Matematica con elementi di Informatica

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1 Funzioni Elementari La forma matematica dei fenomeni naturali Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche. () Funzioni Elementari. 1 / 23

2 Esempi di funzioni elementari Funzione Costante Funzione Identità Funzione Modulo Funzione Heaviside (neuroni) Funzioni lineari Funzioni affini Funzione Potenza Funzione Esponenziale Funzione Logaritmo () Funzioni Elementari. 2 / 23

3 Potenza a R, a = 0, n N Definizione ricorsiva di potenza a n a 0 = 1 a n+1 = a a n n N valgono le proprietà: a n a m = a n+m per ogni n, m N (a n ) m = a nm per ogni n, m N () Funzioni Elementari. 3 / 23

4 Potenza se a = 0, n N e n 1 allora si definisce 0 n = 0 mentre NON si attribuisce significato al simbolo 0 0 se a R, a = 0 e n N la potenza a n è definita come a n = 1 a n n N rimangono valide per potenze di base a = 0 e con esponenti interi le proprietà già enunciate per esponenti naturali () Funzioni Elementari. 4 / 23

5 Proprietà delle potenze Se a, b R, a, b = 0 e n, m Z valgono anche: 1 a n = ( ) 1 n = a n (ab) n = a n b n a ( a ) n a n ( ) b n = b b n = a (a n ) m = a n m () Funzioni Elementari. 5 / 23

6 Funzione Potenza Se in a n teniamo l esponente n fissato e consideriamo la base variabile (indichiamola con x) otteniamo la funzione potenza ad esponente n, x x n n Z e n 1 x x n definita su tutto R es: x, x 2, x 3,... n = 0 x x 0 = 1 definita su R \ {0} n Z e n 1 x x n definita su R \ {0} es: x 1, x 2, x 3,... () Funzioni Elementari. 6 / 23

7 Funzione Esponenziale alternativamente, se in a n teniamo la base a = 0 fissata e consideriamo l esponente n variabile otteniamo la funzione n a n, n Z particolarmente interessanti i casi: 0 < a < 1 n a n è strettamente decrescente a = 1 n a n è la costante 1 a > 1 n a n è strettamente crescente () Funzioni Elementari. 7 / 23

8 Funzione Radice in [0, + ) si definisce, sfruttando la completezza ordinale, il concetto di radicale: se n 2 è intero, per ogni x 0, x R esiste unico y 0 tale che y n = x viene indicato con il simbolo n x se a > 0 e r = m/n, dove m, n Z e n > 1, allora definiamo a r = a m/n = n a m se r Q e r > 0, allora definiamo 0 r = 0 rimane valida la proprietà fondamentale a r1 a r 2 = a r 1+r 2, per ogni r 1, r 2 Q () Funzioni Elementari. 8 / 23

9 Potenza NB: ERRORE Esempio a pag.142 Radice cubica Per poter definire le funzioni radice ci si deve restrigere al dominio R + perchè altrimenti applicando le proprietà delle potenze si giungerebbe ad un assurdo, ovvero ad una funzione che assegna ad uno stesso numero (negativo) due distinti valori. Ad esempio 3 8 = ( 8) 1/3 = (( 2) 3 ) 1 3 = = 3 2 ( 8) 2 = 6 64 = 6 (8) 2 = (8) 2/6 = (8) 1/3 = ((2) 3 ) 1 3 = 2 () Funzioni Elementari. 9 / 23

10 Funzione Esponenziale Infine, si dà un senso al simbolo a x con a > 0 e x R sia a R e a > 0 esiste unica funzione monotona f : R R tale che f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a per ogni x 1, x 2 R è chiamata funzione esponenziale di base a, f (x) = a x Si dimostra che, per ogni base a fissata, f (x) = a x è continua. () Funzioni Elementari. 10 / 23

