Ing. Alessandro Pochì
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- Pio Pini
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1 Dispense di Matematica La funzione aritmica e la funzione esponenziale Questa opera è distribuita con: Licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Non opere derivate.0 Italia Ing. Alessandro Pochì ( Appunti di lezione svolti all ITIS M.M.Milano ) Aggiornamento al 0 Gennaio 04 Italia.
2 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Definizione di Logaritmo Il aritmo è l esponente da dare alla base per avere l argomento Consideriamo l equazione: argomento aritmo a b c base a è la base del aritmo, se viene omessa significa che è dieci; b è l argomento del aritmo e deve necessariamente essere b>0; c è il aritmo. Avremo quindi che la definizione di aritmo, equivale a scrivere: a b c a c b Esempi definizione (qualunque sia la base) Il simbolo significa se e solo se Ecco le regole fondamentali sui aritmi: ( a b) ( a) ( b) a ( ) ( a) ( b) b k k ( a) ( a ) Pag.
3 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Esempi regole 5 5 ( 7z) 7 z 5 5 Pag.
4 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Funzione aritmica. Consideriamo la funzione a Se la base a è compresa tra zero e uno oppure maggiore di uno la funzione avrà un grafico diverso. Caso con 0<a< Facciamo un esempio considerando la seguente funzione: Costruiamo una tabella per determinare alcuni punti del grafico: 0,5 0, ,58 - Funzione aritmica con a<0 O Pag.4
5 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Il grafico ha un andamento decrescente e passa, sull asse delle per il punto 0, cioè Da notare inoltre che il grafico si trova nella parte positiva delle e non interseca mai l'asse delle. Caso con a> Facciamo un esempio considerando la seguente funzione: Costruiamo una tabella per determinare alcuni punti del grafico: 0,5 0, ,58 Funzione aritmica con a>0 O Pag.5
6 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Il grafico ha un andamento crescente e passa, anche questa volta, sull asse delle per il punto, cioè 0 Da notare inoltre che il grafico si trova nella parte positiva delle e non interseca mai l'asse delle. Pag.6
7 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Funzione esponenziale. Consideriamo la funzione =a Se la base a è compresa tra zero e uno oppure maggiore di uno la funzione avrà un grafico diverso. Caso con 0<a< Facciamo un esempio considerando la seguente funzione: ( ) Costruiamo una tabella per determinare alcuni punti del grafico: ( ) 4 0,5 0,5 0,5 0,065 si ottiene il seguente grafico: Funzione esponenziale con a<0 ( ) O Pag.7
8 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Il grafico ha un andamento decrescente e passa, sull asse delle per il punto, cioè ( ) 0 Da notare inoltre che il grafico si trova nella parte positiva delle e non interseca mai l'asse delle, ciò significa che a >0 sempre. Caso con a> Facciamo un esempio considerando la seguente funzione: Costruiamo una tabella per determinare alcuni punti del grafico: ,5 0, si ottiene il seguente grafico: Funzione esponenziale con a>0 O Pag.8
9 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì Il grafico ha un andamento crescente e passa sull asse delle per il punto, cioè 0 Da notare inoltre che il grafico si trova nella parte positiva delle e non interseca mai l'asse delle, ciò significa che a >0 sempre. ESERCIZI SVOLTI (tracce liberamente tratte dalla rete e risolte e commentati in classe) Sarà utile ricordare le regole fondamentali sui aritmi: ESERCIZIO ( a b) ( a) ( b) a ( ) ( a) ( b) b k k ( a) ( a ) X ( X ) ( X ) 7 dividiamo per X X ( X ) X ( X ) X 7 X applicando le regole sulle potenze: ( ) ( ) 7 () ( ) da cui Pag.9
10 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì 4 4 ( ) 5 5 ESERCIZIO ( ) ricordando che: facciamo in modi di avere il aritmo con la stessa base anche al secondo membro: ( ) Per la regola sui aritmi relativa alle potenze, avremo: ( ) ( ) Poiché ad ambo i membri, abbiamo aritmi con la stessa base, possiamo eguagliare gli argomenti, facendo sparire i aritmi: ( ) ( ) ESERCIZIO ( ) 5 la somma di due aritmi è uguale al aritmo del prodotto dei loro argomenti: ( )(5) 5 0 Poiché ad ambo i membri, abbiamo aritmi con la stessa base, possiamo eguagliare gli argomenti, facendo sparire i aritmi: 5 0 Pag.0
11 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì ESERCIZIO 4 ( ) facciamo in modo di avere tutti aritmi: ( ) Per la regola sui aritmi relativa alle potenze, avremo: ( ) la somma di due aritmi è uguale al aritmo del prodotto dei loro argomenti: (4 ( )) Poiché ad ambo i membri, abbiamo aritmi con la stessa base, possiamo eguagliare gli argomenti, facendo sparire i aritmi: 4 da cui: 4 0 Questa è una equazione di secondo grado avente le due soluzioni: 6 La prima è da escludere in quanto non rispetta la condizione >0 (data dal primo aritmo della traccia) ESERCIZIO 5 (metodo della sostituzione) 4 Pag.
12 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì 4 poniamo adesso: t La nostra equazione diventa: t 4 moltiplicando tutto per t, avremo t t 4t t t cioè t 4t 0 che è una equazione di secondo grado che risolta dà: Ricordando che : t Avremo le due equazioni: Da cui le soluzioni cercate: 0 ESERCIZIO 6 (metodo della sostituzione) poniamo la sostituzione t 0 Pag.
13 04- Dispense di Matematica - ing. Alessandro Pochì t t 0 che è una equazione di secondo grado che non ha soluzioni in quanto il delta è negativo. Il nostro esercizio, quindi avrà come risultato l insieme vuoto. Pag.
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