Equazioni di secondo grado

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1 Equazioni di secondo grado E. Modica A.S. 018/019 1 Equazioni di secondo grado Definizione 1. Dicesi equazione di secondo grado, un equazione del tipo: ax + bx + c = 0 con a, b, c R e a 0. I valori a, b, c prendono il nome di coefficienti e, in particolare, c viene detto termine noto. Un equazione di secondo grado si definisce: incompleta pura quando il secondo coefficiente è nullo e quindi si ha ax + c = 0; incompleta spuria quando il terzo coefficiente è nullo e quindi si ha ax + bx = 0; completa quando i tre coefficienti sono tutti diversi da zero e quindi si ha ax + bx + c = Risoluzione delle equazioni di secondo grado Equazione incompleta pura (b = 0) ax + c = 0 e si risolve portando a secondo membro il termine noto e dividendo per il coefficiente del termine di grado massimo: ax = c x = c a x = ± c a 1

2 Esempio 1. Risolvere l equazione 4x 9 = 0. x = 9 4 x = ± Esempio. Risolvere l equazione x 5 = 0. x = 5 x = ± 5 Esempio. Risolvere l equazione x 7 = 0. x = 7 x = ± 7 Esempio 4. Risolvere l equazione 4x 5 = 0. x = 5 4 x = ±5 Esempio 5. Risolvere l equazione 4x + 9 = 0. L equazione non ammette soluzioni in quanto il quadrato di un numero reale è sempre non negativo e, di conseguenza, la scrittura x = 9 non è verificata 4 per nessun valore dell incognita x. Osservazione 1. Un equazione incompleta pura ammette soluzioni se, e solo se, i coefficienti a e c sono discordi Equazione incompleta spuria (c = 0) ax + bx = 0 e si risolve mettendo in evidenza la x e utilizzando la legge di annullamento del prodotto. Di conseguenza una soluzione sarà sempre quella nulla. ax + bx = 0 x(ax + b) = 0 x = 0 ax + b = 0 x = 0 x = b a Esempio 6. Risolvere l equazione x 4x = 0. Si ha: x(x ) = 0 x = 0 x = 0 x = 0 x =

3 1.1. Equazione completa Si determina il delta dell equazione: ax + bx + c = 0 = b 4ac che prende il nome di discriminante dell equazione. Le soluzioni si determinano mediante la formula: x 1, = b a Si possono, quindi, presentare tre casi: I caso : = b 4ac > 0 In questo caso il radicale è un numero reale e l equazione ammette le due soluzioni reali e distinte: x 1 = b a x = b + a Esempio 7. Risolvere l equazione x 5x + = 0. = 5 4 = 1 x 1, = 5 1 x 1 = 1, x = 6 Esempio 8. Risolvere l equazione x x 1 = 0. x 1, = 1 5 = = 5 x 1 = 1 5, x = 1 + 5

4 II caso : = b 4ac = 0 In questo caso l equazione ammette due radici reali e coincidenti date dall espressione: x 1 = x = b a Esempio 9. Risolvere l equazione 4x 1x + 9 = 0. = = 0 x 1 = x = 1 8 = III caso : = b 4ac < 0 In questo caso l equazione non ammette soluzioni reali, ma soluzioni complesse coniugate. Esempio 10. Risolvere l equazione x x + = 0. = 1 1 = 11 < 0 L equazione non ammette soluzioni reali. Esercizi sulle equazioni incomplete pure Esercizio 1. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete pure. a) 4x 5 = 0 b) x 11 = 0 c) 64x 16 = 0 d) x + 9 = 0 e) 100x 4 = 0 f) x + 7 = 0 g) 4x 9 = 0 e) x + 1 = 0 4

5 Esercizi sulle equazioni incomplete spurie Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado incomplete spurie. a) x x = 0 b) 0x 10x = 0 c) x = 1x d) 5x 4x = 0 e) 7x 14x = 0 f) x + 8x = 0 g) 5x = 5x e) 4x = 10x Esercizi sulle equazioni complete Esercizio. Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado complete. a) x + x + = 0 b) x + 1x 45 = 0 c) x + x = 0 d) 5x + 7x 6 = 0 e) 6x + 5x + 1 = 0 f) 14x 9x + 1 = 0 g) x 7x + 1 = 0 h) x + x = 0 i) x + x 70 = 0 j) 5x 16x + = 0 k) 4x 7x = 0 l) x + 11x = 6 m) x + 8x 48 = 0 n) x + 9x + 10 = 0 o) 7x + 1x + 5 = 0 p) x + x + 1 = 0 5