ESERCIZI SVOLTI. 13 Le strutture a telaio 13.1 I canali statici delle forze

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1 1 ESERCIZI SVOLTI 1 Studiare il portale simmetrico e simmetricamente caricato riportato in figura a, incernierato alla base dei piedritti, gravato sulla traversa di un carico uniformemente ripartito q = 9 kn/m e di un carico concentrato P = 0 kn applicato in mezzeria del traverso. a Il portale è una volta iperstatico come risulta dalla relazione: 3 i + c + 1 a > 3 n > 3 n 4 > 3 g = 4 3 = 1 Indicando con e I i momenti d inerzia rispettivamente del traverso e dei piedritti, si assume un rapporto: I = 3 da cui: = 3 I Essendo il portale doppiamente simmetrico per geometria e carico, può essere calcolato con l equazione dei tre momenti applicata alla trave continua su quattro appoggi in A, B, C, D di figura b. 1. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nei nodi B e C [fig. a e fig. c] Per lo schema strutturale si ha: M A = M D = 0 inoltre, considerando la simmetria strutturale e di carico risulta M B = M C, per cui è sufficiente scrivere una volta l equazione dei tre momenti: h M B + l + M I B l = 6 B* 1 I + B* h M B + l l + M I 3 I B = 6 3 I B* 1 + B* I 3 I SEI - 01

2 b c d 0Essendo la campata AB scarica risulta B* 1 = 0, mentre: B* = 1 16 P l + q l3 4 = ,00 9,00 14,003 14,00 + = 174 kn m 4 Sostituendo si ottiene: 6,00 M B + 14,00 + M I 3 I B 14,00 = I 3 I Moltiplicando ambo i membri per I e risolvendo si ha: M B = M C = 98,00 kn m SEI - 01

3 3. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio [fig. a e fig. b] Piedritto AB M B = M A + V d A h V Ad = M B M A h V s B = V d A = 16,33 kn BC = 98,00 6, 00 16,33 kn M C = M B + V Bd l q l V Bd = M C M B l V Es = V Bd q l P l + q l + P 98, ,00 = , ,00 = 73, ,00 =10,00 kn V d E = V s E P = 10,00 0,00 = 10,00 kn = 73,00 kn Piedritto CD Per la doppia simmetria si ha: V s C = 73,00 kn V d C = + 16,33 kn V s D = + 16,33 kn Per la simmetria lo sforzo di taglio si annulla nella sezione di mezzeria della traversa. 3. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente lungo i piedritti e la traversa [fig. a e fig. c] Piedritti Non sono caricati perpendicolarmente al loro asse, per cui il momento flettente varia linearmente con un valore nullo in corrispondenza delle cerniere A e D e un valore massimo in B e C uguale a quello che si verifica negli stessi punti, pensati come appartenenti alla traversa. Il momento flettente massimo positivo si verifica nella sezione di mezzeria e vale: M l = M B + V Bd l q l l 4 = 98, ,00 7,00 9,00 7,00 3,50 = 19,50 kn m Il momento flettente si annulla in due sezioni della traversa, simmetriche rispetto alle estremità B e C, che vengono così individuate: M Y = M B + V Bd y q y 98, ,00 y 9,00 y 4,50 y 73,00 y + 98,00 = 0 e risolvendo si ottiene: = 0 = 0 y 1 1,48 m y 14,74 m (scartata) SEI - 01

4 4 4. Calcolo delle componenti delle reazioni vincolari S P x = 0 H A + H D = 0 ossia: H A = H D H A = V d A = ( 16,33) = 16,33 kn H D = 16,33 kn S P y = 0 R A + R D q l P = 0 R A + R D = 9,00 14,00 + 0,00 = 146,00 kn e per la simmetria: R A = R D = 146,00 = 73,00 kn che risulta ovviamente uguale al taglio all estremo della traversa. 5. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo normale [fig. a e fig. d] Piedritti N A = N B = N D = N C = 73,00 kn N B = N C = H A = 16,33 kn Studiare il regime statico del portale zoppo di figura a incastrato alle estremità e gravato dei carichi ripartiti q 1 = 1 kn/m normale al traverso e q = 3 kn/m perpendicolare al piedritto. a b 0Il portale è staticamente indeterminato in quanto: 3 i + c + 1 a > 3 n > > 3 g = 6 3 = 3 e quindi è tre volte iperstatico. Considerando i vincoli di estremità, il portale è impossibilitato a spostarsi orizzontalmente, per cui può essere calcolato applicando l equazione dei tre momenti, pur non essendo la struttura simmetricamente caricata. Il portale può essere quindi assimilato a una trave continua con due campate ed estremi incastrati [fig. b]. In base a un calcolo di larga massima e pensando di realizzare il portale in cemento armato, le sezioni sono così risultate: traverso: cm piedritti: cm SEI - 01

