ESPONENZIALI. Diana Giacobbi 22 giugno 2010

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1 ESPONENZIALI Diana Giacobbi 22 giugno 200

2 POTENZE Potenza n-esima Si dice potenza n-esima di un numero reale a il prodotto di n fattori uguali ad a, dove n è un numero naturale maggiore di. Se n =, a = a a n = a... a }{{} n fattori

3 POTENZE Potenza n-esima Si dice potenza n-esima di un numero reale a il prodotto di n fattori uguali ad a, dove n è un numero naturale maggiore di. Se n =, a = a 2 Se n = 0 e a 0, a 0 = a n = a... a }{{} n fattori

4 POTENZE Potenza n-esima Si dice potenza n-esima di un numero reale a il prodotto di n fattori uguali ad a, dove n è un numero naturale maggiore di. Se n =, a = a 2 Se n = 0 e a 0, a 0 = 3 Se n > 0 e a 0, a n = a n a n = a... a }{{} n fattori

5 POTENZE Potenza n-esima Si dice potenza n-esima di un numero reale a il prodotto di n fattori uguali ad a, dove n è un numero naturale maggiore di. Se n =, a = a 2 Se n = 0 e a 0, a 0 = 3 Se n > 0 e a 0, a n = a n a n = a... a }{{} n fattori 4 L espressione 0 0 è priva di significato.

6 PROPRIETÀ Nelle ipotesi che per a, b R ed n, m Z siano definite le potenze a n, a m e b n, allora valgono le seguenti proprietà: a n a m = a n+m

7 PROPRIETÀ Nelle ipotesi che per a, b R ed n, m Z siano definite le potenze a n, a m e b n, allora valgono le seguenti proprietà: a n a m = a n+m 2 a n : a m = a n m, per a 0

8 PROPRIETÀ Nelle ipotesi che per a, b R ed n, m Z siano definite le potenze a n, a m e b n, allora valgono le seguenti proprietà: a n a m = a n+m 2 a n : a m = a n m, per a 0 3 (a n ) m = a n m

9 PROPRIETÀ Nelle ipotesi che per a, b R ed n, m Z siano definite le potenze a n, a m e b n, allora valgono le seguenti proprietà: a n a m = a n+m 2 a n : a m = a n m, per a 0 3 (a n ) m = a n m 4 (a b) n = a n b n

10 PROPRIETÀ Nelle ipotesi che per a, b R ed n, m Z siano definite le potenze a n, a m e b n, allora valgono le seguenti proprietà: a n a m = a n+m 2 a n : a m = a n m, per a 0 3 (a n ) m = a n m 4 (a b) n = a n b n 5 (a : b) n = a n : b n, per b 0

11 ESPONENTI RAZIONALI POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE La potenza con esponente razionale è: a m n = n a m con a R, a 0 e n, m Z. Non si definiscono le potenze: dei numeri negativi con esponente razionale;

12 ESPONENTI RAZIONALI POTENZE CON ESPONENTE RAZIONALE La potenza con esponente razionale è: a m n = n a m con a R, a 0 e n, m Z. Non si definiscono le potenze: dei numeri negativi con esponente razionale; 2 dello zero con esponente razionale negativo o nullo.

13 FUNZIONI ESPONENZIALI Funzione esponenziale La funzione esponenziale è definita da f :R R + x a x dove a R +, a. La funzione esponenziale è definita in R per continuità.

14 ESEMPIO :BASE 2 x 2 x y x

15 ESEMPIO 2:BASE 2 x ( 2) x y x

16 OSSERVAZIONI y 8 7 Se 0 < a < la funzione y = a x è decrescente x -

17 OSSERVAZIONI y Se 0 < a < la funzione y = a x è decrescente 2 Se a > la funzione y = a x è crescente x

18 OSSERVAZIONI Se 0 < a < la funzione y = a x è decrescente 2 Se a > la funzione y = a x è crescente 3 Se a = la funzione y = a x è costante y x

19 EQUAZIONI Equazione esponenziale base a x = b con a, b R, a > 0 e b > 0.

20 OSSERVAZIONI Analizzando il grafico della funzione y = a x, si può osservare che, per a > : La funzione è crescente; y x

21 OSSERVAZIONI Analizzando il grafico della funzione y = a x, si può osservare che, per a > : La funzione è crescente; 2 la funzione è iniettiva y = a x ovvero è tale che a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y y x

22 OSSERVAZIONI Analizzando il grafico della funzione y = a x, si può osservare che, per a > : La funzione è crescente; 2 la funzione è iniettiva y = a x ovvero è tale che a valori diversi di x corrispondono valori diversi di y 3 l equazione base a x = y ammette un unica soluzione. y x

23 ESEMPI y 9 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = 2 2 x

24 ESEMPI y 9 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = x = 9 3x = 3 2 ha soluzione x = 2-2 /9 2 x

25 ESEMPI y 9 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = x = 9 3x = 3 2 ha soluzione x = x = 3 x = 3 0 ha soluzione x = 0-2 /9 2 x

26 ESEMPI y 9 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = x = 9 3x = 3 2 ha soluzione x = x = 3 x = 3 0 ha soluzione x = x = 0 è impossibile -2 /9 2 x

27 ESEMPI 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = x = 9 3x = 3 2 ha soluzione x = x = 3 x = 3 0 ha soluzione x = x = 0 è impossibile ( 5 ) x 3 = 9 ( x 3) = ) 2 ha soluzione ( 3 x = 2-2 y 9 /9 2 x

28 ESEMPI 3 x = 9 3 x = 3 2 ha soluzione x = x = 9 3x = 3 2 ha soluzione x = x = 3 x = 3 0 ha soluzione x = x = 0 è impossibile ( 5 ) x 3 = 9 ( x 3) = ) 2 ha soluzione ( 3 y 9 x = 2 6 ( 3) x = 0 non ha significato. -2 /9 2 x

29 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI ESPONENZIALI ESEMPIO poiché 9 = 3 2 si ha: 3 x = 9 2 x 3 3 x 9 = 2 x 2 3 x 3 = 2 x 3 ( ) 3 x 3 = 2 perciò x 3 = 0 e la soluzione è x = 3.

30 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI ESPONENZIALI ESEMPIO x 82 3 x + 9 = 0 Posto t = 3 x si ottiene l equazione di secondo grado: 9t 2 82t + 9 = 0 le cui soluzioni sono: t = 9 e t 2 = 9 quindi, tenuto conto della posizione fatta, si ricavano le soluzioni: 3 x = 9 3 x = 3 2 x = 2

31 RISOLUZIONE DI EQUAZIONI ESPONENZIALI ESEMPIO x 82 3 x + 9 = 0 Posto t = 3 x si ottiene l equazione di secondo grado: 9t 2 82t + 9 = 0 le cui soluzioni sono: t = 9 e t 2 = 9 quindi, tenuto conto della posizione fatta, si ricavano le soluzioni: 3 x = 9 3 x = 3 2 x = x = 9 3x = 3 2 x 2 = 2

32 LICENZA Copyright (c) 2009 Diana Giacobbi è garantito il permesso di copiare, distribuire e/o modificare questo documento seguendo i termini della Licenza per Documentazione Libera GNU, Versione. o ogni versione successiva pubblicata dalla Free Software Foundation; senza Sezioni Non Modificabili, senza Testi Copertina, e senza Testi di Retro Copertina. Una copia della licenza è acclusa nella sezione intitolata Licenza per Documentazione Libera GNU.

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