della linea elastica è la seguente: e reazioni nei vincoli valgono: inea elastica, scalata per la rappresentazione grafica a freccia massima si trova nel punto, tra e, in cui si annulla la derivata prima: Risolvendo l euazione troviamo: In corrispondenza di tale coordinata la freccia raggiunge il valore massimo che vale circa:. Vediamo la seconda procedura. Calcoliamo le reazioni a terra utilizzando le euazioni cardinali della statica: X da cui ricaviamo: diretta verso l alto 0 da cui ricaviamo: Calcoliamo l euazione dei momenti flettenti: da cui: 0 J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 6

7 In = 0 il momento flettente vale : 0 In = il momento flettente vale : 0 euazione della linea elastica è la seguente: Integrando una prima volta otteniamo: 6 e condizioni al contorno sono le seguenti: 4 6 a) Per = b) Per = c) Per = 0 Grazie a l ultima euazione possiamo calcolare l iperstatica X 1 : 8 Di conseguenza, l euazione della linea elastica è la seguente: identica a uella trovata con la prima procedura J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 7

8 Esercizi N.5 Per il carico mostrato, determinare (a) l euazione della linea elastica per la trave a mensola, (b) lo spostamento dell estremità libera, (c) la rotazione dell estremità libera. a trave è due volte iperstatica: per calcolare le reazioni a terra non possiamo considerarla indeformabile. Possiamo immaginare di eliminare i vincoli sovrabbondanti (in uesto caso due) rendendo la struttura isostatica: eseguendo uesta operazione è necessario evitare di renderla labile. Osservando il terzo schema (in basso a destra), vediamo che se avessimo inserito il carrello nel nodo ruotato di 90, la struttura sarebbe risultata isostatica, ma labile, in uanto non sarebbero impediti gli spostamenti orizzontali. X 1 Dove sono stati eliminati i vincoli è necessario aggiungere le corrispondenti reazioni incognite X i. Non esiste una sola procedura: per esempio in uesto esercizio possiamo utilizzare i tre schemi statici mostrati nelle figure a lato. Chiaramente le tre X 1 X soluzioni finali dovranno essere identiche. Vediamo la prima procedura, relativa al primo schema statico mostrato in figura. Calcoliamo le reazioni a terra utilizzando le euazioni cardinali della statica: 0 0 X X X 1 da cui ricaviamo: 0 diretta verso l alto diretta in senso antiorario Calcoliamo l euazione dei momenti flettenti: 0 In = 0 il momento flettente vale : In = il momento flettente vale : 0 da cui: euazione della linea elastica è la seguente: Integrando una prima volta otteniamo: e condizioni al contorno sono le seguenti: J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 8

9 a) Per = b) Per = c) Per = 0 d) Per = 0 Semplificando le ultime due euazioni, possiamo scrivere il seguente sistema di due euazioni e due incognite: In forma matriciale: da cui: Ricordando che: ; possiamo calcolare le reazioni iperstatiche X 1 e X : euazione della linea elastica risulta la seguente: inea elastica, scalata per la rappresentazione grafica J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 9

10 Esercizi N.6 Per il carico mostrato, determinare (a) l euazione della linea elastica per la trave, (b) lo spostamento dell estremità libera, (c) la rotazione dell estremità libera. C / pplicando le euazioni cardiali della statica possiamo calcolare le reazioni verticali negli appoggi e C: Nel tratto: 0 l euazione del momento flettente è la seguente: 3 8 Poniamo in l origine di un sistema di riferimento orientato verso sinistra, di coordinate t-. Nel tratto: 0/ l euazione del momento flettente è la seguente: Integrando una prima volta l euazione della linea elastica nel tratto 0 otteniamo: Integrando una prima volta l euazione della linea elastica nel tratto 0/ otteniamo: e condizioni al contorno sono le seguenti: a) Per = b) Per = 0 0 c) Per t = / 0 0 d) Per = e t = / / da cui Dalle ultime due euazioni risulta: ; J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 10

11 euazione della linea elastica risulta uindi la seguente: a) per 0 b) per 0 Nel punto, dove = 0 abbiamo: ; ; 00 ; 0 Nel punto, dove t = 0 abbiamo: 0 ; 0 Nel punto C, dove = e t = / abbiamo: 0 ; 0 ; Deformata: v() Rotazione inea elastica e rotazione, scalate per la rappresentazione grafica J.T. DeWolf, ed. McGraw-Hill, 00. a loro soluzione è a cura del prof. Filippo ertolino. Pag. 11