5 5 c d e per cui i relativi momenti d inerzia, prescindendo dall armatura metallica, hanno i seguenti valori: traverso: = 1 1 b h3 = 1 1 0,40 0,803 0,01707 m 4 piedritti: I = 1 1 b h3 = 1 1 0,40 0,603 0,007 m 4 1. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nei nodi A, B, C [fig. a e fig. d] M A h + M B h = 6 A* I I I M A h h + M B + l + M I I C l = 6 M B l + M C l = 6 C* 1 B* 1 I + B* SEI - 01

6 6 Le reazioni fittizie valgono: q h 3 A* = B* 1 = 4 I I 0,007 = 3,00 7, , ,86 kn/m q 1 l 3 B* = C* 1 = 4 0,01707 = 1,00 16, , ,57 kn/m e inoltre: h = 7,00 I 0,007 97,/m3 l = 16,00 0, ,3/m3 Sostituendo i valori ottenuti si ha: M A 97, + M B 97, = ,86 M A 97, + M B (97, + 937,3) + M C 937,3 = 6 (5954, ,57) M B 937,3 + M C 937,3 = ,57 Risolvendo il sistema si ottiene: M C 318,01 kn m M B 131,98 kn m M A + 47,61 kn m. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio [fig. a e fig. c] Piedritto AB M B = M A + V Ad h q h V Ad = M B M A h V Bs = V Ad q h = 15,16 3, 00 7, 00 = 36,16 kn BC M C = M B + V Bd l q 1 l V Bd = M C M B l V Cs + q h = V Bd q 1 l = 84,37 1,00 16,00 = 107,63 kn Lo sforzo di taglio si annulla nella sezione X a distanza x dal nodo B: V X = V Bd q x = 0 x = V B d q = 84,37 1,00 7,03 m = 131,98 47,61 3, 00 7, 00 + = 15,16 kn 7, 00 + q 1 l = 318,01+131, ,00 1,00 16,00 = 84,37 kn SEI - 01

7 7 3. Calcolo delle sollecitazioni di momento flettente nel piedritto e nella traversa [fig. a e fig. d] Piedritto Viene calcolato in varie sezioni per altezze corrispondenti a 1 4 h, 1 h, 3 4 h: M h 4 M h = M A + V Ad h 4 q h 4 h = 47,61 15,16 1, 75 3, 00 1, 75 0,875 = 8 = M A + V Ad h q h h = 47,61 15,16 3,50 3, 00 3, 50 1, 75 = ,49 kn m 3,83 kn m M 3 h = M A + V Ad 3 4 h q 3 4 h h = 47,61 15,16 5,5 3,00 5,5,63 = 73,40 kn m M X = M B + V Bd x q 1 x 7,03 = 131,98+ 84,37 7, 03 1,00 = =+164,61 kn m Il momento flettente si annulla nelle due sezioni Y 1 e Y che vengono così determinate: M Y = M B + V Bd y q 1 y 131, ,37 y 1,00 y 6,00 y 84,37 y +131,98 = 0 e risolvendo risulta: y 1 1,79 m y 1,7 m 4. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo normale [figg. a, e] Piedritti N A = N B = V d B = 84,37 kn N B = N C = V s B = 36,16 kn 5. Calcolo delle componenti delle reazioni vincolari S P x = 0 H A + H C + q h = 0 H A + H C + 3,00 7,00 = 0 H A + H C = 1,00 kn H A = V d A = ( 15,16) = + 15,16 kn H C = V s B = 36,16 kn Verifica 15,16 36,16 = 1,00 kn S P y = 0 R A + R C q 1 l = 0 R A + R C = 1,00 16,00 = 19,00 kn R A = V d B = 84,37 kn R B = V s C = ( 107,63) = + 107,63 kn Verifica = 0 84, ,63 = 19,00 kn = 0 SEI - 01