FUNZIONI ESPONENZIALI

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1 FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA CRESCITA DI UNA POPOLAZIONE BATTERICA DISEQUAZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE SIMMETRIE E GRAFICI DEDUCIBILI Angela Donatiello

2 FUNZIONI ESPONENZIALI Crescita di una popolazione batterica Se prendiamo in esame un microrganismo, che si riproduce per scissione binaria, e lo facciamo crescere in un sistema chiuso il numero della popolazione batterica che esso produrrà varierà nel tempo secondo cinque principali fasi: Fase di latenza: in questa fase il numero di microrganismi rimane pressoché costante. Questo perché il microrganismo deve adattarsi al tipo di terreno in cui è stato inoculato e ciò può durare anche diverse ore. Fase esponenziale: il microrganismo si divide in maniera esponenziale con velocità di crescita costante, raddoppiando la loro popolazione a intervalli regolari. Fase di transizione: la velocità di crescita comincia a rallentare. Fase stazionaria: non vi è un aumento netto della popolazione microbica perché vi è equilibrio tra divisione e morte cellulare. Ciò succede per un nutriente che scarseggia, per l'accumulo di sostanze tossiche, per il ph divenuto troppo basso, e per densità della popolazione. Fase di morte: la popolazione microbica diminuisce con un andamento logaritmo come è avvenuto per la fase esponenziale. Angela Donatiello 2

3 Analizziamo la fase esponenziale: Per semplicità assumiamo che tutte le duplicazioni avvengano nello stesso istante. Sia N k la numerosità della generazione k esima, allora la numerosità della generazione (k -) esima sarà N k-. Che relazione intercorre tra le numerosità di due generazioni successive? N k = 2 N k- Se indico con N 0 la numerosità della prima generazione (k = 0), allora si avrà N = 2 N 0 N 2 = 2 N = 4 N 0 = 2 2 N 0 N 3 = 2 N 2 = 8 N 0 = 2 3 N 0 and so on In genere: k Nk = N0 2 Tale relazione non va confusa con una funzione potenza, in quanto nelle funzioni potenza la variabile indipendente è alla base e non all esponente. Angela Donatiello 3

4 Una funzione del tipo y = f () = a con a > 0 e a si definisce funzione esponenziale. a > Dominio: R Codominio:] 0,+ [ Funzione monotona crescente in senso stretto y > 0 R Andamento agli estremi del dominio: lim a = + + lim a = 0 y = 3 Angela Donatiello 4

5 y = 2 y = 3 y = 4 OSSERVAZIONE La funzione cresce tanto più rapidamente quanto maggiore è la base. La funzione passa sempre per il punto (0,) Angela Donatiello 5

6 0 < a < Dominio: R Codominio:] 0,+ [ Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0 R Andamento agli estremi del dominio: lim a = 0 lim a = + + y = 3 Angela Donatiello 6

7 y y = 2 = 3 y = 4 OSSERVAZIONE La funzione decrescente tanto più rapidamente quanto più piccola è la base Passa sempre per il punto (0,) Angela Donatiello 7

8 Base naturale: y = e e è un numero trascendente definito come limite di una successione e = lim + n + n n e= Angela Donatiello 8

9 Decadimento radioattivo Modello di Malthus DEF. Si definisce logaritmo in base a di b l esponente da dare alla base a per avere come risultato b. y y = loga = a Poiché a 0 = allora log a = 0, quindi la funzione logaritmica interseca l asse delle ascisse nel punto (,0) Angela Donatiello 9

10 Una funzione del tipo y funzione logaritmica. FUNZIONE LOGARITMICA = f () = log con a > 0 e a si definisce a a > Dominio: ] 0,+ [ Codominio: R Funzione monotona crescente in senso stretto y > 0 con > y < 0 con 0 < < Andamento agli estremi del dominio: lim 0 + log a = lim + log a = + y = log2 Angela Donatiello 0

11 0 < a < Dominio: ] 0,+ [ Codominio: R Funzione monotona decrescente in senso stretto y > 0 con 0 < < y < 0 con > Andamento agli estremi del dominio: lim + lim 0 + log log a a = = + Angela Donatiello

12 y = y = log log 3 2 y = log2 y = log e y = log3 Angela Donatiello 2

13 y = a y = log a Sono l una l inversa dell altra Pertanto componendole si ottiene: a log a = loga a = Angela Donatiello 3

14 ,y > 0 e a > 0 PROPRIETA DEI LOGARITMI loga ( y) = loga + loga y loga = loga loga y y b loga = bloga log a = loga = loga logaritmo del reciproco log b log b c a = proprietà del cambiamento di base log a c 2 Le funzioni y = ln( + 6) e y = ln( 2) + ln( + 3) sono uguali? Angela Donatiello 4

15 2 2 = 5 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI ESPONENZIALI = ( ) = 2 a > la funzione è crescente in senso stretto < a < 2 Pertanto a 2 a a b a < b > b > log e < log b 0 < a < la funzione è decrescente in senso stretto Pertanto a 2 < 2 a a a b a < b > > b < log e > log b = 2025 a a Angela Donatiello 5

16 Angela Donatiello 6 ESEMPI < < > > < + >

17 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI LOGARITMICHE a > la funzione è crescente in senso stretto < 2 loga < loga 2 0 < a < la funzione è decrescente in senso stretto > < 2 loga loga 2 3 log 2 2 < 2 4 log (3 5) < log (2 ) (4 + ) 2 log ln( 4 + ) > ln(2 ) + ln(5 ) Angela Donatiello 7

18 Funzioni razionali fratte DOMINI N() y = D() 0 D() Funzioni radice di indice pari y = A() A() 0 Funzioni logaritmiche y = log [A()] A () > 0 a ESEMPI 2 y = ln( 9) y log2( + = 2 4 2) < 0 0 y = 4 log 2 2 Angela Donatiello 8

19 ALCUNE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE SIMMETRIE Angela Donatiello 9

20 y = f() (funzione in blu) y = f( - ) simmetria rispetto all asse y (in rosso) y = - f() simmetria rispetto all asse (in verde) Angela Donatiello 20

21 GRAFICI DEDUCIBILI f () y = f () = f () f () f () Coincide con la funzione stessa dove essa è positiva, mentre costruisco la simmetrica rispetto all asse solo nei tratti in cui la funzione è negativa. < 0 0 y = f ( ) = f () f ( ) 0 < 0 Coincide con la funzione dove la variabile è positiva, mentre va tracciata la sua simmetrica rispetto all asse y solo nel tratto in cui è negativa. Angela Donatiello 2

22 GRAFICI DEDUCIBILI y = ln( 3) Angela Donatiello 22

23 GRAFICI IN SCALA LOGARITMICA I riferimenti in scala logaritmica sono riferimenti in cui in ascissa pongo una scala lineare classica, mentre in ordinata, anziché la funzione y = f(), verrà riportato il log(f()). Sono utili per realizzare grafici di andamenti esponenziali. Tali andamenti saranno visualizzati tramite una retta. Un fenomeno descritto da un andamento esponenziale sarà rappresentato da una retta y = lnf () = lnc + a y = c Se un fenomeno è descritto da una funzione lineare y = a+b in scala logaritmica, esso avrà andamento esponenziale f () = e a e b e a Angela Donatiello 23

24 Angela Donatiello 24

25 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI RISOLUBILI CON CONFRONTO GRAFICO e + = 0 Non risolubile algebricamente y y = e = Angela Donatiello 25

26 e + > e > 0 y y y 2 = = > e y 2 Vera per > 0 dove Valuta: log > 0 log + > 0 Angela Donatiello 26