11 Potenza le due proprietà caratteristiche di f (x) = a x f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) f (x 2 ) f (1) = a per ogni x 1, x 2 R si leggono come a x 1+x 2 = a x1 a x 2 per ogni x 1, x 2 R a 1 = a () Funzioni Elementari. 11 / 23

12 Potenza vale anche a x 1x 2 = (a x 1 ) x 2 per ogni x 1, x 2 R su N la funzione a x in particolare, a 0 = 1 si comporta come la potenza a n () Funzioni Elementari. 12 / 23

13 si distinguono tre casi: a = 1: la funzione a x è la costante 1 0 < a < 1: la funzione a x è strettamente decrescente (quindi iniettiva) e ha immagine (0, + ) a > 1: la funzione a x è strettamente crescente (quindi iniettiva) e ha immagine (0, + ) () Funzioni Elementari. 13 / 23

14 Funzione Logaritmo sia a > 0 e a = 1; la funzione esponenziale a x : R (0, + ) è biiettiva ha inversa, che chiamiamo funzione logaritmo in base a log a : (0, + ) R tale che o log a (a x ) = x x R a log a y = y y (0, + ) () Funzioni Elementari. 14 / 23

15 in corrispondenza con le proprietà caratteristiche di a x, per log a (x) abbiamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) x 1, x 2 > 0 log a (1) = 0 log a (a) = 1 si ottiene che, se b > 0, allora log a (b y ) = y log a (b), y R () Funzioni Elementari. 15 / 23

16 per log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) infatti vediamo log a (x 1 x 2 ) = log a (x 1 ) + log a (x 2 ) se e solo se se e solo se se e solo se vero! a log a(x 1 x 2 ) = a log a(x 1 )+log a (x 2 ) x 1 x 2 = a log a(x 1 ) a log a(x 2 ) x 1 x 2 = x 1 x 2 () Funzioni Elementari. 16 / 23

17 per log a (b y ) = y log a (b), y R infatti vediamo log a (b y ) = y log a (b) se e solo se se e solo se se e solo se vero! a log a(b y ) b y = b y = a y log a(b) (a log a(b) ) y = (b) y () Funzioni Elementari. 17 / 23

18 se a > 1, la funzione log a (x) è strettamente crescente se 0 < a < 1, log a (x) è strettamente decrescente () Funzioni Elementari. 18 / 23

19 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da a = u log u a otteniamo a x = (u log u a ) x = u (log u a)x identità x R l esponenziale a x, con base a, si può scrivere come esponenziale u kx, con base u e k = log u a () Funzioni Elementari. 19 / 23

20 Cambiamenti di base siano a, u > 0 e a, u = 1 da y = a log a y otteniamo identità log u y = log u (a log a y ) = (log a y) (log u a) y (0, + ) e quindi log a y = log u y log u a y (0, + ) () Funzioni Elementari. 20 / 23

21 Cambiamenti di base log a y = log u y log u a y (0, + ) il logaritmo log a y, con base a, si può scrivere come multiplo del logaritmo log u y, con base u, con fattore 1/ log u a () Funzioni Elementari. 21 / 23

22 possiamo riferire esponenziali o logaritmi in qualunque base ad esponenziali e logaritmi in un unica base scelta convenzionalmente numero che viene principalmente utilizzato come base: e numero irrazionale che vale approssimativamente e scriviamo spesso exp x per e x e ln x per log e x () Funzioni Elementari. 22 / 23

23 Il ph ph = log[h + ] H + concentrazione di ioni idrogeno (idronio [H 3 O + ]) H + < 10 7 ph < 7 soluzioni ACIDE H + = 10 7 ph = 7 soluzioni NEUTRE H + > 10 7 ph > 7 soluzioni BASICHE Esempio: ph pioggia 6.5 => H + = ph sangue 7.4 => H + = Rapporto: / = La concentrazione degli ioni nella pioggia è 8 volte maggiore di quella del sangue. () Funzioni Elementari. 23 / 23